Caracterización de matrices regulares




Teorema de caracterización de matrices inversibles:

Sea A una matriz cuadrada de dimensión n, las siguientes condiciones son equivalentes (si ocurre una, ocurren todas):

  1. A es regular (inversible).
  2. Todo sistema de ecuaciones lineales (SEL) con matriz de coeficientes A, AX = B, es compatible determinado.
  3. El sistema de ecuaciones lineales homogéneo (SELH) AX = 0 es compatible determinado.
  4. El rango de A es n.
  5. La forma escalonada reducida de A es la matriz identidad.
  6. A es producto de matrices elementales.

Demostración

La demostración utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius.

(1-2)

Supongamos que A es regular y consideremos el sistema de ecuaciones lineales AX = B. Puesto que existe A -1, podemos multiplicar el sistema: A -1·AX = A -1B. Es decir, X = A -1B. Por tanto, es un sistema compatible determinado.

(2-3)

Basta con considerar B = 0 .

(3-4)

Consecuencia inmediata del teorema de Rouché-Frobenius.

(4-5)

Si el rango de A es n, en su forma escalonada reducida todas las columnas son principales, de donde se deduce que ésta es la identidad.

(5-6)

Pre y post-multiplicando a A matrices elementales obtenemos la identidad, que es inversible. Teniendo en cuanta que las matrices elementales son inversibles y que el producto de matrices inversibles sigue siéndolo, podemos expresar A como el producto de las inversas de dichas matrices,manteniendo el orden adecuado, por la identidad.

(6-1)

Es A es producto de matrices inversibles, por tanto, es inversible.