Polígonos

Hay dos vértices por cada lado, pero como los vértices se comparten con los lados contiguos, sólo hay que contabilizar un vértice por cada lado.

Por tanto, si el polígono tiene \(n\) lados, entonces tiene \(n\) vértices.

El prefijo penta- significa 5 y el prefijo deca- significa 10.

El polígono de 50 lados se denomina pentacontágono.

El perímetro es la suma de todos los lados. Como el dodecágono tiene 12 lados y miden 1 cm, el perímetro es

$$ P = 12\cdot 1 = 12 cm$$

El dodecágono de la representación es irregular puesto que no todos los ángulos (interiores) miden lo mismo: hay ocho ángulos de 90º (azul) y cuatro ángulos de 270º (rojo):

El siguiente trígono no es regular, pero está inscrito en una circunferencia:

El siguiente pentágono tampoco es regular, pero está inscrito en una circunferencia:

Sin embargo, el siguiente cuadrilátero no es regular y no puede ser inscrito (uno de los vértices no puede estar sobre la circunferencia):

Un polígono regular siempre puede inscribirse en una circunferencia ya que todos los vértices equidistan del centro del polígono, que coincide con el centro de la circunferencia.

En todo polígono regular, las apotemas miden lo mismo.

El número de diagonales de un polígono de \(n\) lados viene dado por la fórmula

$$ \frac{n\cdot (n-3)}{2}$$

Como un trígono tiene 3 lados, el número de diagonales es

$$ \frac{3\cdot (3-3)}{2} = 0$$

Las diagonales unen vértices no contiguos. Como en un trígono todos los vértices son contiguos, no tiene diagonales. Esto ocurre tanto en los trígonos regulares como irregulares.

El número de diagonales de un polígono de \(n\) lados viene dado por la fórmula

$$ \frac{n\cdot (n-3)}{2}$$

Como un decágono tiene 10 lados, el número de diagonales es

$$ \frac{10\cdot (10-3)}{2} = \frac{70}{2} = 35$$

Si probamos las tres fórmulas proporcionadas con los datos que disponemos de las representaciones, podemos deducir que la fórmula correcta es la de la opción a):

Si \( n = 3\), entonces

$$\frac{180\cdot (n-2)}{n} = \frac{180}{3} = 60^\circ $$

Si \( n = 4\), entonces

$$\frac{180\cdot (n-2)}{n} = \frac{180\cdot 2}{4} = 90^\circ $$

Si \( n = 5\), entonces

$$\frac{180\cdot (n-2)}{n} = \frac{180\cdot 3}{5} = 108^\circ $$

Si \( n = 6\), entonces

$$\frac{180\cdot (n-2)}{n} = \frac{180\cdot 4}{6} = 120^\circ $$

Los lados de los siguientes cuadriláteros miden 1, por lo que sus perímetros coinciden. Sin embargo, los polígonos no son iguales porque uno es irregular (rojo) y el otro es regular (verde).

Si \(n\) es el número de lados y \(l\) es la longitud de cada lado, entonces el perímetro del polígono regular es

$$ P = n\cdot l $$

Como \(P\) y \( n\) coinciden en ambos polígonos, \(l\) también. Es decir, los dos polígonos tienen el mismo número de lados y éstos tienen la misma longitud. Como además son regulares, son idénticos.