Las reglas de divisibilidad nos permiten saber, de forma más o menos rápida, si un número es divisible entre otro sin la necesidad de dividir.
Ejemplo: Podemos afirmar que el número 304050 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es 12 (múltiplo de 3).
En esta página disponemos de una calculadora que proporciona los divisores (positivos) de un número entero y enumeramos las reglas de divisibilidad de los números del 1 al 15, del 25 y del 100 con ejemplos. También, enunciamos las propiedades básicas de divisibilidad y proporcionamos un test de 13 preguntas sobre la divisibilidad de números.
Antes de empezar, recordamos los conceptos básicos que necesitamos:
Número divisible, divisor, primo y múltiplo.
Ver conceptos y ejemplos
El número a es divisible entre
el número b si b divide a
a, es decir, si la división de a
entre b tiene resto 0 y cociente entero (sin decimales).
Nota: podemos decir "divisible entre" o "divisible por".
Ejemplos:
-
El número 4 es divisible entre 2:

- También, es divisible entre 1 y 4.
- El número 15 es divisible por 3 y por 5:

- También, es divisible entre 1 y 15.
-
El número 12 es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Si el número a es divisible entre
el número b, entonces decimos que b es un divisor de a.
Ejemplos:
-
Los divisores de 4 son 1, 2 y 4.
-
Los divisores de 15 son 1, 3, 5 y 15.
-
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Observaciones:
-
Todo número es divisible entre 1 y entre sí mismo.
-
El único número que divide a 1 es 1.
-
Los divisores de 0 son todos los números excepto el 0.
-
El número 0 no es divisor de ningún número.
-
Representamos que b divide a a (es decir, b es divisor de a) de la forma

Un número es primo si sólo es divisble por 1 y por él mismo.
Ejemplos:
-
Los números 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 son los primeros números primos.
-
El número 4 no es primo porque es divisible entre 2; 12 tampoco lo es porque
también es divisible entre 2, entre 3, entre 4 y entre 6.
- El número 0 es divisible entre 1, pero no entre 0. Por tanto, no es primo.
De momento, los matemáticos no han encontrado todos los números primos.
Se piensa que hay infinitos. Los números primos menores que 100 son:

Un número b es un múltiplo
de a si el número b es divisible entre a.
Otra forma de definir múltiplo es: b es un múltiplo
de a si hay algún número n (entero) tal que
$$ b = a\cdot n $$
Ejemplos:
-
Los números 2, 4, 8, 10, 12 y 14 son múltiplos de 2 porque son divisbles entre 2.
-
Los múltiplos de 3 son
-
3 = 3·1
-
6 = 3·2
-
9 = 3·3
-
12 = 3·4
-
15 = 3·5
-
Y, así, sucesivamente.
A continuación, enumeramos las principales reglas o criterios de divisibilidad.
Divisible entre 1
Todo número es divisible entre 1.
Divisible entre 2
Si termina en 0, 2, 4, 6 ó 8.
Ver ejemplos
Algunos números divisibles entre 2:

Divisible entre 3
Si la suma de sus
cifras es múltiplo de 3.
A la hora de sumar, no es necesario sumar los 3’s.
Ver ejemplos
111 es divisible entre 3 ya que la suma de sus cifras es un múltiplo de 3:

En efecto, la división es

78 es divisible entre 3 ya que la suma de sus cifras es 15, múltiplo de 3:

Calculamos la división:

Divisible entre 4
Si sus dos últimas cifras
son 00 ó un múltiplo de 4 (12, 16, 20,
24, 28, 32, 36 y 40).
Ver ejemplos

100 es divisible entre 4 porque termina en 00.
-

3436 es divisible entre 4 porque termina en 36, que es un múltiplo de 4 (4·9 = 36).
Divisible entre 5
Si termina en 0 ó en 5.
Ver ejemplos
Divisible entre 6
Si es divisible entre 2 y entre 3.
Ver ejemplo
126 es divisible entre 2 porque su última cifra es par y también es
divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3:

Nota: para que un número sea divisible entre 6 tenemos que exigir que lo sea
entre 2 y entre 3 porque podemos escribir 6 como:

Divisible entre 7
En este caso tenemos un método más que una regla.
Ver método y ejemplo
Consideremos el número

Trabajamos con dos números:
uno es el propio número pero sin la cifra
de las unidades (la última).
En nuestro caso, el 16.
el otro es la cifra de las unidades, es decir, la última.
En nuestro caso, el 1.
Al primer número le restamos el doble del segundo.
En nuestro caso, el doble del segundo es 1·2 = 2.
Calculamos la resta:

-
Si el número obtenido es múltiplo de 7,
entonces el número inicial es divisible entre 7.
Si no es múltiplo, no es divisible entre 7.
Si no sabemos si el número obtenido es múltiplo de 7,
repetimos el proceso con dicho número (desde el primer paso).
En nuestro caso, como 14 es divisible entre 7, podemos asegurar que
161 también lo es.
Divisible entre 8
Si sus tres
últimas cifras son 000 ó un múltiplo de 8 (104, 112, 120, 128,..., 992).
Ver ejemplos
Divisible entre 9
Si la
suma de sus cifras es un múltiplo de 9 (9, 18, 27,...).
A la hora de sumar, no es necesario sumar los 9’s.
Ver ejemplo
1269 es divisible entre 9 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 9:

En efecto,

Divisible entre 10
Si termina en 0.
Ver ejemplos
Divisible entre 11
Si
la suma de las cifras que ocupan
un lugar par menos la suma de
las otras cifras es 0 ó un múltiplo de 11 (11, 22, 33, 44,…)
Ver ejemplo

La suma de las cifras en posiciones pares es:

La suma de las otras cifras es:

La resta de los números es:

Por tanto, 3927 es divisible entre 11 (porque 11 es múltiplo de 11).
Divisible entre 12
Si es divisible entre 3 y entre 4.
Ver ejemplo

Es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3:

y es divisible entre 4 porque
termina en un múltiplo de 4 de dos cifras (4·5 = 20).
Nota: para que un número sea divisible entre 12 tenemos que exigir que lo sea
entre 3 y entre 4 porque podemos escribir 12 como:

Divisible entre 13
Tenemos un método.
Ver método y ejemplos
Al número resultante de quitar la última cifra le restamos
dicha cifra multiplicada por 9. Si el resultado es 0 ó divisible
entre 13, el número también lo es.
Aplicamos el método para saber si 1287 es múltiplo de 13:

Como 65 es múltiplo de 13, 1287 también lo es.
Otros números divisibles entre 13 (son múltiplos de 13):

Divisible entre 14
Si es divisible entre 7 y entre 2.
Ver ejemplos
El número 70 es divisible entre 7 porque es un múltiplo de 7 ya que

Además, 70 también es divisible entre 2 porque termina en 0.
Por tanto, 70 es divisible entre 14.
Nota: hay que exegir la divisibilidad entre 2 y entre 7 porque podemos escribir 14 como el producto

Divisible entre 15
Si es divisible entre 3 y entre 5.
Ver ejemplo
El número 11115 es divisible entre 3 porque el resultado de la suma de sus cifras es múltiplo de 3:
\( 1+1+1+1+5 = 9\)
El número 11115 también es divisible entre 5 porque termina en 5.
Por tanto, 11115 es divisible entre 15.
Nota: para que un número sea divisible entre 15 tenemos que exigir que lo sea
entre 3 y entre 5 porque podemos escribir 15 como el producto

Por tanto, es divisible entre 15 si termina en 0 ó en 5 y,
además, el resultado de la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Divisible entre 25
Si termina en 00 ó en múltiplo de 25 (25, 50, 75).
Ver ejemplos

5675 es divisible entre 25 porque termina en 75 = 25·3.
-

5050 es divisible entre 25 porque termina en 50 = 25·2.
-

2000 es divisible entre 25 porque termina en 00.
Divisible entre 100
Si termina en 00.
Usaremos \( m|a\) para representar que \(m\) divide a \(a\), que es lo mismo que decir que \(a\) es divisible entre \(m\) ó que \(m\) es un divisor de \(a\).
Nota: para no complicar las propiedades, suponemos que todos los números son positivos.
Ver propiedades y ejemplos
Si \(m\) divide a \(a\), entonces \(m\leq a\):

Si \(m\) es un divisor de \(a\) y \(a\) es un divisor de \(b\), entonces \(m\) es un divisor de \(b\):

Por ejemplo, 3 divide a 15 y 15 divide a 45. Por tanto, 3 divide a 45.
Si el producto \(n·m\) divide a \(a\), entonces \(n\) y \(m\) dividen a \(a\):

Por ejemplo, el número 6 divide a 36. Como \(6 =2·3\), entonces 2 y 3 dividen a 36.
Si \(n\) divide a \(m\) y \(m\) divide a \(n\), entonces \(n = m\):

Si \(m\) divide a \(a\), entonces también divide a todos sus múltiplos.

Por ejemplo, como 2 divide a 4, también divide a 8, 12, 16,...
Si \(m\) divide a \(a\), entonces también divide a todas sus potencias (con exponente natural mayor que 0):

Por ejemplo, como 2 divide a 4, también divide a 16, 64, 256, 1024,...
Si \(m\) divide a \(a\) y \(m\) divide a \(b\), entonces \(m\) divide a la suma de un múltiplo de \(a\) con uno de \(b\):

Por ejemplo, como 2 divide a 10 y a 12, también divide a 34, 42 y 44:

En todas las preguntas, escoger la única opción correcta.
Pregunta 1
Los números 30, 45 y 36 son...
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Divisibles entre 2 y entre 5.
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Divisibles entre 2 y entre 3.
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Divisibles entre 3 y entre 5.
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Pregunta 2
Los números 3, 6, 9 y 12 son...
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Divisibles entre 3.
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|
Divisibles entre 2 y entre 3.
|
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Divisibles entre 3 y entre 9.
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Pregunta 3
Los números 60, 210, 330 son...
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Divisibles entre 2, entre 7 y entre 10.
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Divisibles entre 2, entre 5 y entre 100.
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Divisibles entre 2, entre 3, entre 5 y entre 10.
|
Pregunta 4
Todos los números pares son...
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Divisibles entre 2.
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Divisibles entre 4.
|
|
Ninguna de las opciones anteriores es verdadera.
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Pregunta 5
Todos los números impares son...
|
Divisibles entre 2.
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Divisibles entre 3.
|
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Ninguna de las opciones anteriores es verdadera.
|
Pregunta 6
El número 1176 es...
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Divisible entre 2, entre 3 y entre 7.
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Divisible entre 2, entre 5 y entre 7.
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Divisible entre 2, entre 3 y entre 5.
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Pregunta 7
Considerar los números 22, 333 y 132.
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Todos son divisibles entre 11.
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El número 132 no es divisible entre 11.
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El número 333 no es divisible entre 11.
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Pregunta 8
Todos los números cuyas dos últimas cifras son 28 son...
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Divisibles entre 3.
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Divisibles entre 4.
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Divisibles entre 3 y entre 4.
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Pregunta 9
Todos los números cuyas dos últimas cifras son 00 son...
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Divisibles entre 3, entre 10 y entre 100.
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Divisibles entre 2, entre 4, entre 5, entre 10 y entre 100.
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Divisibles entre 2, entre 5, entre 7, entre 10 y entre 100.
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Pregunta 10
El número 111111 es...
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Divisible entre 4 y entre 11.
|
|
Divisible entre 3 y entre 4.
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Pregunta 11
Si un número es divisible entre los números a y b (a y b son distintos), entonces...
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Es divisible también entre el número a·b.
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No es divisible entre el número a·b.
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Ninguna de las opciones anteriores es verdadera, es decir, puede ser o puede no ser divisible entre a·b.
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Ver razonamiento
El número 30 es divisible entre 2, entre 3 y
también entre el producto 2·3=6. Sin embargo,
el número 12 es divisible
entre 2 y entre 4, pero no lo es entre
el producto 2·4=8.
Pregunta 12
Si un número es divisible entre los números
primos a y b (a y b son distintos), entonces...
|
Es divisible también entre el número a·b.
|
|
No es divisible entre el número a·b.
|
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Ninguna de las opciones anteriores es verdadera, es decir, puede ser o puede no ser divisible entre a·b.
|
Ver razonamiento
Escribimos el número como producto de
potencias de números primos (descomposición en primos).
Como el número es divisible entre los primos a y b,
estos primos aparecen como bases de potencias distintas
en la descomposición. Como consecuencia, el número es
divisible entre el producto a·b.
Pregunta 13
Tenemos un número cuyas cifras suman 9. Considerad todos los números que se obtienen al cambiar el orden de las cifras de dicho número.
Entonces...
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Todos los números que se obtienen reordenando sus cifras también son divisibles entre 3.
|
|
No todos los números que se obtienen reordenando sus cifras también son divisibles entre 3.
|
Ver razonamiento
La suma de las cifras siempre será 9, independientemente del orden en el que se escriben. Por tanto, los números son divisibles entre 3.

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