Podemos escribir cualquier número como producto de potencias de números primos.

La forma más rápida de calcular el máximo común divisor de dos números es:

El procedimiento anterior puede resumirse mediante:

Lo que significa que el MCD es el producto de todas las potencias que aparecen en ambas descomposiciones («comunes») pero cuyo exponente sea el menor.

Podemos calcular el máximo común divisor de más de dos números.

Para ello usaremos el mismo criterio:

Descomponemos los números:

La única base que aparece en ambas es 3. Por tanto, el MCD es la potencia de 3 cuyo exponente es el menor posible (o sea, 1):

Descomponemos los números:

El MCD es "comunes al menor exponente":

Como dos de los números son primos (el 2 y el 3), el único divisor que éstos tienen en común es el 1.

Descomponemos los números:

El máximo común divisor es:

Como los números son primos, el único divisor común es 1. Por tanto,

Descomponemos los números:

El máximo común divisor es:

Descomponemos los números:

El MCD es

Como son potencias de 10, cada uno se escribe como 10 elevado al número de 0’s:

Por tanto, el máximo común divisor es la potencia que tiene menor exponente:

Descomponemos los números:

El máximo común divisor es:

El máximo común divisor es el que tiene menor exponente:

El MCD de dos números primos es 1 puesto que, por ser primos, el único divisor que tienen en común es 1.

Nota: lo números primos sólo son divisibles por ellos mismos y por 1.

La respuesta es nunca ya que 0 no es divisor de ningún número (no se puede dividir por 0).

Puesto que el MCD debe dividir a ambos números, debe ser menor o igual que los números.

Más concretamente, es menor o igual que el menor de los números.

Si el MCD de los dos números es 4, entonces 4 divide a ambos números. Por tanto, 2 también los divide.

Si ambos números son divisibles por 2 es porque son múltiplos de 2, luego son pares.

El MCD divisor de 6 y de 15 es 3. El MCD es impar y los números son uno par y el otro impar. Por tanto, la primera opción queda descartada.

Supongamos que los dos números son pares. Entonces son divisibles por 2 y, por tanto, su MCD también lo es (porque 2 es una base común de las descomposiciones).

Entonces, el MCD es par también (porque es divisible entre 2).

Lo que hacemos al cortar una cuerda en partes iguales es dividirla.

Como no debe sobrar ningún trozo, debemos dividirla entre un número que divida a la longitud de la cuerda (para que el resto sea 0).

Como queremos cortar las dos cuerdas, la longitud de los cortes debe ser un número que divida a ambas longitudes.

Además, queremos que dicho número sea lo más grande posible.

Es decir, estamos buscando el MCD de 120 y 200.

Descomponemos los números:

Por tanto, el MCD es:

Las cuerdas deben medir 40m.

De la cuerda de 120m obtendremos

$$ \frac{120}{40} = 3\ cuerdas $$

Y de la de 200m obtendremos

$$ \frac{200}{40} = 5\ cuerdas $$

Por tanto, obtendremos 8 cuerdas de 40 metros.

La primera opción es falsa porque k, por ser primo, sólo es divisible por 1 y por k.

El MCD se define como el mayor de los divisores de los dos números a y b.

Como k también es un divisor de a y b, debe ser menor que el MCD.

Además, como k es divisor de a y de b y es primo, alguna potencia de base k está en la descomposición de a y alguna otra potencia de base k está en la de b (no necesariamente son potencias con el mismo exponente).

Como k es una base común de las descomposiciones, la potencia que tenga exponente menor está en la descomposición del MCD.

Por tanto, el MCD es divisible por k (ya que es múltiplo de k).

Si los dos números son pares, son divisibles por el número primo 2. Por la pregunta anterior, tomando k = 2, sabemos que el MCD es divisible por 2 y, por tanto, es par.