Sólidos Platónicos |
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Introducción y propiedades básicas
Fichas descriptivas de los cinco sólidos
Los sólidos platónicos son cinco cuerpos geométricos que comparten un conjunto de características. También reciben el nombre de sólidos perfectos, poliedros platónicos y de cuerpos cósmicos entre otros.
Los sólidos platónicos son poliedros regulares y convexos. Son el tetraedro, el cubo (o hexaedro), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
Propiedades básicas comunes
Todas las caras son polígonos regulares iguales.
Todos los ángulos (diedros) son iguales.
Todas las aristas tienen la misma longitud.
En todos los vértices concurren el mismo número de caras y de aristas.
Otros resultados:
Sólo existen cinco poliedros regulares y son los expuestos anteriormente.
Como son poliedros convexos, cumplen la ecuación del teorema de Euler que relaciona el número de caras (c), de aristas (a) y de vértices (v):
$$ c-a+v = 2$$
La característica de Euler (\(c-a+v\)) de los sólidos platónicos es 2. Como la característica de Euler es un invariante topológico, los cinco sólidos platónicos son homeomorfos. Además, son homeomorfos a la esfera, cuya característica de Euler también es 2.
Caras: triángulos equilateros
Número de caras: 4 (tetra-)
Número de vértices: 4
Número de aristas: 6
Ángulos (diedros): 70.53°
Área:
$$ A=a^2 \cdot \sqrt{3}$$
siendo \(a\) la arista
Volumen:
$$V= \frac{a^3\cdot \sqrt{2}}{12}$$
siendo \(a\) la arista
Desarrollo:
Caras: cuadrados
Número de caras: 6 (hexa-)
Número de vértices: 8
Número de aristas: 12
Ángulos (diedros): 90º
Área:
$$ A= 6a^2 $$
siendo \(a\) la arista
Volumen:
$$V= a^3$$
siendo \(a\) la arista
Desarrollo:
Caras: triángulo equilátero
Número de caras: 8 (octa-)
Número de vértices: 6
Número de aristas: 12
Ángulos (diedros): 109.47°
Área:
$$A = 2 a^2 \cdot \sqrt{3}$$
siendo \(a\) la arista
Volumen:
$$ V = \frac{a^3\cdot \sqrt{2}}{3}$$
siendo \(a\) la arista
Desarrollo:
Caras: pentágonos regulares
Número de caras: 12 (dodeca-)
Número de vértices: 20
Número de aristas: 30
Ángulos (diedros): 116.56°
Área:
$$A = 3a^2 \cdot \sqrt{25+10\sqrt{5}}$$
siendo \(a\) la arista
Volumen:
$$V = \frac{a^3}{4} (15+7\sqrt{5})$$
siendo \(a\) la arista
Desarrollo:
Caras: triángulos equiláteros
Número de caras: 20
Número de vértices: 12
Número de aristas: 30
Ángulos (diedros): 138.19º
Área:
$$A = 5a^2\cdot \sqrt{3}$$
siendo \(a\) la arista
Volumen:
$$ V=\frac{5a^3}{12}(3+\sqrt{5})$$
siendo \(a\) la arista
Desarrollo:
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