Es aplicación directa del Teorema de Banach a la función

$$H: K(\mathbb{R^n}) \rightarrow K(\mathbb{R^n}) $$

definida por

$$ H(K) = f_1(K) \cup f_2(K) \cup … \cup f_m(K) $$

Esta aplicación es contractiva con razón

$$ r = sup \{r_i | i=1,…,m\} $$

El atractor K de la función H es el compacto K del enunciado.

Aunque la construcción del fractal es simple, utilizaremos un sistema de 8 funciones contractivas.

El compacto inicial del que partimos es el cuadrado de lado 1:

$$ K_0 = I^2 = \left[0,1 \right] \times \left[ 0,1\right]$$

Dividimos el cuadrado en otros 9 subcuadrados iguales:

Observemos que los lados de los 9 cuadrados obtenidos miden la tercera parte de lo que miden los del cuadrado K₀.

La primera iteración consiste en eliminar el cuadrado central, obteniendo K_1:

Matemáticamente, esta acción la realizamos de la siguiente manera:

Contraemos el cuadrado K₀ con un factor de 1/3 y trasladamos 8 copias suyas a distintos puntos:

$$ (0,0),\ (0, 1/3),\ (0,2/3), $$

$$(1/3,0),\ (1/3,2/3),\ (2/3,0), $$

$$ (2/3,1/3),\ (2/3, 2/3) $$

Repetimos el proceso para obtener K₂:

Repetimos el proceso para obtener K₃:

Cuarta iteración, K₄:

Calculamos las funciones:

La contracción se obtiene con la función:

$$ f(x,y) = \frac{1}{3}\cdot(x,y) $$

Para trasladar los cuadrados sólo tenemos que sumar los puntos anteriores.

Por tanto, el sistema de funciones iteradas está formado por las siguientes 8 funciones:

$$ f_1 (x,y) = \frac{1}{3}\cdot (x,y) + \left(0,0\right) $$

$$ f_2 (x,y) = \frac{1}{3}\cdot (x,y) + \left(0, \frac{1}{3} \right) $$

$$ f_3 (x,y) = \frac{1}{3}\cdot (x,y) + \left(0,\frac{2}{3}\right)$$

$$ f_4 (x,y) = \frac{1}{3}\cdot (x,y) + \left(\frac{1}{3},0 \right) $$

$$ f_5 (x,y) = \frac{1}{3}\cdot (x,y) + \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) $$

$$ f_6 (x,y) = \frac{1}{3}\cdot (x,y) + \left(\frac{2}{3},0\right)$$

$$ f_7 (x,y) = \frac{1}{3}\cdot (x,y) + \left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$$

$$ f_8 (x,y) = \frac{1}{3}\cdot (x,y) + \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$$

Construcción del Triángulo de Sierpinski:

Definimos el compacto S₀ como el triángulo equilátero de lado 1 y el compacto

$$ S_n,\ n\in \mathbb{N} $$

como el conjunto formado por la unión de 3ⁿ triángulos equiláteros de lado

$$ \frac{1}{2^n} $$

El conjunto S₀ es

El conjunto S₁ es

El conjunto S₂ es

El conjunto S₃ es

El conjunto S₄ es

Calculamos el Sistema de Funiciones Iteradas (SFI):

En la iteración n, se contrae el conjunto de la iteración anterior, S_n-1 y se situan tres copias suyas en tres puntos distintos:

$$ f_1 (x,y) = \frac{1}{2}\cdot (x,y) $$

$$ f_2 (x,y) = \frac{1}{2}\cdot (x,y)+\left( \frac{1}{2},0 \right) $$

$$ f_3 (x,y) = \frac{1}{2}\cdot (x,y)+\left( \frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4} \right) $$

Anteriormente definimos el Triángulo de Sierpinski como el límite de una sucesión construida a partir de un triángulo equilátero.

También vimos en las observaciones del Teorema 1 que el punto fijo del SFI puede obtenerse a partir de cualquier compacto.

Veamos la construcción del Triángulo de Sierpinski a partir de otro compacto:

Definimos el compacto S₀ como el cuadrado de lado 1,

$$ S_0 = I \times I = \left[0,1 \right] \times \left[ 0,1\right]$$

y la sucesión

$$ S_{n+1} = H(S_n) $$

siendo

$$ H(S_0) = f_1(S_0) \cup f_2 (S_0) \cup f_3(S_0) $$

donde f_i son las funciones iteradas del SFI del apartado anterior, es decir,

$$ f_1 (x,y) = \frac{1}{2}\cdot (x,y) $$

$$ f_2 (x,y) = \frac{1}{2}\cdot (x,y)+\left( \frac{1}{2},0 \right) $$

$$ f_3 (x,y) = \frac{1}{2}\cdot (x,y)+\left( \frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4} \right) $$

El conjunto S₀ es

El conjunto S₁ es

Nota: los cuadrados no se han representado sólidos para hacer notar que se solapan.

El conjunto S₂ es

El conjunto S₃ es

El conjunto S₆ es

El conjunto K₀ es el segmento (compacto)

$$ K_0 = I \times \{0 \} = \left[ 0,1 \right] \times \{0 \} $$

Para construir K₁, se divide K₀ en tres partes iguales y se sustituye su parte central por dos lados de un triángulo equilátero (de lado la tercera parte del segmento K₀):

Repetimos el proceso para obtener K₁:

Y K₂:

Y K₃:

Y K₅:

Y así, sucesivamente.

La curva de Koch es el límite de la sucesión K_n.

El Sistema de Funciones Iteradas (SFI) es:

$$ f_1 (x,y) = \frac{1}{3}(x,y) $$

$$f_2(x,y) =\frac{1}{6}(x-y\sqrt{3}, x\sqrt{3}+y)+ \left(\frac{1}{3},0 \right)$$

$$f_3(x,y) =\frac{1}{6}(-x+y\sqrt{3}, x\sqrt{3}+y)+ \left(\frac{2}{3},0 \right)$$

$$f_4(x,y) =\frac{1}{3}(x,y)+ \left(\frac{2}{3},0 \right)$$

El compacto inicial que tomaremos es un cuadrado de lado 1:

$$ P_0 = I \times I = \left[ 0,1 \right] \times \left[ 0,1 \right] $$

Para construir P₁, se unen al conjunto P₀ otros dos cuadrados pero de lado menor a 1. Los nuevos cuadrados se añaden a los vértices superiores de P₀, rotados de modo que los lados de estos dos cuadrados encierren un triángulo.

En el caso del ejemplo, el triángulo que encierran es isósceles, por lo que los dos cuadrados añadidos son iguales. Además, se ha elegido una altura para el triángulo de modo que los lados de los cuadrados sea exactamente la mitad del lado del cuadrado (o cuadrados) de la iteración anterior.

Para construir el conjunto P₁:

Se contraen dos copias del conjunto P₀ y se rotan 45 grados la izquierda una, y 45 grados a la derecha la otra (manteniendo fijo el vértice inferior izquierdo en una, y el derecho en la otra). También se realizan translaciones en el plano para situarlos en los vértices del cuadrado de P₀.

El conjunto P₁ es la unión de P₀ con las dos copias.

Para obtener P₂ realizamos el mismo proceso:

El mismo proceso para P₃:

Y para P₄:

El conjunto P₁₀ ya nos permite imaginar el aspecto del límite de la sucesión:

Atendiendo a las operaciones explicadas para obtener el conjunto P₁, el Sistema de Funciones Iteradas está compuesto por

$$ f_1(x,y)=(x,y) $$

$$f_2(x,y) = \frac{1}{2} \left(x-y, x+y \right) + \left(0, 1 \right)$$

$$f_3(x,y) = \frac{1}{2} \left(x+y, -x+y \right) + \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)$$

Nota: la función f₁ no es contractiva, luego el sistema de funciones iteradas no es contractivo y, por tanto, no podemos aplicar el teorema que vimos anteriormente. Esto significa que la sucesión converge a un conjunto límite que depende del conjunto inicial.

Nota 2: si quitamos la función f₁, el sistema es contractivo y su atractor es la copa del árbol:

(Imagen: Iteración 12 del sistema contractivo).

La construcción del Dragón de Levy suele realizarse con un triángulo isósceles como compacto inicial, pero podemos comenzar por cualquier compacto porque el SFI es contractivo.

Definimos el compacto inicial como el cuadrado de lado 1:

$$ L_0 = I \times I = \left[ 0,1 \right] \times \left[ 0,1 \right] $$

El conjunto L₁ está formado por dos copias del conjunto L₀ escalado con una razón

$$ r = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Una de las copias se rota 45 grados y la otra se rota -45 grados y se traslada 0.5 hacia la derecha y hacia arriba:

Repetimos el proceso para construir L₂:

Y para construir L₃ :

L₄ :

L₅ :

L₁₀ :

El conjunto L₁₅ nos permite imaginar el fractal atractor:

El SFI está compuesto por dos funciones:

$$f_1 (x,y) = \frac{1}{2} (x-y, x+y) $$

$$f_2 (x,y) = \frac{1}{2} (x+y, -x+y) +\left(\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)$$

Definimos el conjunto B₀ como el segmento vertical de longitud 1

$$ B_0 = \{ 0 \} \times I =\{ 0 \} \times \left[ 0, 1 \right] $$

El conjunto B₁ está formado por la unión del segmento B₀ y otros dos segmentos cuya longitud es la mitad de B₀ (factor r = 0.5). Los segmentos están situados en el vértice superior de B₀ formando un ángulo de α y -α con B₀ (entre ellos forman un ángulo de 2α).

Los siguientes conjuntos B_n se construyen del mismo modo:

B₂ :

B₃ :

B₄ :

B₇ :

B₁₀:

El Sistema de Funciones Iteradas que hemos empleado es

$$f_1(x,y) = (x, y) $$

$$f_2 (x,y) = r\cdot (x\cdot cos(\alpha )-y\cdot sin(\alpha ),x \cdot sin(\alpha )+y \cdot cos( \alpha ) ) +\left(0 , 1 \right)$$

$$f_3 (x,y) = r\cdot (x \cdot cos( \alpha )+y \cdot \sin( \alpha ), -x \cdot sin( \alpha ) +y \cdot cos( \alpha )) +\left(0 , 1 \right)$$

siendo r el factor de contracción (en el ejemplo, r = 0.5) y α el ángulo (en el ejemplo, α = π/6 ).

Si eliminamos la función f₁ del sistema, entonces el sistema es contractivo y la sucesión de conjuntos B_n tiende al atractor del sistema:

(B₁₀ para r = 0.7 y α = π/6)

Para ver con mayor claridad los conjuntos, las primeras iteraciones las representaremos con "*" de color azul.

Definimos como el compacto inicial al segmento horizontal de longitud 1:

$$ H_0 = I \times \{ 0 \} = \left[ 0, 1 \right] \times \{ 0 \}$$

Para construir H₁, reemplazamos el segmento H₀ por dos segmentos escalados con razón

$$ r = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

de modo que formen dos lados de un triángulo isósceles cuya base (no presente) es el segmento H₀:

El proceso para conseguir este conjunto es el siguiente:

Se escalan dos copias del segmento H₀ con razón r. Una de ellas se rota 45 grados, la otra se rota 135 grados y se traslada al punto (1,0).

Para construir H₂, realzamos las mismas operaciones con H₁.

La representación de H₂ (azul) y H₁ (rojo) es:

Del mismo modo se construye H₃ (H₃ en azul y H₂ en rojo):

Y H₄ (H₄ en azul y H₃ en rojo):

Y H₅ :

Y H₁₀ :

El conjunto H₁₃ ya nos permite imaginar el atractor:

Según vimos en la construcción de H₁, el Sistema de Funciones Iteradas esta formado por:

$$ f_1 (x,y) =\frac{1}{2}(x-y, x+y)$$

$$f_2(x,y) =\frac{1}{2}(-x-y, x-y)+(1,0)$$

Definimos como conjunto inicial el cuadrado de lado 1:

$$ V_0 = I \times I = \left[ 0,1 \right] \times \left[ 0,1 \right] $$

Para construir V₁, contraemos el cuadrado V₀ con razón

$$ r = \frac{1}{3}$$

y realizamos cinco copias suyas, situándolas del siguiente modo:

Constuimos V₂ del mismo modo:

Y V₃ :

El SFI está formado por las funciones contractivas

$$f_1(x,y) = \frac{1}{3}(x,y) $$

$$f_2(x,y) = \frac{1}{3}(x,y) +\left(\frac{2}{3}, 0\right)$$

$$f_3(x,y) = \frac{1}{3}(x,y) +\left( 0, \frac{2}{3} \right)$$

$$f_4(x,y) = \frac{1}{3}(x,y) +\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$$

$$f_5(x,y) = \frac{1}{3}(x,y) +\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$$

El conjunto V₅ nos permite imaginar la forma del atractor del SFI:

Este fractal es una variación del anterior. La diferencia es el lugar en el que se sitúan las 5 copias:

El conjunto V₁ es

De donde deducimos que el SFI es

$$f_1(x,y) = \frac{1}{3}(x,y) +\left(\frac{1}{3}, 0 \right)$$

$$f_2(x,y) = \frac{1}{3}(x,y) +\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$$

$$f_3(x,y) = \frac{1}{3}(x,y) +\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$$

$$f_4(x,y) = \frac{1}{3}(x,y) +\left( 0, \frac{1}{3} \right)$$

$$f_5(x,y) = \frac{1}{3}(x,y) +\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right)$$

El conjunto V₂ es

El conjunto V₃ es

El conjunto V₄ es