Cuando 1+1 no es 2: Grupos cíclicos de orden 2 y 3

Contenido de esta página:

1. Introducción

2. Grupo cíclico de orden 2: definición y propiedades

3. Grupo cíclico de orden 3: definición y propiedades

1. Introducción

Es habitual sorprenderse al escuchar que 1+1 no siempre es 2, pero esto se debe a que estamos acostumbrados a considerar el símbolo 1 como el número natural 1.

Recordamos que los números naturales son

$$ \mathbb{N} =\{0, 1, 2, 3, 4,..\} $$

y en efecto la suma de números naturales 1 + 1 es 2.

Sin embargo, como decíamos, en matemáticas el símbolo 1 se utiliza para denotar otros tipos de elementos que no son números naturales y, por lo general, ocurre no sólo que 1+1 no es 2, sino que el símbolo 2 no está definido.

La razón por la que se utilizan los símbolos 0 y 1 es por analogía con el anillo de los números enteros*: el 0 es el neutro de la suma y el 1 es el neutro del producto.

Vamos a ver dos ejemplos para los que 1+1 no es 2: el grupo cíclico de orden 2 y el grupo cíclico de orden 3.

*Nota: hablamos ahora del anillo de los enteros porque el conjunto de números naturales no tiene estructura de grupo ni para la suma ni para el producto (tiene estructura de semigrupo para ambas operaciones).

2. Grupo cíclico de orden 2

Denotamos con el símbolo 0 al conjunto de los números enteros pares (...,-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6...), esto es,

$$ 0 := \{ 2\cdot n\ |\ n \in \mathbb{Z} \} =: 2\mathbb{Z} $$

Y denotamos con el símbolo 1 al conjunto de los números enteros impares (...,-5, -3, -1, 1, 3, 5...), esto es,

$$ 1 := \{ 2\cdot n+1 \ |\ n \in \mathbb{Z} \} =: 2\mathbb{Z}+1$$

Nótese que los símbolos 0 y 1 no son números naturales, sino conjuntos.

Vamos a escribir tres propiedades de los números enteros usando los conjuntos 0 y 1 definidos anteriormente:

1. La suma de dos números pares es un número par:

   $$ 0+0 = 0 $$

2. La suma de un número par y de un número impar es impar:

   $$ 1+0 = 1$$

3. La suma de dos números impares es un número par:

   $$ 1+1 = 0$$

El conjunto formado por 0 y 1 se denota

$$ \mathbb{Z}_2 := \{0, 1\} $$

La operación (binaria e interna) "+" definida en los tres puntos anteriores dota a este conjunto de estructura de grupo abeliano. Es el llamado grupo cíclico de orden 2.

Veamos algunas propiedades de este grupo:

• Es abeliano (conmutativo).

• No tiene subgrupos propios.

• El elemento 1, de orden 2, es el único generador del grupo.

• El simétrico de cada elemento es él mismo.

Además, todo grupo de orden 2 es isomorfo al cíclico de orden 2. Esto es, todo grupo de orden 2 tiene la misma estructura que el cíclico de orden 2.

3. Grupo cíclico de orden 3

Para definir el grupo cíclico de orden 3 suele utilizarse notación multiplicativa, pero nosotros emplearemos la aditiva y los símbolos 0, 1 y -1 para obtener expresiones como 1 + 1 = -1 y - 1 - 1 = 1.

El grupo cíclico de orden 3 es el conjunto

$$ \mathbb{Z}_3 = \{0, 1, -1 \} $$

con la operación binaria interna "+" (notación aditiva) definida en la siguiente tabla:

+	0	1	-1
0	0	1	-1
1	1	-1	0
-1	-1	0	1

Es decir,

• 0 + 0 = 0

• 0 + 1 = 1 = 1 + 0

• 0 - 1 = - 1 = - 1 + 0

• 1 + 1 = - 1

• 1 - 1 = 0

• - 1 - 1 = 1

Veamos algunas propiedades de este grupo:

• Es abeliano.

• El simétrico de 1 es -1, el simétrico de -1 es 1 y el simétrico de 0 es 0.

• No tiene subgrupos propios. Nótese que, por ejemplo, el subconjunto

  $$ H = \{0, 1 \} $$

  no puede ser un subgrupo puesto que no contiene al simétrico de 1.

• El elemento 1 es de orden 3 ya que 1 + 1 + 1 = 0.

  Además, es generador del grupo puesto que 1 = 1, 1 + 1 = -1 y 1 + 1 + 1 = 0.

El grupo de cíclico de orden 3 es el único grupo de orden 3. Es decir, todo grupo de orden 3 es isomorfo al cíclico de orden 3.

En notación multiplicativa, podemos definir el grupo cíclico de orden 3 como

$$ \mathbb{Z}_3 = \{ 1, a, a^2 \} = < a \ |\ a^3 = 1>$$

con la operación "·" definida por

·	1	a	a2
1	1	a	a2
a	a	a2	1
a2	a2	1	a

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