Grados, minutos y segundos sexagesimales y sus operaciones
Contenido de esta página:
Ángulo, grado, minuto, segundo y transportador (conceptos)
Equivalencias entre grados, minutos y segundos
Suma y resta de ángulos
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Multiplicación de un ángulo por un natural
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Test en línea sobre los conceptos y operaciones anteriores
1. Ángulo, grado, minuto y segundo
Ver conceptos
Ángulo:
Un ángulo es la región del plano comprendida
entre dos semirrectas con origen común.
Los ángulos se miden en el sistema sexagesimal. Así,
un ángulo se mide en grados, minutos y
segundos sexagesimales.
Grado sexagesimal:
Si dividimos una circunferencia en 360 partes iguales, un grado sexagesimal
es una de estas partes. Un grado se expresa como 1º.
Para medir un ángulo, éste se coloca sobre el diagrama
anterior:
Al colocar el ángulo rojo sobre la circunferencia observamos que éste
mide 30º (30 grados sexagesimales).
La herramienta que sirve para medir los ángulos se denomina
transportador.
Sin embargo, puede ocurrir que un ángulo no coincida con un número exacto de divisiones
de la circunferencia. Para poder medir estos grados, existen los minutos y
los segundos (sexagesimales).
Al igual que un decimal es una décima parte de una unidad, el minuto sexagesimal es una sesentava parte de un grado:
Minuto sexagesimal:
Si dividimos un grado sexagesimal en 60 partes iguales,
cada una de esas partes es un minuto sexagesimal. Un minuto se expresa como 1'.
Un segundo sexagesimal es una sesentava parte de un minuto sexagesimal:
Segundo sexagesimal:
Si dividimos un minuto sexagesimal en 60 partes iguales,
cada una de esas partes es un segundo sexagesimal. Un segundo se expresa como 1''.
A partir de ahora, hablaremos simplemente de
grados, minutos y
segundos (en vez de grados sexagesimales,
minutos sexagesimales y segundos sexagesimales).
2. Equivalencias entre grados, minutos y segundos
Ver equivalencias
Un grado son 60 minutos:
$$ 1^\circ = 60'$$
y un minuto son 60 segundos:
$$ 1' = 60''$$
Por tanto,
-
Para pasar de grados a minutos o de minutos a segundos, debemos
multiplicar por 60:
Para pasar de segundos a minutos o de minutos a grados, debemos
dividir entre 60:
Ejemplos:
¿Cuántos minutos son 25 grados?
Sólo tenemos que multiplicar por 60:
$$ 25^\circ = 25\cdot 60' = 1500' $$
¿Cuántos grados son 356400 segundos?
Primero pasamos de segundos a minutos dividiendo entre 60:
$$ 356400'' = \frac{356400}{60}' = 5940' $$
Ahora pasamos de minutos a grados dividiendo entre 60:
$$ 5940' = \frac{5940}{60}^\circ = 99^\circ $$
Importante:
Si indicamos un ángulo en grados, minutos y segundos,
la cantidad de minutos y de segundos siempre tendrá que
ser menor que 60.
Ejemplo: los siguientes ángulos NO están
bien expresados:
$$ 34^\circ \ 67’\ 45’’$$
$$ 2^\circ \ 56’ \ 60’’$$
$$ 50^\circ \ 80’ \ 90’’$$
Si un ángulo tiene 360º o más, se habla de una
vuelta completa.
En los ejercicios que presentamos en esta página, no
trabajaremos con vueltas completas.
3. Suma de ángulos
Ver método
Antes de explicar la suma aritmética de ángulos, nótese que
dos ángulos pueden sumarse también de forma gráfica, como se muestra
en la imagen anterior en la que se suman un ángulo de 45º y uno de 30º obteniéndose
un ángulo de 75º.
Método para sumar ángulos (mediante un ejemplo):
Consideremos los dos ángulos \( \alpha = 19^\circ \ 28’ \ 43’’\) y \( \beta = 20^\circ \ 33’\ 25’’\).
Para sumarlos, seguimos los siguientes pasos:
-
Sumamos de forma separada los grados,
los minutos y los segundos:
Es decir,
los grados con los grados, los minutos con los minutos y los segundos con los
segundos.
Puesto que trabajamos en el sistema sexagesimal, los minutos y los segundos
no pueden ser mayores que 60. Por cada 60 segundos tenemos que sumar 1 a los
minutos (del mismo modo que hacemos cuando trabajamos con el tiempo).
Por tanto, en lugar de 68 segundos, sumamos 1 minuto y escribimos 8 segundos:
Ahora tenemos que hacer lo mismo con los minutos: por cada 60 minutos
tenemos que sumar 1 grado:
Nota: Si queremos sumar tres ángulos,
podemos seguir el mismo procedimiento explicado
arriba o podemos sumar primero dos de
los ángulos y, al resultado, sumarle el otro ángulo.
4. Resta de ángulos
Ver método
En esta sección vamos a ver cómo calcular la resta de ángulos
\( \alpha - \beta \) siendo el ángulo \( \alpha\) mayor que \( \beta \).
Consideremos los dos ángulos \( \alpha = 29^\circ \ 38’ \ 13’’\) y \( \beta = 20^\circ \ 43’\ 25’’\).
Para calcular \( \alpha - \beta \) seguimos los siguientes pasos:
Método para restar dos ángulos (mediante un ejemplo):
Sumamos de forma separada los grados,
los minutos y los segundos (aparecen signos negativos en los minutos y en los segundos):
Observamos que los minutos son negativos: -5'. Esto significa que
faltan 5 minutos para que el ángulo mida 9 grados. Dicho en otras
palabras, el ángulo mide 8 grados y 55 minutos:
Procedemos del mismo modo con los segundos: 55 minutos y -12 segundos
es lo mismo que 54 minutos y 48 segundos:
Nota: si los minutos no son negativos, entonces no tenemos que
restar grados; y si los segundos no son negativos, no tenemos que restar
minutos.
5. Multiplicación de un ángulo por un natural
Ver método
El procedimiento para multiplicar un ángulo por un número natural
(0, 1, 2, 3,...) es similar al de la suma de ángulos.
Veamos los pasos a seguir mediante un ejemplo: vamos a multiplicar el
ángulo \( \alpha = 30^\circ \ 21’ \ 23’’\) por el natural 5.
Método para multiplicar un ángulo por un natural:
Multiplicamos por separado los grados, los minutos y los segundos
por el natural:
-
Puesto que los minutos y los segundos no
pueden ser mayores que 60, operamos como hacemos en la suma:
Como 115 segundos (60 + 55 segundos) son 1 minuto y 55 segundos,
sumamos 1 minuto y escribimos 55 segundos:
También tenemos más de 60 minutos, así que procedemos del mismo modo:
Como 106 minutos (60 + 46 minutos) son 1 grado y 46 minutos,
sumamos un grado y escribimos 46 minutos:
Test sobre ángulos
Ejercicio 1
Álex ha sacado su calculadora de última generación y ha llegado a
la conclusión de que 33º son 198’. ¿Es correcta su afirmación?
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Sí.
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No, 198' son 33º 20'.
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No, 33º son 1980'.
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Razonamiento:
Mostrar
Para pasar de grados a minutos tenemos que multiplicar por
60. Por tanto, 33 grados son \( 33\cdot 60 = 1980\) minutos.
Ejercicio 2
Álex sigue con sus cálculos y concluye ahora
que 60º son 3600’’. ¿Es correcta su afirmación?
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No, en realidad son 216000’’
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No, en realidad son 6000’’.
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Sí.
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Razonamiento:
Mostrar
Para pasar de grados a minutos tenemos que multiplicar por 60:
$$ 60^\circ \cdot 60 = 3600' $$
Para pasar a segundos, multiplicamos por 60:
$$ 3600 \cdot 60 = 216000'' $$
Por tanto, 60º son 216000’’.
Ejercicio 3
Para calcular cuántos minutos son 50º, Álex ha multiplicado por 60 y ha obtenido que son 3000’. Para pasar estos minutos a segundos, Álex ha multiplicado
los 3000’ por 10. ¿Son correctas las operaciones de Álex?
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Ninguna de las dos operaciones es correcta.
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Ambas operaciones son correctas.
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Sólo es correcta la primera operación.
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Razonamiento:
Mostrar
Tanto para pasar de grados a minutos como de minutos a segundos
tenemos que multipicar por 60.
La segunda operación de Álex no es
correcta porque multiplica por 10.
Ejercicio 4
Álex ha expresado un ángulo de la siguiente forma:
350º 60’ 19’’. ¿Es correcta su notación?
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Sí, ya que ha incluido grados, minutos y segundos.
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Sí, porque tiene menos de 360º.
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No, porque los grados no pueden ser iguales o superiores a 350.
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No, porque debería expresarse como 351º 00’ 19’’.
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Razonamiento:
Mostrar
Los minutos y los segundos no deben ser mayores que 60.
Por cada 60 minutos tenemos que sumar 1 grado y por cada 60 segundos
tenemos que sumar 1 minuto.
Ejercicio 5
¿Cuál es el resultado de sumar los ángulos 30º 12’ 40’’ y 23º 29’ 13’’?
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53º 41’ 59’’
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53º 41’ 53’’
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Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
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Razonamiento:
Mostrar
Sumamos los ángulos:
Ejercicio 6
¿Cuál es el resultado de sumar 120º 52’ 58’’ y 183º 49’ 00’’?
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304º 41’ 58’’
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No puede calcularse.
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Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
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Razonamiento:
Mostrar
Calculamos la suma:
En el último paso hemos reescrito el resultado para no tener más de
60 minutos: como 101 minutos son 60 + 41, sumamos 1 grado y escribimos
41 minutos.
Ejercicio 7
¿Cuál es el resultado de sumar 120º 52’ 58’’, 183º 49’ 00’’ y 30º 20’ 20’’?
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Una vuelta completa (es decir, 360º).
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335º 02’ 18’’
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Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
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Razonamiento:
Mostrar
Para sumar tres ángulo:
podemos sumar primero dos ángulos y después, sumar
el tercer ángulo al resultado;
o bien, sumar los tres ángulos directamente.
Nosotros escogemos la segunda opción para que sirva
como ejemplo:
Primero hemos sumado de forma separada los grados, minutos y segundos.
Después hemos reescrito los segundos para que haya menos de 60 ( 78 = 60 + 18,
por lo que hemos sumado 1 minuto y hemos escrito 18 segundos).
Finalmente, hemos hecho lo mismo con los minutos. Como 122 minutos son
60 + 60 + 2 minutos, hemos sumado 2 grados y hemos escrito 02 minutos.
Ejercicio 8
¿Cuál es el resultado de restarle 23º 29’ 13’’ a 30º 12’ 48’’?
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07º 43’ 35’’
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06º 43’ 35’’
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06º 44’ 35’’
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Razonamiento:
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Calculamos la resta:
Primero hemos restado de forma separada los grados, minutos y segundos.
El signo negativo de los minutos significa que faltan 17 minutos para que
el ángulo mida 7 grados. Esto significa que el ángulo es de 6 grados y 43
minutos.
Ejercicio 9
¿Cuál es el resultado de la resta 160º 23’ 59’’ menos 99º 37’ 49’’?
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60º 00’ 10’’
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60º 10’ 00’’
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60º 46’ 10’’
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Razonamiento:
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Calculamos la resta de los ángulos:
Primero hemos restado de forma separada los grados, minutos y segundos.
El signo negativo de los minutos significa que faltan 14 minutos para que
el ángulo mida 61 grados. Esto significa que el ángulo es de 60 grados y 46
minutos.
Ejercicio 10
¿Cuál es el resultado de multiplicar 60º 23’ 59’’ por 3?
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181º 11’ 57’’
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180º 11’ 57’’
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180º 12’ 00’’
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Razonamiento:
Mostrar
Calculamos el producto:
Primero hemos multiplicado de forma separada los grados, los minutos
y los segundos por 3.
Después hemos reescrito los segundos y los minutos para que no sean mayores que
60:
177 segundos son 60 + 60 + 57 minutos. Por tanto, sumamos 2 minutos
y escribimos 57 segundos.
71 minutos son 60 + 11 minutos. Por tanto, sumamos 1 grado y
escribimos 11 minutos.
Ejercicio 11
¿Cuál es el resultado de multiplicar el ángulo 20º 44’ 11’’ por el natural 4?
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82º 56’ 44’’
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100º 56’ 43’’
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99º 54’ 45’’
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Razonamiento:
Mostrar
Calculamos el producto:
Primero hemos multiplicado de forma separada los grados, los minutos
y los segundos por 4.
Después hemos reescrito los minutos para que no sean mayores que
60: como 176 minutos son 60 + 60 + 56 minutos, sumamos 2 grados y escribimos 56 minutos.
Ejercicio 12
¿Llega a una vuelta completa (es decir, 360º) el resultado de multiplicar 60º 23’ 59’’ por 6?
Razonamiento:
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No es necesario calcular la multiplicación exacta.
Al multiplicar por 6 todo el ángulo,
se obtendrán al menos \( 60^\circ \cdot 6 = 360^\circ\). Por tanto, el
ángulo tendrá al menos una vuelta.
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Operaciones con ángulos: grados, minutos y segundos sexagesimales. -
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