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Teorema del seno o de los senos


Contenido de esta página:

  1. Introducción

  2. Teorema del seno (enunciado y demostración)

  3. Área de un triángulo inscrito (aplicación del teorema del seno)

  4. 7 Problemas resueltos de aplicación del teorema del seno


1. Introducción

El teorema del seno (o teorema de los senos) es un resultado de trigonometría que establece la relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos. Esta relación fue descubierta en el siglo X.

Si se aplica el teorema a la fórmula del área de un triángulo (área igual a la mitad de la base por la altura) inscrito en una circunferencia de radio \(R\), se obtiene una fórmula para el área en función de los lados y del radio (apartado 3).

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior (opuesto a alguno de estos dos lados), o bien, un lado y dos ángulos (uno de ellos debe ser el opuesto al lado).

En esta página enunciamos y demostramos el teorema del seno y la fórmula del área mencionada anteriormente y resolvemos problemas de aplicación de éstos en los que se desea calcular algún lado, algún ángulo o el área de algún triángulo. En algunos de los problemas se necesitan otros resultados básicos como el teorema de Pitágoras y la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.


2. Teorema del seno

Sea un triángulo cualquiera con lados \(a\), \(b\) y \(c\) y con ángulos interiores \(\alpha \), \(\beta \) y \( \gamma \) (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente).

Entonces, se cumple la relación

el teorema del seno (con demostración) y problemas resueltos de su aplicación: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Fórmula del área de un triángulo aplicando el teorema del seno.

Además, se cumple

$$ \frac{a}{sin( \alpha )} = D = 2R$$

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3. Área de un triángulo inscrito

Si consideramos el triángulo inscrito en una circunferencia (de radio \( R \) y diámetro \( D = 2\cdot R\)), entonces:

el teorema del seno (con demostración) y problemas resueltos de su aplicación: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Fórmula del área de un triángulo aplicando el teorema del seno.

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7 Problemas Resueltos



Notas previas:

  • En el texto, escribiremos seno de \( x\) como \(sin(x)\), aunque en otros textos lo encontraremos como \(sen(x)\), \(seno(x)\) o \(sinus(x)\).

  • También utilizaremos la función arcoseno escrita como \(arcsin\), que es la función inversa del seno. Normalmente, en las calculadoras esta función se denota por \(sin^{-1}\).



Problema 1

En el siguiente triángulo de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular cuánto mide el ángulo β sabiendo que el ángulo γ mide 45º.

el teorema del seno (con demostración) y problemas resueltos de su aplicación: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Fórmula del área de un triángulo aplicando el teorema del seno.

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Problema 2

Se tiene un triángulo con ángulos α = 67° y β = 36° y un lado a = 6cm. ¿Cuánto mide el lado c?

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Problema 3

En el siguiente triángulo con lado b = 2cm y ángulos α = 57° y γ = 47°, ¿cuánto mide el lado a?

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Problema 4

Calcular el radio y el diámetro de la circunferencia sobre el que está inscrito el siguiente triángulo conociendo el único ángulo α = 38°.

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Problema 5

En un vecindario con forma circular, viven David, Pedro y Fernando. Sus casas están en las orillas de la vecindad. Sabemos que entre la casa de David y la de Pedro hay 50 metros, entre la casa de Pedro y Fernando hay 30 metros y entre la casa de Fernando y la de David hay 40 metros. ¿Cuál es el diámetro de la vecindad donde viven si las distancias forman un triángulo rectángulo?

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Problema 6

Los lunes, miércoles y viernes, Alejandro hace un recorrido en el cual parte de su casa. Primero va a la tienda, luego a la tintorería y por último, a la farmacia para después regresar a su casa. El recorrido empieza y termina en su casa y sólo pasa una vez por los otros tres lugares (elige el camino más corto).

Sabemos que hay un parque en medio de los cuatro lugares mencionados. De la casa a la tienda, hay una distancia de 100 metros; de la tienda al parque, 150 metros; y de la farmacia a la tintorería, 175 metros. Si los ángulos α, β' y γ' miden 100°, 105° y 60° respectivamente, ¿cuántos metros en total camina Alejandro a la semana?

el teorema del seno (con demostración) y problemas resueltos de su aplicación: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Fórmula del área de un triángulo aplicando el teorema del seno.

En la representación, las distancias no están a escala. Las medidas de los lados y de los ángulos de color rojo las desconocemos y las de color verde las conocemos.

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Problema 7

Se quiere construir un centro comercial con la siguiente forma:

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Si sabemos que los lados a, b y g medirán 30 metros, 40 metros y 25 metros respectivamente, y los ángulos medirán α = 35°, β = 68° y γ'= 64°, ¿cuál será el área total del centro comercial?

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