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Introducción a las ecuaciones de primer grado.
Ecuación sin solución y ecuación con infinitas soluciones.
Método para evitar denominadores y paréntesis.
A continuación se resuelven ecuaciones de primer grado cuya dificultad va aumentado: ecuaciones simples, con fracciones (donde usaremos el mínimo común múltiplo), con paréntesis y con paréntesis anidados (unos dentro de otros).
En la Parte I, las ecuaciones son más cortas y se explican todos los pasos. Pretenden estar ordenadas de menor a mayor dificultad. En la Parte II, las ecuaciones son un poco más complicadas; y, en la Parte III, se muestran todas las operaciones y pasos, pero no se explican tan detalladamente.
Pasamos las x's a un lado de la igualdad (izquierda) y los números al otro lado (derecha):
En la derecha, la x está restando. Pasa a la izquierda sumando:
Sumamos los monomios con x’s:
En la izquierda, el -3 está restando. Pasa a la derecha sumando:
Sumamos los monomios de la derecha:
El coeficiente de la x es 2. Este número está multiplicando a x, así que pasa al otro lado dividiendo:
Por tanto, la solución de la ecuación es x = 3.
Recordamos que los paréntesis sirven para agrupar elementos, para simplificar o para evitar ambigüedades.
El signo negativo de delante del paréntesis indica que los monomios que contiene tienen que cambiar de signo:
Sumamos 3 y -2 en el lado derecho:
Pasamos los monomios con x’s a la izquierda y los números a la derecha:
Sumamos 1 y -1. Como el resultado es 0, no lo escribimos:
Pasamos 2x a la izquierda restando y sumamos los monomios:
Luego la solución de la ecuación es x = 0.
Tenemos varias formas de proceder con las fracciones:
En esta ecuación aplicaremos la segunda opción. De este modo los denominadores van a desaparecer.
Multiplicamos, pues, por m.c.m.(2, 3) = 6:
Para simplificar, calculamos las divisiones:
Nótese que hemos escrito un paréntesis al eliminar la fracción de la derecha. Esto se debe a que el 3 debe multiplicar al numerador que está formado por una suma.
Calculamos los productos:
Para eliminar el paréntesis, multiplicamos por 3 todos los elementos que contiene:
Pasamos las x’s a la izquierda:
Sumamos los monomios:
Finalmente, el coeficiente de la x pasa dividiendo al otro lado:
La solución de la ecuación es x = 3/4.
La fracción no se puede simplificar más puesto que ya es irreductible (el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1).
Eliminamos los paréntesis:
El de la izquierda tiene un 2 delante, por lo que multiplicamos su contenido por 2.
Los otros dos paréntesis tienen un signo negativo delante, así que cambiamos los signos de sus monomios:
Para simplificar, en cada lado sumamos los monomios con y sin parte literal (los que tienen x y los que no):
Pasamos las x’s al lado izquierdo y sumamos:
Hemos obtenido una igualdad falsa: -2 = -1. Esto significa que la ecuación nunca se cumple, sea cual sea el valor de x. Por tanto, la ecuación no tiene solución.
Eliminamos los paréntesis multiplicando sus sendos contenidos por el número que tienen delante. No hay que olvidar que si el número de delante es negativo, también hay que cambiar los signos:
En cada lado, sumamos los monomios según su parte literal:
Pasamos las x’s a la izquierda y los números a la derecha:
Sumamos los monomios:
Hemos obtenido una igualdad que siempre se cumple: 0 = 0. Esto significa que la ecuación se cumple siempre, independientemente del valor de x.
Por tanto, la ecuación tiene infinitas soluciones (x puede ser cualquier número y hay infinitos números).
Podemos expresarlo como “x es cualquier real”:
$$ x \in \mathbb{R} $$
Primero eliminaremos los paréntesis exteriores. Empezamos por el de la izquierda. Este paréntesis tiene un signo negativo delante, por lo que cambiamos el signo a sus sumandos. Uno de los sumandos es otro paréntesis:
Eliminamos el paréntesis que queda en la izquierda multiplicando por 2:
Sumamos los números en el lado izquierdo para simplificar:
Eliminamos el paréntesis exterior de la derecha multiplicando sus sumandos por 2:
Eliminamos el paréntesis que queda multiplicando por 2 y cambiando los signos:
Sumamos los monomios en el lado derecho:
Pasamos las x’s a la izquierda, los números a la derecha y simplificamos:
Por tanto, la solución es x = -7.
$$ 3(x+1) -2x = $$
$$ = x-\left( 2 + 3(3 - x)\right) $$
En esta ecuación tenemos paréntesis anidados (uno dentro de otro).
Vamos primero a quitar el pequeño (el de dentro). Éste está multiplicado por 3. Para quitar el paréntesis, tenemos que multiplicar por 3 todos los sumandos de dentro:
$$ 3(x+1) -2x = x-\left( 2 + 3\cdot 3 -3x\right) $$
$$ 3(x+1) -2x = x-\left( 2 + 9 -3x\right) $$
$$ 3(x+1) -2x = x-\left( 11 -3x \right) $$
El interior del paréntesis ya no se puede simplificar más. Como tiene un signo negativo dentro, cambiamos el signo de los sumandos de dentro:
$$ 3(x+1) -2x = x - 11 +3x $$
$$ 3(x+1) -2x = - 11 +4x $$
El paréntesis del lado izquierdo está multiplicado por 3. Para quitarlo, multiplicamos todos los sumandos de dentro por 3:
$$ 3x +3 -2x = - 11 +4x $$
Ahora sólo tenemos que agrupar los monomios según su parte literal:
$$ x +3 = - 11 +4x $$
$$ x = -3 - 11 +4x $$
$$ x = -14 +4x $$
$$ x -4x = -14 $$
$$ -3x = -14 $$
Para despejar la x tenemos que pasar el -3 dividiendo:
$$ x = \frac{-14}{-3} $$
Como el signo del numerador y del denominador es negativo, desaparecen:
$$ x = \frac{14}{3} $$
Ya no podemos simplificar más la expresión de la solución ya que 14 no es divisible por 3, es decir, el máximo común divisor de 14 y 3 es 1.
$$ 1 - 2 ( 1 + 3x - 2(x + 2) + 3x ) = - 1 $$
Tenemos paréntesis anidados (uno dentro de otro) y signos negativos delante de ellos.
Antes de trabajar con los paréntesis, podemos sumar los términos 3x y 3x del paréntesis exterior ya que se encuentran en el mismo nivel (no forman parte de paréntesis distintos):
$$ 1 - 2 ( 1 + 6x - 2(x + 2)) = - 1 $$
Como el paréntesis interno está multiplicado por -2, multiplicamos por -2 sus sumandos para poder quitarlo:
$$ 1 - 2 ( 1 + 6x - 2x - 4) = - 1 $$
$$ 1 - 2 ( 6x - 2x - 3) = - 1 $$
$$ 1 - 2 ( 4x - 3) = - 1 $$
Procedemos de igual modo que en el paréntesis anterior:
$$ 1 -8x +6 = - 1 $$
$$ -8x +7 = - 1 $$
$$ -8x = -8 $$
$$ x = \frac{-8}{-8} $$
$$ x = 1 $$
$$ x + \frac{1}{3} \left(x - 3 -\frac{1}{2}\left(4 - 3x\right)\right)= $$
$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$
Tenemos paréntesis anidados multiplicados por fracciones, algunas de ellas con signo negativo.
Trabajaremos primero en el lado izquierdo de la igualdad. El paréntesis interior está multiplicado por una fracción negativa. Para quitar el paréntesis, tenemos que multiplicar los sumandos de dentro por la fracción:
$$ x + \frac{1}{3} \left(x - 3 -\frac{4}{2} +\frac{3x}{2}\right)= $$
$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$
$$ x + \frac{1}{3} \left(x - 3 -2 +\frac{3x}{2}\right)= $$
$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$
$$ x + \frac{1}{3} \left(x -5 +\frac{3x}{2}\right)= $$
$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$
Notemos que si multiplicamos por 3 toda la ecuación, desaparecen dos denominadores:
$$ 3x + \frac{3}{3} \left(x -5 +\frac{3x}{2}\right)= 3\frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$
$$ 3x +\left(x -5 +\frac{3x}{2}\right)= 2\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$
El paréntesis de la izquierda lo podemos quitar (está multiplicado por 1) y el de la derecha lo quitamos multiplicando sus sumandos por 2:
$$ 3x + x -5 +\frac{3x}{2}= 2-2\frac{5x}{2} $$
Ahora vamos agrupando los monomios según su parte literal:
$$ 3x + x -5 +\frac{3x}{2}= 2-5x $$
$$ 4x -5 +\frac{3x}{2}= 2-5x $$
$$ 4x +5x +\frac{3x}{2}= 2 + 5 $$
$$ 9x +\frac{3x}{2}= 7 $$
Sumamos las fracciones 9x y 3x/2:
$$ \frac{18x}{2} + \frac{3x}{2}= 7 $$
$$ \frac{21x}{2}= 7 $$
$$ x= \frac{7\cdot 2}{21} $$
Escribimos 21 como un producto para reducir la fracción:
$$ x= \frac{7\cdot 2}{7\cdot 3} $$
Los 7 desaparecen y obtenemos la solución
$$ x= \frac{2}{ 3} $$
$$ \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = \frac{x}{3} + 1 -\frac{1}{2}\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$
Tenemos los denominadores 2 y 3. Multiplicamos por su mínimo común múltiplo, 6, para trabajar sin fracciones:
$$ 6\frac{x}{2} + 6\frac{2}{3} = 6\frac{x}{3} + 6 -6\frac{1}{2}\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$
$$ 3x+ 4 = 2x + 6 -3\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$
$$ 3x-2x+ 4 -6 = -3\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$
$$ x -2 = -3\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$
La fracción que queda tiene un signo negativo delante, lo que supone cambiar el signo del numerador.
Como el numerador es una suma, cambiamos el signo a ambos sumandos:
$$ x -2 = -3\left(1+\frac{-x-1}{3}\right)$$
Realizamos la suma en el interior del paréntesis:
$$ x -2 = -3\left(\frac{3}{3}+\frac{-x-1}{3}\right)$$
$$ x -2 = -3\left(\frac{3-x-1}{3}\right)$$
$$ x -2 = -3\left(\frac{2-x}{3}\right)$$
Tenemos el paréntesis multiplicado por 3, pero su interior está dividido entre 3, así que podemos quitar ambos:
$$ x -2 = -\left(2-x\right)$$
Quitamos el paréntesis cambiando el signo de sus sumandos (ya que hay un signo menos delante)
$$ x -2 = -2 + x$$
$$ x -x -2 = -2$$
$$ -2 = -2 $$
$$ 0 = 0 $$
Como tenemos una igualdad verdadera, la ecuación se cumple independientemente de los valores que tome x. Por tanto, la solución es todos los reales:
$$ x\in \mathbb{R} $$
$$ 2\left( x - 3\left( x - 4\left( x -\left( \frac{x}{8}+ 1 \right) \right) \right) \right)=1$$
Tenemos múltiples paréntesis anidados, algunos con signo negativo delante.
Comenzamos por el más interno: como tiene un signo menos, para quitarlo cambiamos el signo de todos sus sumandos
$$ 2\left( x - 3\left( x - 4\left( x -\frac{x}{8}- 1 \right) \right) \right)=1$$
El más interno está multiplicado por -4. Para quitarlo multiplicamos por -4 sus sumandos (multiplicar por 4 y cambiar el signo)
$$ 2\left( x - 3\left( x -4x +4\frac{x}{8}+4 \right) \right)=1$$
$$ 2\left( x - 3\left( x -4x +\frac{x}{2}+4 \right) \right)=1$$
$$ 2\left( x - 3\left( -3x +\frac{x}{2}+4 \right) \right)=1$$
De nuevo, el paréntesis interno está multiplicado por un número negativo:
$$ 2\left( x+ 9x -3\frac{x}{2} -12 \right)=1$$
$$ 2\left( 10x -\frac{3x}{2} -12 \right)=1$$
Quitamos el último paréntesis:
$$ 20x -2\frac{3x}{2} -24 =1$$
$$ 20x -3x -24 =1$$
$$ 17x =1+24$$
$$ 17x =25$$
$$ x=\frac{25}{17}$$
No podemos reducir más la fracción ya que el máximo común divisor de 25 y 17 es 1 (porque 17 es primo).
$$ x-\frac{2}{3}\left(-1-\left(\frac{15}{2}-x \right)\right)=\frac{x}{3}+1 $$
Multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar algunas de las fracciones:
$$ 3x-2\left(-1-\left(\frac{15}{2}-x \right)\right)=x+3 $$
El paréntesis interno tiene un signo delante: cambiamos el signo de todos sus sumandos para poder quitarlo:
$$ 3x-2\left(-1-\frac{15}{2}+x \right)=x+3 $$
El paréntesis está multiplicado por -2. Para quitarlo, multiplicamos sus sumandos por -2 (multiplicar por 2 y cambiar el signo):
$$ 3x+2+2\frac{15}{2}-2x =x+3 $$
$$ 3x+2+15-2x =x+3 $$
Ahora sólo queda agrupar los monomios:
$$ 3x-2x -x =3-2 -15 $$
$$ 0 = -14 $$
Obtenemos una igualdad falsa, independientemente del valor de la incógnita. Esto quiere decir que no hay ningún valor para el que la ecuación se cumpla: no existe solución.
$$ \frac{5x}{3} -2 \left( \frac{x}{3}+x \right) =-x $$
Quitamos el paréntesis multiplicando por -2 su contenido (multiplicar por 2 y cambiar el signo):
$$ \frac{5x}{3} \frac{-2x}{3}-2x = -x $$
Multiplicamos toda la ecuación por 3 para evitar las fracciones:
$$ 5x -2x-6x = -3x $$
Agrupamos los monomios:
$$ 5x -2x-6x +3x= 0 $$
$$ -3x +3x= 0 $$
$$ 0= 0 $$
Obtenemos una igualdad que siempre es cierta, independientemente del valor de la incógnita. Esto quiere decir que la ecuación tiene infinitas soluciones: cualquier valor es una solución:
$$ x\in \mathbb{R} $$
Sumamos (o restamos) los monomios con la misma parte literal (las x con x, los números con números). Los que están sumando en un lado, pasan al otro lado restando y viceversa.
Después pasamos las x a un lado de la igualdad y los números a la otra.
Los elementos que están sumando en un lado, pasan al otro lado restando y viceversa.
Después pasamos las x a un lado de la igualdad y los números a la otra.
Como la x tiene un coeficiente (-10), que está multiplicando, éste pasa al otro lado dividiendo.
Primero nos deshacemos del paréntesis: como tiene un signo negativo delante, cambiamos el signo a todos los elementos de su interior.
Luego sólo tenemos que agrupar las x en un lado y los números en el otro.
Como la x tiene un coeficiente (2) multiplicando, éste pasa al otro lado dividiendo.
Primero nos deshacemos de los paréntesis: el de la derecha tiene un signo negativo, que cambia el signo de los elementos del interior; el de la derecha está multiplicado por 3, que pasa dentro del paréntesis multiplicando a todos los elementos.
Tenemos fracciones. Podemos proceder de varias formas:
Nosotros multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo, que es 6:
De este modo, al efectuar la división, desaparecen los denominadores.
Ahora nos deshacemos de los paréntesis: el primero está multiplicado por 3, por lo que multiplicamos por 3 su contenido; el segundo por -2, por lo que multiplicamos por -2 (no olvidar el signo):
Finalmente, agrupamos las x a un lado y los números al otro:
Tenemos 0 = -2, lo cual es una igualdad falsa. Por tanto, la ecuación no tiene solución porque sea cual sea el valor de x, llegamos a una relación (igualdad) absurda.
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