Triángulos:
Elementos, Clasificación y Test
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Contenido de esta página:
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Definición, lados, vértices y ángulos
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Altura, base, mediana, bisectriz, ortocentro, baricentro e incentro
Clasificación de Triángulos:
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Según los ángulos: rectángulo y oblicuángulo
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Según los lados: equilátero, isósceles y escaleno
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Test
1. Definición, lados, vértices y ángulos
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Un triángulo es un polígono de tres lados:
Los vértices del triángulo son los puntos A, B
y C.
Los lados son los segmentos AB,
BC y AC (llamados así para indicar los dos vértices
que une cada uno de ellos).
En todos los triángulos, los ángulos interiores que forman los lados
suman siempre 180 grados.
Ejemplo:
La suma de los ángulos interiores es
$$ 50+100+30 = 180 $$
Los ángulos exteriores son los que forman los lados
con la prolongación del lado contiguo.
En todos los triángulos, los lados exteriores suman 360 grados.
Ejemplo:
La suma de los ángulos exteriores es
$$130 +150 + 80 = 360 $$
la suma de un ángulo exterior de dos lados con el ángulo interior que forman dichos lados es 180 grados.
Ejemplo:
Las sumas de cada par de ángulos es:
$$ 130+50 = 180 $$
$$ 100+80 = 180 $$
$$ 150+30 = 180 $$
2. Altura, base, mediana, bisectriz, ortocentro, baricentro e incentro
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La altura de un triángulo es el segmento que une un vértice
con el lado opuesto
a dicho vértice, que se denomina base.
La altura es el segmento de color rojo que une el vértice B con la base (el
lado AC).
El ángulo que forma la altura con la base es recto (90 grados).
Como hay 3 vértices, hay 3 alturas, que se cortan entre ellas en un mismo punto denominado ortocentro.
Cada una de las alturas forma un ángulo recto con su respectiva base (lado opuesto).
El ortocentro es el punto verde.
La mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
EL punto medio de un lado es el punto que divide dicho lado en dos segmentos con la misma
longitud.
El segmento rojo es una de las medianas.
Nota: el ángulo que forma la mediana puede no ser recto.
Como hay 3 vértices y 3 lados, hay 3 medianas.
Las medianas se cortan en un mismo punto denominado baricentro (o centroide).
El baricentro es el punto verde.
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales.
Nota: el ángulo que forma la bisectriz con el lado opuesto puede no ser recto.
Como hay 3 ángulos, hay 3 bisectrices, que se cortan en un punto
denominado incentro.
El incentro es el punto verde.
Clasificación de Triángulos
Los triángulos se clasifican según los ángulos internos y los lados.
3. Clasificación según los ángulos
Triángulo Rectángulo
Alguno de los ángulos interiores del triángulo es recto (90 grados).
Ver Clasificación
Los dos lados que forman el ángulo recto se denominan catetos.
El otro lado, el opuesto al ángulo recto, se denomina hipotenusa.
En todos los triángulos rectángulos se cumple la relación establecida por el
Teorema de Pitágoras:
Torema de Pitágoras:
La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:
$$ h^2 = a^2+b^2 $$
a y b son los catetos; h es la hipotenusa.
Ejercicios Resueltos y Test de Pitágoras
Un triángulo rectángulo puede ser:
Rectángulo Isósceles si tiene un ángulo recto y los otros dos ángulos son iguales (45 grados).
En este caso, los dos catetos miden lo mismo.
Ejemplo de Triángulo Rectángulo Isósceles
Como los dos catetos son iguales, AB = AC (de longitud a), entonces, por el Teorema de
Pitágoras, la hipotenusa, h, mide
$$ h =+ \sqrt{ 2a^2} = a\cdot \sqrt{2} $$
Rectángulo Escaleno si tiene un ángulo recto y los otros dos ángulos son diferentes.
En este caso, los catetos son distintos.
Ejemplo de Triángulo Rectángulo Escaleno
Triángulo Oblicuángulo
Ninguno de los ángulos interiores es recto.
Ver Clasificación
Triángulo Obtusángulo:
Un ángulo interior es obtuso (mayor que 90 grados) y los otros
dos son agudos (menor que 90 grados).
Triángulo Acutángulo:
los tres ángulos interiores son agudos (menor que 90 grados).
4. Clasificación según ángulos y lados
Triángulo Equilátero
Todos los lados y los ángulos son iguales (los ángulos miden 60 grados).
Ver más Propiedades
En los triángulos equiláteros, las tres alturas unen los puntos medios de cada lado con el vértice opuesto:
Las alturas, las medianas y las bisectrices coinciden y, por tanto, el ortocentro, el baricentro y el incentro están en el mismo punto.
Triángulo Isósceles
Tiene dos lados iguales. Por tanto, los ángulos que forman los dos lados iguales con el otro son iguales.
Triángulo Escaleno
Los tres lados son distintos.
5. Test
Escoger la opción correcta en todas las preguntas.
Pregunta 1
En los triángulos obtusángulos hay un ángulo obtuso
(mayor que 90 grados) y en los acutángulos
hay un ángulo agudo (menor que 90 grados). Entonces…
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La suma de los tres ángulos (interiores) de un obtusángulo es mayor que la suma de los tres ángulos (interiores) de uno acutángulo.
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La suma de los tres ángulos (interiores) de un obtusángulo es menor que la suma de los tres ángulos (interiores) de uno acutángulo.
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La suma de los tres ángulos (interiores) es la misma en los obtusángulos y en los acutángulos.
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Razonamiento:
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La suma de los tres ángulos (interiores) de todo triángulo siempre es dos ángulos
rectos (180 grados).
Esta propiedad de los triángulos ya se conocía en el
siglo IV a. C. (época de Aristóteles).
Pregunta 2
Se desea calcular la altura de un triángulo equilátero cuyos lados miden 2cm:
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Aplicando Pitágoras, la altura es
$$ a=\sqrt{3}\ cm $$
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No podemos aplicar Pitágoras para calcular la altura porque los ángulos del triángulo no son rectos.
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Como el triángulo es equilátero, todos los lados miden lo mismo y, por tanto, la altura es 2cm.
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Razonamiento:
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La altura del triángulo lo divide en otros dos subtriángulos rectángulos:
Las longitudes de la base y de la hipotenusa de cada uno de
los subtriángulos es 1cm y 2cm, respectivamente.
Como hay un ángulo recto, podemos aplicar
el Teorema de
Pitágoras:
$$ 2^2 = 1^2 + a^2 $$
$$ 4 = 1 + a^2 $$
$$ a^2 = 4-1 = 3 $$
$$ a = \sqrt{3} $$
Por tanto, la altura es
$$ a = \sqrt{3}\ cm$$
Pregunta 3
Al cortar un cuadrado por su diagonal se obtienen...
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Dos triángulos rectángulos equiláteros.
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Dos triángulos rectángulos isósceles.
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Dos triángulos acutángulos equiláteros.
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Razonamiento:
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Los triángulos son rectángulos (tienen un ángulo recto).
Además, los catetos miden lo mismo por ser los lados de un cuadrado.
Luego se trata de triángulos rectángulos isósceles.
Nota: un triángulo rectángulo no puede ser equilátero.
Pregunta 4
La bisectriz de un triángulo equilátero lo divide en dos triángulos iguales.
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Los dos triángulos son rectángulos escalenos.
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Los dos triángulos son también equiláteros.
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Ninguna de las dos afirmaciones anteriores es cierta.
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Razonamiento:
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Los dos triángulos son rectángulos escalenos ya que los tres lados son distintos.
Si los lados del triángulo equilátero miden a,
la hipotenusa de cada uno de los subtriángulos mide a y uno de los catetos
mide la mitad (a/2):
Al aplicar Pitágoras, podemos calcular cuánto mide el otro cateto:
$$ a^2 = \left( \frac{a}{2} \right) ^2 + x^2 $$
Entonces
$$ x = \sqrt{a^2 – \frac{a^2}{4}} = \sqrt{ \frac{3a^2}{4}}= $$
$$ = a\cdot \frac{ \sqrt{3}}{2} $$
Pregunta 5
Según los lados, un triángulo obtusángulo...
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Nunca puede ser isósceles.
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Nunca puede ser equilátero.
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Las dos afirmaciones anteriores son ciertas (no puede ser isósceles ni equilátero).
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Razonamiento:
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Un triangulo equilátero tiene todos los ángulos internos
iguales y son agudos (60 grados). Por tanto, un
obtusángulo no puede ser equilátero.
Sin embargo, sí que puede ser isósceles (dos lados iguales). Por ejemplo:
El vértice donde se encuentra el ángulo obtuso está en el centro
de la circunferencial, lo cual nos permite comprobar que dos lados
miden lo mismo (el radio de la circunferencia).
Pregunta 6
En un triángulo equilátero...
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Cuanto más largo son los lados, más grandes son los ángulos (interiores).
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Cuanto más largo son los lados, más pequeños son los ángulos (interiores).
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Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta.
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Razonamiento:
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En un triángulo equilátero los ángulos (internos) siempre
miden 60 grados, independientemente de la longitud de los lados.
Pregunta 7
Observar la siguiente figura:
Los segmentos rojos y el punto azul son ...
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Las medianas y el incentro.
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Las medianas y el baricentro.
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Las alturas y el ortocentro.
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Razonamiento:
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Los segmentos son las alturas porque forman ángulos rectos
con las bases. La intersección de éstas es el ortocentro.
No son medianas porque éstas unen los puntos medios de los lados con
los vértices.
Pregunta 8
En la siguiente figura
Los segmentos rojos y el punto azul son ...
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Las alturas y el ortocentro.
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Las medianas y el baricentro.
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Las bisectrices y el incentro.
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Razonamiento:
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Los segmentos son las bisectrices puesto que dividen los ángulos (internos)
por la mitad. La intersección de éstas se denomina incentro.
Pregunta 9
En el baricentro de un triángulo...
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Intersectan las alturas.
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Intersectan las medianas.
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Intersectan las bisectrices.
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Razonamiento:
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El baricentro es la intersección de las medianas; el ortocentro,
la intersección de las alturas; y el incentro,
la intersección de las bisectrices.
Pregunta 10
En un triángulo, las tres alturas y las tres medianas coinciden cuando...
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Es un triángulo escaleno.
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Es un triángulo rectángulo isósceles.
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Ninguna de las anteriores.
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Razonamiento:
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Recordamos que...
Las alturas unen los vértices con sus lados opuestos, formando un ángulo recto;
las medianas unen los vértices con el punto medio del lado opuesto.
Supongamos que el siguiente segmento es el lado que une los vértices A y B del triángulo:
Representamos la altura, que forma un ángulo recto con el lado representado.
Tenemos múltiples posibilidades:
Pero como la altura coincide con la mediana, debe estar situada en la mitad del lado. Por tanto,
Por otro lado, para que las otras dos alturas y las otras dos medianas coincidan, debemos situar el
vértice a una altura de modo que los tres lados midan lo mismo:
Se obtiene un triángulo equilátero, que no es un triángulo escaleno ni un triángulo rectángulo isósceles.
Nota: en los triángulos rectángulos isósceles, coinciden una de las alturas y una de las medianas, pero las otras dos no.
Pregunta 11
Considerar un triángulo rectángulo isósceles:
Seleccionar la única de las tres siguientes opciones que es falsa:
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Hay dos alturas que coinciden con los catetos.
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La altura y la mediana que parten del ángulo recto coinciden.
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La mediana que parte de la hipotenusa divide el triángulo en dos triángulos equiláteros.
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Razonamiento:
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La primera opción es verdadera ya que las alturas que parten de los vértices
A y C son los lados del triángulo.
La segunda opción también es verdadera:
Finalmente, observando la imagen anterior, cada uno de los subtriángulos
tiene un ángulo recto y uno de 45 grados. Luego no son triángulos equiláteros,
sino triángulos rectángulos isósceles.
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