MATRIZ INVERSA POR ADJUNCIÓN: EJERCICIOS RESUELTOS

La necesidad de la inversa

Las matrices son en sí una herramiente de gran utilidad en las matemáticas pero, sobre todo, lo son cuando se trata de matrices regulares. No sólo para el cálculo de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado, sino que este hecho facilita las demostraciones en otros campos de las matemáticas. Así pues, cuando se trabaja con matrices, lo primero que comprobamos es si se ésta es regular.

Sin embargo, en la práctica, es tan útil que la matriz sea regular como conocer su inversa. Tenemos varios métodos de obtenerla, entre los que destacan: la eliminación de Gauss y la adjunción. Se suele utilizar el segundo de éstos porque es más rápido que el segundo, que consiste en buscar la forma escalonada reducida de la una matriz formada por la propia matriz a un lado y la identidad al otro.

Recordemos que...

La matriz adjunta, de adjuntos o de cofactores de la matriz A, que denotamos por Adj(A), es la matriz cuyo elemento ( i , j ) ( fila i y columna j ) es el adjunto ad i , j = ( - 1 ) i + j · det( A i , j ) donde la matriz A i , j es la matriz que resulta al quitar a la matriz A la fila i y la columna j.

Se cumple que la matriz inversa de A, A -1 se puede escribir en función de su adjunta como

donde la notación de la potencia T expresa trasposición de matrices.

Notemos que en la expresión anterior se divide por el determinante, con lo que éste no puede ser cero. Esto es obvio ya que si esto ocurre, la matriz es singular (no regular) y, por tanto, no tiene matriz inversa.

Nota: en el ejercicio 7 la matriz es de entradas complejas. Se resuelve del mismo modo pero hay que tener en cuenta las operaciones de los complejos.

Ejercicios relacionados: determinantes, inversibilidad de matrices con parámetros, Eliminación de Gauss y Regla de Cramer.

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