1. El espacio real tridimensional \(\mathbb{R}^3\)

Trabajaremos con elementos de \(\mathbb{R}^3\) (llamados vectores) y con elementos de \(\mathbb{R}\) (llamados escalares).

El espacio \(\mathbb{R}^3\) es un \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial (ahora explicamos sus propiedades). En este espacio tenemos definida una operación binaria interna (suma de vectores) y una operación binaria externa (producto de un escalar por un vector).

Suma de vectores

La suma de dos vectores \(\vec{u},\vec{v}\in \mathbb{R}^3\) es un vector:

$$ \vec{u}+ \vec{v}\in \mathbb{R}^3$$

Dados tres vectores \( \vec{u},\ \vec{v}\) y \( \vec{w}\), las propiedades de la suma son:

• Conmutatividad:

  $$ \vec{u}+ \vec{v} = \vec{v}+ \vec{u}$$

• Asociatividad:

  $$ \vec{u}+ ( \vec{v}+ \vec{w}) = ( \vec{u}+ \vec{v}) + \vec{w}$$

• Existencia de elemento neutro (vector \(\vec{0}=(0,0,0)\)):

  $$ \vec{u}+ 0 = \vec{u}= 0 + \vec{u}$$

• Existencia de elemento opuesto: dado un vector \( \vec{u}\), existe su opuesto \(- \vec{u}\) tal que

  $$ \vec{u}+ (- \vec{u}) = \vec{0} = (- \vec{u}) + \vec{u}$$

Producto de un escalar por un vector

Dado un vector \( \vec{u}\in \mathbb{R}^3\) y un escalar \(\alpha \in\mathbb{R}\), el producto \(\alpha\cdot \vec{u}\) es un vector de \(\mathbb{R}^3\).

Dados dos escalares \(\alpha\) y \(\beta\) de \(\mathbb{R}\) y dos vectores \( \vec{u}\) y \( \vec{w}\) de \(\mathbb{R}^3\), las propiedades del producto son:

• Asociativa:

  $$ \alpha \cdot (\beta \cdot \vec{u}) = (\alpha \cdot \beta )\cdot \vec{u}$$

• Distributiva respecto de la suma de vectores y de la suma de escalares:

  $$ \alpha \cdot ( \vec{u}+ \vec{w}) = \alpha \cdot \vec{u}+ \alpha \cdot \vec{w}$$

  $$ ( \alpha + \beta ) \cdot\vec{u} = \alpha\cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{u}$$

• Existe el escalar neutro (es el real 1):

  $$ 1\cdot \vec{u}= \vec{u}= \vec{u}\cdot 1$$

El vector opuesto se obtiene cambiando el signo de las coordenadas.

Por tanto, el vector opuesto de \(\vec{v} = (1,2,3)\) es \(-\vec{v} = (-1,-2,-3)\).

Más adelante, veremos que la diferencia entre ambos vectores es su sentido.

Antes que nada, ambas operaciones son binarias porque se definen ente dos elementos. Es decir, la suma de dos vectores y el producto de un escalar y un vector.

La suma de vectores es una operación interna porque los dos elementos de la operación (dos vectores) son elementos del espacio vectorial.

El producto de un escalar por un vector es una operación externa porque uno de los elementos (el escalar) no es un elemento del espacio vectorial.

Ambas operaciones tienen como resultado un elemento del espacio vectorial (un vector).

Sin embargo, en ocasiones sólo interesan la dirección, el sentido y el módulo de un vector, sin importar los puntos que une. Este tipo de vector se denomina vector libre.

Los vectores libres los representamos partiendo del origen y los trasladamos para obtener vectores fijos. Al realizar traslaciones de un vector libre, obtenemos vectores fijos que son equipolentes entre ellos.

Ejemplo:

El vector fijo \(\vec{AB}\) que une los puntos \(A=(1,1,-3)\) y \(B=(2,3,-4)\) y el vector fijo \(\vec{CD}\) que une los puntos \(C=(3,0,-1)\) y \(D=(4,2,-2)\) son equipolentes. También, lo es el vector libre \(\vec{u} = (1,2,-1)\).

Si trasladamos el vector libre \(\vec{u}\) al punto \(A\), obtenemos el vector fijo \(\vec{AB}\).

Si trasladamos el vector libre \(\vec{u}\) al punto \(C\), obtenemos el vector fijo \(\vec{CD}\).

Dados los puntos \(A\) y \(B\), el vector que los une, partiendo de \(A\), es el vector \( \vec{AB} = B-A \).

Ejemplo:

El vector que une los puntos \(A =(1,1,1)\) y \(B = (3,3,3)\), partiendo de \(A\), es

$$ \vec{AB} = B-A = (2,2,2)$$

Para calcular el vector que va de \(A\) a \(B\), restamos a las coordenadas de \(B\) las coordenadas de \(A\):

Representación del vector (fijo):

Para calcular el vector que va de \(B\) a \(A\), restamos a las coordenadas de \(A\) las coordenadas de \(B\):

Representación del vector (fijo):

La diferencia entre ambos vectores es su sentido. Ambos tienen la misma dirección y módulo.

Las coordenadas del punto al que apunta el vector cuando se traslada al punto \(P\) se calculan sumando las coordenadas del punto \(P\) y las del vector.

Traslación al punto \(A\):

El vector apunta al punto \( C = (-2,1,3) \).

Traslación al punto \(B\):

El vector apunta al punto \( D = (-1,1,2) \).

Representación:

Con ayuda de los puntos representados, las coordenadas de los puntos son \(A = (3,2,1)\) y \(B = (2,1,3)\).

Por tanto, el vector libre es

Dado un vector \(\vec{v}\) distinto de 0, se llama vector normalizado de \(\vec{v}\) al vector unitario

$$ \vec{u_v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v} | } $$

El vector normalizado de \(\vec{v}\) conserva el sentido y la dirección del vector \(\vec{v}\), pero es de módulo unitario.

Propiedades del módulo

• El módulo de un vector es siempre no negativo.

• El módulo de un vector es 0 si, y solo si, es el vector \(\vec{0} = (0,0,0)\).

• Si \(\alpha \) es un escalar y \( \vec{u}\) es un vector, el módulo de \( \alpha \cdot \vec{u}\) es \(| \alpha \cdot \vec{u}| = |\alpha| \cdot | \vec{u}|\)

Calculamos el módulo del vector \(\vec{a}\):

Calculamos el módulo del vector \(\vec{b}\):

Calculamos el módulo del vector \(\vec{c}\):

Calculamos el módulo del vector \(\vec{d}\):

Calculamos el módulo de los vectores para ver si son unitarios:

El vector \(\vec{a}\) es unitario.

El vector \(\vec{b}\) no es unitario.

El vector \(\vec{c}\) es unitario.

El módulo de los vectores los hemos calculado en el Problema 6: \( |\vec{b}| =\sqrt{5} \) y \( |\vec{c}| = 2\).

Para normalizar, dividimos las coordenadas del vector entre su módulo:

1. No, para ser equipolentes deben tener también el mismo sentido y la misma dirección.

2. Sí, si son equipolentes, tienen el mismo módulo.

3. Sólo es cierto si el vector \(\vec{v}\) es unitario. Si no, no tienen el mismo módulo y, por tanto, no son equipolentes.

El módulo de un vector es siempre no negativo ya que se define como

Teniendo en cuenta la expresión anterior, el módulo sólo puede ser 0 cuando \( a = b = c = 0\).

Sea el vector \( \vec{u} = (a,b,c)\) y \( \alpha \) un escalar, el módulo de \( \alpha \cdot \vec{u}\) es

El escalar pasa multiplicando las coordenadas del vector:

El vector \(\alpha\cdot \vec{a}\) es

El vector \(\beta\cdot \vec{a}\) es

El vector \(\alpha\cdot \vec{b}\) es

El vector \(\beta\cdot \vec{b}\) es

Normalizamos el vector \(\vec{v}\). Para ello, necesitamos calcular su módulo:

Por tanto, el vector normalizado es

Calculamos el producto:

El vector unitario \( \vec{u_v}\) conserva el sentido y la dirección del vector \( \vec{v}\), pero tiene módulo unitario. Luego si se multiplica por el módulo de \(\vec{v}\), también tiene el mismo módulo y, por tanto, son el mismo vector.

Para facilitar los cálculos, aplicamos la propiedad del módulo de un escalar por un vector:

La diferencia es el sentido del vector. Veamos por qué:

El vector \(\vec{u}\) une algún par de puntos \(A\) y \(B\) partiendo de \(A\).

Sabemos que, entonces, las coordenadas del vector pueden obtenerse restando las coordenadas de los puntos:

Si multiplicamos por -1,

Es decir, es el vector que une los mismo puntos pero con sentido opuesto.

En la imagen, representación de un vector libre \(\vec{v}\) y su opuesto \(-\vec{v}\).

Multiplicando el vector \(\vec{u}\) por un escalar positivo. La diferencia entre los vectores obtenidos es su módulo, así que no son vectores equipolentes.

En la imagen, representación del vector (1,1,-1) y de otros 3 vectores obtenidos al multiplicarlo por los escalares positivos 2, 3 y 4. Todos los vectores parten del origen.