Reglas de divisibilidad y calculadora de divisores

Contenido de esta página:

Breve introducción
Conceptos Básicos (número divisible, divisor, primo y múltiplo)
Calculadora online de los divisores de un número entero
Reglas de divisibilidad (del 1 al 15, del 25 y del 100)
Algunas propiedades de divisibilidad
Test online (Ejercicios)

Introducción

Las reglas de divisibilidad nos permiten saber, de forma más o menos rápida, si un número es divisible entre otro sin la necesidad de dividir.

Ejemplo: Podemos afirmar que el número 304050 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es 12 (múltiplo de 3).

En esta página disponemos de una calculadora que proporciona los divisores (positivos) de un número entero y enumeramos las reglas de divisibilidad de los números del 1 al 15, del 25 y del 100 con ejemplos. También, enunciamos las propiedades básicas de divisibilidad y proporcionamos un test de 13 preguntas sobre la divisibilidad de números.

Antes de empezar, recordamos los conceptos básicos que necesitamos:

Conceptos necesarios

Número divisible, divisor, primo y múltiplo.

Ver conceptos y ejemplos

El número a es divisible entre el número b si b divide a a, es decir, si la división de a entre b tiene resto 0 y cociente entero (sin decimales).

Nota: podemos decir "divisible entre" o "divisible por".

Ejemplos:

El número 4 es divisible entre 2:

reglas de divisibilidad

También, es divisible entre 1 y 4.

El número 15 es divisible por 3 y por 5:

reglas de divisibilidad

También, es divisible entre 1 y 15.

El número 12 es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Si el número a es divisible entre el número b, entonces decimos que b es un divisor de a.

Ejemplos:

Los divisores de 4 son 1, 2 y 4.
Los divisores de 15 son 1, 3, 5 y 15.
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Observaciones:

Todo número es divisible entre 1 y entre sí mismo.
El único número que divide a 1 es 1.
Los divisores de 0 son todos los números excepto el 0.
El número 0 no es divisor de ningún número.
Representamos que b divide a a (es decir, b es divisor de a) de la forma

reglas de divisibilidad

Un número es primo si sólo es divisble por 1 y por él mismo.

Ejemplos:

Los números 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 son los primeros números primos.
El número 4 no es primo porque es divisible entre 2; 12 tampoco lo es porque también es divisible entre 2, entre 3, entre 4 y entre 6.
El número 0 es divisible entre 1, pero no entre 0. Por tanto, no es primo.

De momento, los matemáticos no han encontrado todos los números primos. Se piensa que hay infinitos. Los números primos menores que 100 son:

reglas de divisibilidad

Un número b es un múltiplo de a si el número b es divisible entre a.

Otra forma de definir múltiplo es: b es un múltiplo de a si hay algún número n (entero) tal que

$$ b = a\cdot n $$

Ejemplos:

Los números 2, 4, 8, 10, 12 y 14 son múltiplos de 2 porque son divisbles entre 2.
Los múltiplos de 3 son
- 3 = 3·1
- 6 = 3·2
- 9 = 3·3
- 12 = 3·4
- 15 = 3·5
- Y, así, sucesivamente.

Calculadora de números divisores

Nota: calculadora de divisores positivos de números enteros menores que 1.000.000.

Calcular los divisores de .

Reglas de divisibilidad

A continuación, enumeramos las principales reglas o criterios de divisibilidad.

Divisible entre 1

Todo número es divisible entre 1.

Divisible entre 2

Si termina en 0, 2, 4, 6 ó 8.

Ver ejemplos

Divisible entre 3

Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

A la hora de sumar, no es necesario sumar los 3’s.

Ver ejemplos

Divisible entre 4

Si sus dos últimas cifras son 00 ó un múltiplo de 4 (12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 y 40).

Ver ejemplos

Divisible entre 5

Si termina en 0 ó en 5.

Ver ejemplos

Divisible entre 6

Si es divisible entre 2 y entre 3.

Ver ejemplo

Nota: para que un número sea divisible entre 6 tenemos que exigir que lo sea entre 2 y entre 3 porque podemos escribir 6 como:

reglas de divisibilidad

Divisible entre 7

En este caso tenemos un método más que una regla.

Ver método y ejemplo

Divisible entre 8

Si sus tres últimas cifras son 000 ó un múltiplo de 8 (104, 112, 120, 128,..., 992).

Ver ejemplos

Divisible entre 9

Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9 (9, 18, 27,...).

A la hora de sumar, no es necesario sumar los 9’s.

Ver ejemplo

Divisible entre 10

Si termina en 0.

Ver ejemplos

Divisible entre 11

Si la suma de las cifras que ocupan un lugar par menos la suma de las otras cifras es 0 ó un múltiplo de 11 (11, 22, 33, 44,…)

Ver ejemplo

Divisible entre 12

Si es divisible entre 3 y entre 4.

Ver ejemplo

Nota: para que un número sea divisible entre 12 tenemos que exigir que lo sea entre 3 y entre 4 porque podemos escribir 12 como:

reglas de divisibilidad

Divisible entre 13

Tenemos un método.

Ver método y ejemplos

Divisible entre 14

Si es divisible entre 7 y entre 2.

Ver ejemplos

Nota: hay que exegir la divisibilidad entre 2 y entre 7 porque podemos escribir 14 como el producto

reglas de divisibilidad

Divisible entre 15

Si es divisible entre 3 y entre 5.

Ver ejemplo

Nota: para que un número sea divisible entre 15 tenemos que exigir que lo sea entre 3 y entre 5 porque podemos escribir 15 como el producto

reglas de divisibilidad

Por tanto, es divisible entre 15 si termina en 0 ó en 5 y, además, el resultado de la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Divisible entre 25

Si termina en 00 ó en múltiplo de 25 (25, 50, 75).

Ver ejemplos

Divisible entre 100

Si termina en 00.

Algunas propiedades

Usaremos $ m|a$ para representar que $m$ divide a $a$, que es lo mismo que decir que $a$ es divisible entre $m$ ó que $m$ es un divisor de $a$.

Nota: para no complicar las propiedades, suponemos que todos los números son positivos.

Ver propiedades y ejemplos

Test online

En todas las preguntas, escoger la única opción correcta.

Pregunta 1

Los números 30, 45 y 36 son...

	Divisibles entre 2 y entre 5.
	Divisibles entre 2 y entre 3.
	Divisibles entre 3 y entre 5.

Pregunta 2

Los números 3, 6, 9 y 12 son...

	Divisibles entre 3.
	Divisibles entre 2 y entre 3.
	Divisibles entre 3 y entre 9.

Pregunta 3

Los números 60, 210, 330 son...

	Divisibles entre 2, entre 7 y entre 10.
	Divisibles entre 2, entre 5 y entre 100.
	Divisibles entre 2, entre 3, entre 5 y entre 10.

Pregunta 4

Todos los números pares son...

	Divisibles entre 2.
	Divisibles entre 4.
	Ninguna de las opciones anteriores es verdadera.

Pregunta 5

Todos los números impares son...

	Divisibles entre 2.
	Divisibles entre 3.
	Ninguna de las opciones anteriores es verdadera.

Pregunta 6

El número 1176 es...

	Divisible entre 2, entre 3 y entre 7.
	Divisible entre 2, entre 5 y entre 7.
	Divisible entre 2, entre 3 y entre 5.

Pregunta 7

Considerar los números 22, 333 y 132.

	Todos son divisibles entre 11.
	El número 132 no es divisible entre 11.
	El número 333 no es divisible entre 11.

Pregunta 8

Todos los números cuyas dos últimas cifras son 28 son...

	Divisibles entre 3.
	Divisibles entre 4.
	Divisibles entre 3 y entre 4.

Pregunta 9

Todos los números cuyas dos últimas cifras son 00 son...

	Divisibles entre 3, entre 10 y entre 100.
	Divisibles entre 2, entre 4, entre 5, entre 10 y entre 100.
	Divisibles entre 2, entre 5, entre 7, entre 10 y entre 100.

Pregunta 10

El número 111111 es...

	Divisible entre 11.
	Divisible entre 4 y entre 11.
	Divisible entre 3 y entre 4.

Pregunta 11

Si un número es divisible entre los números a y b (a y b son distintos), entonces...

	Es divisible también entre el número a·b.
	No es divisible entre el número a·b.
	Ninguna de las opciones anteriores es verdadera, es decir, puede ser o puede no ser divisible entre a·b.

Ver razonamiento

Pregunta 12

Si un número es divisible entre los números primos a y b (a y b son distintos), entonces...

	Es divisible también entre el número a·b.
	No es divisible entre el número a·b.
	Ninguna de las opciones anteriores es verdadera, es decir, puede ser o puede no ser divisible entre a·b.

Ver razonamiento

Pregunta 13

Tenemos un número cuyas cifras suman 9. Considerad todos los números que se obtienen al cambiar el orden de las cifras de dicho número.

Entonces...

	Todos los números que se obtienen reordenando sus cifras también son divisibles entre 3.
	No todos los números que se obtienen reordenando sus cifras también son divisibles entre 3.

Ver razonamiento

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Reglas de divisibilidad y calculadora de divisores

Introducción

Conceptos necesarios

Calculadora de números divisores

Calcular los divisores de .

Reglas de divisibilidad

Divisible entre 1

Todo número es divisible entre 1.

Divisible entre 2

Si termina en 0, 2, 4, 6 ó 8.

Divisible entre 3

Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Divisible entre 4

Si sus dos últimas cifras son 00 ó un múltiplo de 4 (12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 y 40).

Divisible entre 5

Si termina en 0 ó en 5.

Divisible entre 6

Si es divisible entre 2 y entre 3.

Divisible entre 7

Divisible entre 8

Si sus tres últimas cifras son 000 ó un múltiplo de 8 (104, 112, 120, 128,..., 992).

Divisible entre 9

Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9 (9, 18, 27,...).

Divisible entre 10

Si termina en 0.

Divisible entre 11

Si la suma de las cifras que ocupan un lugar par menos la suma de las otras cifras es 0 ó un múltiplo de 11 (11, 22, 33, 44,…)

Divisible entre 12

Si es divisible entre 3 y entre 4.

Divisible entre 13

Divisible entre 14

Si es divisible entre 7 y entre 2.

Divisible entre 15

Si es divisible entre 3 y entre 5.

Divisible entre 25

Si termina en 00 ó en múltiplo de 25 (25, 50, 75).

Divisible entre 100

Si termina en 00.

Algunas propiedades

Si \(m\) divide a \(a\), entonces \(m\leq a\):

Si \(m\) es un divisor de \(a\) y \(a\) es un divisor de \(b\), entonces \(m\) es un divisor de \(b\):

Si el producto \(n·m\) divide a \(a\), entonces \(n\) y \(m\) dividen a \(a\):

Si \(n\) divide a \(m\) y \(m\) divide a \(n\), entonces \(n = m\):

Si \(m\) divide a \(a\), entonces también divide a todos sus múltiplos.

Si \(m\) divide a \(a\), entonces también divide a todas sus potencias (con exponente natural mayor que 0):

Si \(m\) divide a \(a\) y \(m\) divide a \(b\), entonces \(m\) divide a la suma de un múltiplo de \(a\) con uno de \(b\):

Test online

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13