En esta página vamos a ver por qué el álgebra matricial es una gran herramienta para estudiar y resolver sistemas de ecuaciones lineales. El texto es más bien teórico, pero se incluyen enlaces a problemas resueltos.
Contenido de esta página:
Una de las aplicaciones más importantes del álgebra matricial es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (SEL). En esta página vamos ver cómo representar un SEL en forma matricial y algunos resultados teóricos del álgebra matricial que permiten clasificarlo y resolverlo.
Sin duda, el resultado más relevante es el teorema de Rouché-Frobenius, que nos permite clasificar el SEL a partir del rango de la matriz ampliada del SEL.
Asumimos que ya conocemos el concepto de matriz y sus operaciones básicas (suma, resta, producto, transpuesta, determinante, matriz inversa, rango, etc.).
Notación: llamaremos \(x_i\) a las incógnitas de los sistemas para poder hablar de forma genérica de un sistema con \(n\) incógnitas.
Un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas \(x_1\), \(x_2\),...,\(x_n\) con coeficientes en un cuerpo \(K\) (como los reales o los complejos) es
siendo \(a_{i,j}\in K\) el coeficiente de la incógnita \(x_j\) de la ecuación \(i\) y \(b_i \in K\) el término independiente de la ecuación \(i\).
Se define la matriz de coeficientes del sistema anterior como
Y la matriz de incógnitas, \(x\), y de términos independientes, \(b\), como
La representación matricial o forma matricial del SEL es \(A·x = b\).
Además de la matrices anteriores, se define la matriz ampliada, completa o aumentada del SEL como la matriz por bloques siguiente:
Es decir,
Clasificación de un sistema de ecuaciones lineles (SEL):
1. Según su dimensión:
2. Según los términos independientes \(b_i\) de las ecuaciones:
Una solución de un SEL es el conjunto de valores que debe tomar cada una de las incógnitas \(x_i\) para que se verifiquen simultáneamente todas las ecuaciones del SEL.
Si trabajamos en forma matricial, una soución del SEL es una matriz de dimensión \(1xn\) que debe verificar la ecuación matricial \(A·x = b\).
Los métodos para clasificar y resolver un SEL en forma matricial se basan en el siguiente teorema:
Sea un SEL con matriz ampliada \(A^* = (A|b)\), es decir, \(A·x=b\). Y sea \(B^*\) cualquier matriz que se haya obtenido realizando operaciones elementales entre las filas de \(A^*\).
Entonces, el SEL con matriz ampliada \(B^*\) es equivalente al SEL con matriz ampliada \(A^*\).
Aclaraciones:
Dos SEL son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Las operaciones elementales entre las filas de una matriz son:
Por ejemplo, si multiplicamos todas las ecuaciones de un SEL por 2, tenemos un sistema distinto, pero la solución sigue siendo la misma. Son sistemas distintos, pero equivalentes.
Según el número de soluciones, clasificamos un SEL en:
Destacamos 3 métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:
El teorema de Rouché-Frobenius es uno de los más importantes del álgebra matricial, al menos en cuanto a aplicaciones prácticas, ya que nos permite clasificar un SEL según el rango de su matriz ampliada.
Sea A·x = b un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sobre un cuerpo en general), siendo m y n naturales (no nulos). Entonces,
Demostración del teorema y ejemplos de aplicación en Teorema de Rouché-Frobenius.
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