Ejercicios y problemas resueltos de proporcionalidad directa e inversa. Regla de tres. Secundaria.

Proporcionalidad simple directa e inversa


Contenido de esta página:

  • Introducción: proporcionalidad directa e inversa (simple) y las reglas de tres

  • 21 Problemas Resueltos



Introducción

Proporcionalidad directa:

Dos magnitudes \(a\) y \(b\) son directamente proporcionales cuando existe una constante \(k\) tal que

$$ \frac{a}{b} = k$$

La constante \(k\) se denomina constante de proporcionalidad o razón.

Se dice que \(a\) y \(b\) mantienen una relación de proporcionalidad directa.

En este tipo de proporcionalidad, cuando una de las magnitudes aumenta, la otra también; y lo mismo ocurre cuando alguna de las dos disminuye.

Ejemplo:

En un movimiento con velocidad constante \(v\), la distancia recorrida viene dada por la ecuación

$$ distancia = v \cdot tiempo $$

La distancia es directamente proporcional al tiempo puesto que

$$ \frac{distancia}{tiempo} = v $$

En este ejemplo, la velocidad es la constante de proporcionalidad.

Cuando el tiempo aumenta, la distancia también lo hace y viceversa.


Regla de tres (directa)

Si dos magnitudes \(a\) y \(b\) mantienen una relación de proporcionalidad directa, una regla de tres simple directa (o simplemente regla de tres directa) nos permite conocer el valor de una de las dos magnitudes cuando la otra varía.

Para aplicar una regla de tres, escribimos la siguiente tabla:

+

Valor

Valor

Magnitud \(a\)

\(a_1\)

\(a_2\)

Magnitud \(b\)

\(b_1\)

\(b_2\)

Como la relación de proporcionalidad directa debe ser constante, ha de cumplirse que

$$ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$$

De esta relación podemos despejar el valor que deseamos calcular.


Proporcionalidad inversa:

Dos magnitudes \(a\) y \(b\) son inversamente proporcionales cuando existe una constante \(k\) tal que

$$ a\cdot b= k $$

La constante \(k\) se denomina constante de proporcionalidad.


En esta proporcionalidad, cuando una de las magnitudes aumenta, la otra disminuye y viceversa.

Ejemplo:

Si un trabajador pinta una valla en 10 horas, entonces para pintar la misma valla entre dos trabajadores se necesitan 5 horas.

Se trata de una proporcionalidad inversa puesto que cuando aumenta el número de trabajadores, el número de horas necesarias disminuye. La constante de proporcionalidad es 10 porque

$$ 1\cdot 10 =10 =2\cdot 5 $$

Es decir, si \(a\) es el número de trabajadores y \(b\) el número de horas, entonces

$$ a\cdot b = 10$$


Regla de tres (inversa)

Cuando dos magnitudes \(a\) y \(b\) mantienen una relación de proporcionalidad inversa, una regla de tres simple inversa (o simplemente regla de tres inversa) nos permite conocer el valor de una de las dos magnitudes cuando la otra varía.

Para aplicar una regla de tres, escribimos la siguiente tabla:

-

Valor

Valor

Magnitud \(a\)

\(a_1\)

\(a_2\)

Magnitud \(b\)

\(b_1\)

\(b_2\)

Como la relación de proporcionalidad indirecta debe ser constante, se cumple que

$$ a_1\cdot b_1 = a_2\cdot b_2$$

De esta relación podemos despejar el valor que deseamos calcular.

Nota: en ocasiones se utilizan los signos (+) y (-) en las tablas escritas anteriormente para denotar que se trata de una proporcionalidad directa e indirecta, respectivamente.

16 Problemas Resueltos

Primero se calculan razones entre dos números y reglas de tres. Después, problemas en los que hay que encontrar la relación de proporcionalidad y aplicar una regla de tres, ya sea directa o inversa.

Problema 1

Calcular la razón de los números

  1. 15 y 25

  2. 12 y 32

  3. 3 y 81

  4. 30 y 40

  5. 111 y 33

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Problema 2

Calcular el valor de la incógnita en cada una de las relaciones de proporcionalidad:

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Nota: por ejemplo, la igualdad

$$ \frac{3}{7} = \frac{18}{42} $$

significa que la razón de los números 3 y 7 es la misma que la razón de los números 18 y 42. Es decir, la relación de proporcionalidad es la misma.

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Problema 3

Completar la tabla para que las magnitudes de la primera fila sean directamente proporcionales a las de la segunda e indicar cuál es la constante de proporcionalidad.

tabla de proporcionalidad directa

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Problema 4

Completar la tabla para que las magnitudes de la primera fila sean directamente proporcionales a las de la segunda e indicar cuál es la constante de proporcionalidad.

tabla de proporcionalidad directa

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Problema 5

El precio de un paquete de 13 rotuladores es de 9.75€. ¿Cuántos rotuladores podemos comprar con un presupuesto de 15.75€?

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Problema 6

José marca 5 goles cada 25 minutos de partido. Calcular mediante una regla de tres cuántos goles marcará en una hora. Indicar si es una proporcionalidad directa o inversa.

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Problema 7

El precio por kilo de queso azul es de 23.35€. ¿Cuánto nos costarán 125g de queso? Indicar si es una proporcionalidad directa o inversa.

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Problema 8

Un autobús recorre 70km en dos horas. ¿Cuánto tardará en realizar un viaje de 345km? Indicar si es una proporcionalidad directa o inversa.

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Problema 9

La puntuación de Sandra (sobre 10) en un examen de matemáticas de 39 preguntas es 3.3333... puntos. ¿Cuántas preguntas ha contestado correctamente?

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Problema 10

Si tardamos 3 horas en estudiar los 5 primeros temas del examen, ¿cuántas horas más necesitamos para terminar de estudiar si en total hay 17 temas?

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Problema 11

Para obtener el certificado de inglés se necesita obtener un 7 sobre 10 en un test de 243 preguntas. Calcular el número mínimo de preguntas correctas necesarias para obtenerlo.

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Problema 12

Tres personas tardan 12 horas en pintar un muro. ¿Cuántas personas se necesitan si se quiere finalizar la tarea en tan solo 4 horas?

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Problema 13

El precio de un barril de 100 litros de petróleo es de 65€. ¿Cuál es el precio de 3 barriles de 75 litros?

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Problema 14

Completar la tabla para que las magnitudes de la primera fila sean inversamente proporcionales a las de la segunda e indicar cuál es la constante de proporcionalidad.

tabla de proporcionalidad directa

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Problema 15

Cinco operarios tardan 9 horas en revisar el motor de todos los trenes de la estación. ¿Cuánto se tardaría en realizar el mismo trabajo si se contratan a dos operarios más?

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Problema 16

Cuando abrimos la manguera el nivel del depósito de agua desciende 20cm cada 5 minutos. Calcular el tiempo que tarda en vaciarse el depósito si su nivel máximo es de 2.3m.

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Problema 17

Tres trabajadores recolectan 100 manzanos en 5 horas. Uno de ellos ha sufrido un accidente laboral y no puede continuar con su tarea. Calcular cuánto se tardará en recolectar los 300 manzanos restantes entre los dos trabajadores activos.

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Problema 18

Una empresa de refrescos dispone de 3 máquinas embotelladoras, que son suficientes para satisfacer un pedido diario de 2400 botellas. En verano el pedido diario asciende a 5600 botellas. Calcular cuántas máquinas embotelladoras han de alquilarse para asumir el incremento de la demanda.

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Problema 19

Un camión realiza todos los días el mismo recorrido entre dos almacenes. Se sabe que tarda 3 horas y 20 minutos porque mantiene una velocidad constante de 90km/h. Mañana se debe entregar un paquete urgente, pero el camión no puede superar la velocidad máxima de 110km/h.

Se pide:

  • Calcular el tiempo que tarda en realizar el envío a velocidad máxima.
  • Calcular la distancia entre los almacenes.
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Problema 20

Calcular el precio de una maleta de 130€ a la que se le aplicará una rebaja de un 60%.

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Problema 21

En una tienda se aplica un mismo tanto por ciento de descuento en todos sus productos. Si pagamos 7€ por una camiseta que antes costaba 10€, ¿cuál era el precio inicial de unos pantalones que ahora cuestan 15€?

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