Cálculo de Extremos de Funciones de Varias Variables

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Introducción
Método de Resolución: puntos críticos y de silla, condición suficiente de la existencia de extremos relativos y matriz Hessiana.
Ejercicios Resueltos: cálculo de extremos y de puntos de silla

Introducción

Al igual que las funciones de una variable, las de varias variables también tienen extremos relativos y absolutos.

Un máximo (ó mínimo) absoluto es un valor para el que la función toma el mayor (ó menor) valor.

Un punto es un extremo relativo si es un extremo en un entorno de dicho punto. Es decir, si es un extremo con respecto a los puntos cercanos.

En esta sección estudiaremos analíticamente la existencia de extremos de funciones de dos variables en el dominio de la función (que consideramos abierto). Para ello usaremos cálculo diferencial.

Método de Resolución

Nos basaremos, básicamente, en dos teoremas:

Puntos críticos: según teorema,

Si la función $f$ admite derivadas parciales (es decir, que existen) en un extremo relativo $a$, entonces son iguales a 0.

Es decir, los candidatos a extremos relativos son los puntos que anulan las derivadas parciales. Es una condición necesaria pero no suficiente, esto es, que se anulen en $a$ no significa que $a$ sea un extremo, pero es un requisito indispensable.

A estos candidatos los llamamos puntos críticos.
Teorema: condición suficiente de extremos relativos:

Sean $f$ una función de clase $C^2$ en un abierto del plano que es entorno del punto $a$, siendo $a$ un punto crítico.

Llamamos a las derivadas parciales de $f$ en $a$ del siguiente modo:

$$ A = D_{1,1}f(a) $$

$$ B = D_{1,2}f(a) $$

$$ C = D_{2,2}f(a) $$

Y definimos el Hessiano de $f$ en $a$ como

$$ H = A\cdot C - B^2 $$
El Hessiano es el determinante de la matriz Hessiana.

Entonces se cumple que
- Si $H > 0$ y $A<0$, entonces $f$ tiene un máximo local en $a$
- Si $H > 0$ y $A>0$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $a$
- Si $H < 0$, entonces $f$ tiene un punto de silla en $a$
Un punto de silla es un punto donde el gradiente de la función es nulo. Es un punto donde la superficie presenta un máximo con respecto a una dirección y un mínimo con respecto a la dirección perpendicular.