TEOREMA DE CARACTERIZACIÓN DE MATRICES REGULARES

Enunciado del teorema

Sea A una matriz cuadrada de dimensión n, las siguientes condiciones son equivalentes (si ocurre una, ocurren todas):

  1. A es regular (inversible).

  2. Todo sistema de ecuaciones lineales (SEL) con matriz de coeficientes A, AX = B, es compatible determinado.

  3. El sistema de ecuaciones lineales homogéneo (SELH) AX = 0 es compatible determinado.

  4. El rango de A es n.

  5. La forma escalonada reducida de A es la matriz identidad.

  6. A es producto de matrices elementales.

Demostración

La demostración emplea el Teorema de Rouché-Frobenius.

  • 1 implica 2:

    Supongamos que A es regular y consideremos el sistema de ecuaciones lineales AX = B.

    Puesto que existe la inversa de A, A -1, podemos multiplicar el sistema por esta matriz:

    $$ A^{-1}\cdot AX = A^{-1}B $$

    $$ I_{n} X = A^{-1}B $$

    $$ X = A^{-1}B $$

    Por tanto, es un sistema compatible determinado.

  • 2 implica 3

    Basta con considerar B = 0 .

  • 3 implica 4

    Consecuencia inmediata del teorema de Rouché-Frobenius.

  • 4 implica 5

    Si el rango de A es n, en su forma escalonada reducida todas las columnas son principales, de donde se deduce que ésta es la identidad.

  • 5 implica 6

    Pre y post-multiplicando a A matrices elementales obtenemos la identidad, que es inversible. Teniendo en cuanta que las matrices elementales son inversibles y que el producto de matrices inversibles sigue siéndolo, podemos expresar A como el producto de las inversas de dichas matrices, manteniendo el orden adecuado, por la identidad.

  • 6 implica 1

    Es A es producto de matrices inversibles, por tanto, es inversible.


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