MONOTONÍA DE FUNCIONES: EJERCICIOS RESUELTOS

Método de resolución

Extremos

  1. Estudiar el dominio.
  2. Calcular la primera derivada.
  3. Puntos críticos: puntos candidatos a ser extremo. Aquellos que anulan la primera derivada junto con los extremos de los intervalos de definición si la función está definida a trozos.
  4. Calculamos la segunda derivada.
  5. Calculamos el signo de la segunda derivada en los puntos que anulan a la primera derivada:
    • Si es negativa, es un máximo.
    • Si es positiva, es un mínimo.
  6. Para saber si los extremos de los intervalos de definición son extremos, estudiamos la monotonía alrededor de dichos puntos.
Monotonía
  1. Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos del dominio que generan los puntos críticos. Para ello escogemos cualquier punto de cada intervalo (el signo de la derivada no varía en los intervalos):
    • Si es positiva: la función es creciente en el intervalo.
    • Si es negativa: la función es decreciente en el intervalo.
  2. Los puntos de los intervalos de definición son:
    • Mínimo: si la función decrece a su derecha y crece a su izquierda.
    • Máximo: si la función crece a su derecha y decrece a su izquierda.
    • No es extremo: si la función crece o decrece a ambos lados.

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SOLUCIÓN
Dominio

Puesto que la función es un polinomio por la exponencial, el dominio es todos los reales.

La derivada es

Buscamos los puntos en los que se anula

Por el método de Ruffini obtenemos las soluciones de la ecuación de tercer grado, que son

Estudiamos si los puntos críticos son extremos. La segunda derivada es

El signo de la segunda derivada en los puntos que anulan la primera derivada es

Los máximos no son absolutos ya que la función no está acotada superiormente, pues

Teniendo en cuenta que la función es continua, que

y que la función es creciente, decreciente, creciente, decreciente y creciente, respectivamente, en los intervalos

deducimos que al menos uno de los dos mínimos es absoluto.

Por tanto, tenemos un mínimo absoluto:

La gráfica de la función es



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