Contingut d'aquesta pàgina:
Novetat!
Intel·ligència artificial
Com els algorismes condicionen les nostres vides
Enric Senabre, Vicent Costa
Més informació: sembra llibres.
|
 |
Les integrals immediates són el primer nivell del càlcul del primitives de funcions.
Recordem que, donada una funció \(f(x)\), s'anomena primitiva de \(f(x)\) a qualsevol funció \(F(x)\) tal que la seva derivada siga la funció \(f(x)\).
És a dir, la funció \(F(x)\) és una primitiva de \(f(x)\) si
$$ F'(x) = \frac{\partial }{\partial x} F(x) = f(x) $$
Representem a les primitives de \(f(x)\) com a una integral:
$$ \int{ f(x)} dx $$
Anomenem integrals immediates a les integrals que poden calcular-se d'una manera prou directa (immediata). Deiem "d'una manera prou directa" ja que, per a alguns, una mateixa integral pot ser considerada més o menys directa segons la seua intuició matemàtica. No obstant això, les integrals immediates són les més senzilles de resoldre.
Generalment, una integral immediata es pot resoldre al aplicar la regla de la cadena. Per exemple, segons aquesta regla, la derivada de la funció \(f(x) = (2x+1)^2\) és \(4(2x+1)\). Per tant, la integral
$$ \int{4(2x+1)dx}$$
és immediata ja que el seu resultat és obvi sense necessitat d'aplicar altres mètodes:
$$ \int{4(2x+1)dx} = (2x+1)^2 + K$$
Per tant,
el mètode per resoldre una integral immediata consisteix en aplicar la regla de la cadena, la taula o regles de les derivades directes (derivada de la potència, del logaritme, de l'exponencial, etc.) i les propietats de les integrals (més endavant).
Finalment, recordem al lector que el resultat de qualsevol integral, immediata o no, ha de comptar amb l'anomenda constant d'integració, \(K\). Aquesta \(K\) és constant perquè no és una funció de \(x\) i, per tant, al derivar-la, desapareix. La constant d'integració serveix per representar una major quantitat de primitives.
A continuació, enumerem les dues propietats bàsiques de les integrals que ens ajudaran a resoldre-les:
Integral de la suma
És a dir, la integral de la suma de dues funcions és la suma de les integrals d'ambdues funcions.
-
Integral del producte per una constant
És a dir, les constants (nombres o paràmetres; o factors que no siguin funció de x) poden entrar i eixir de la integral multiplicánt-la.
Aquesta propietat s'empra tant d'esquerra a dreta com de dreta a esquerra perquè, de vegades, es necessita o ens molesta una constant a l'integrand.
Per exemple, si tenim la integral \( \int{x}dx\), atès que la derivada de \(f(x) = x^2\) és \(f'(x) = 2x\), podem escriure un 2 en l'integrand per resoldre la integral:
$$ \int{x}dx = \frac{2}{2}\cdot \int{x}dx = $$
$$ \frac{1}{2}\cdot \int{2x}dx = \frac{1}{2}\cdot x^2 + K$$
Integral 1
Veure solució
Aplicarem la propietat: una constant pot entrar o eixir de la integral.
Multiplicarem per la constant necessària per a tenir en l'integrand la derivada de \(x^5\):
Integral 2
Veure solució
Aquesta integral és, sens dubte, immediata:
Integral 3
Veure solució
Apliquem la propietat: la integral de la suma és la suma de les integrals:
Integral 4
Veure solució
Com que hi ha una suma a l'integrand, podem descompodre la integral en una suma de dues integrals:
Integral 5
Només cal tenir un 2 a l'integrand perquè aquest sigui la derivada del sinus de l'angle doble:
Integral 6
Normalment, les integrals immediates de funcions racionales són la derivada
d'un logaritme. Si no és així, haurem d'aplicar altres mètodes.
Com a regla general, la integral d'una fracció és un logaritme si el grau del polinomi del denominador té un grau més que el del numerador. En aquest cas, el que fem és aconseguir que al numerador estigui la derivada del polinomi del denominador:
Integral 7
Només cal tenir un 2 a l'integrand perquè aquest sigui la derivada de \(e^{2x}\):
Integral 8
Veure solució
Multipliquem la integral per -1 per tenir al numerador la derivada del denominador. D'aquesta manera, l'integrand serà la derivada d'un logaritme:
Integral 9
Veure solució
Escrivim un 5 a l'integrand per tenir la derivada de \(e^{5x+3}\):
Integral 10
Veure solució
El que fem primer és descompondre la integral com una suma d'integrals. Després, escrivim les arrels en forma de potències per poder manipular-les més còmodament. .
Integral 11
Veure solució
Escrivim l'arrel quadrada en forma de potència. D'aquesta manera, aplicant les propietats de les potències, l'integrand serà molt simple (una potència).
Integral 12
Veure solució
Primer, escrivim la integral com la suma de dues integrals. Després, escrivim l'arrel 5-èsima en forma de potència.
També, podem escriure l'exponencial al numerador canviant el
signe del seu exponent.
Integral 13
Veure solució
Normalment, escrivim la tangent com el quocient del sinus i del
cosinus per facilitar els càlculs. Al fer-ho en aquesta integral, obtenim al numerador la derivada del denominador i, per tant, l'integrand és la derivada d'un logaritme.
Integral 14
Veure solució
Com de costum, descomposem la integral en una suma de tantes integrals com sumands hi ha a l'integrand. Després, escriurem l'arrel com una potència i emprarem les propietats de les
potències per simplificar els integrands.
Nota: la presència de la integral de \(\frac{1}{x^2}\) és tan habitual que
es sol escriure directament la seva primitiva sense realitzar cap operació.
Integral 15
Veure solució
L'integrand és, si li canviem el signe, la derivada d'un cosinus:
Integral 16
Veure solució
L'integrand és la derivada del quadrat del logaritme dividit entre 2:
Integral 17
Veure solució
L'integrand és quasi la derivada de \(cos^4(x)\):
Integral 18
Veure solució
L'integrand és quasi la derivada de la tangent de l'angle mig:
Integral 19
Veure solució
Aquesta integral és important ja que apareix sovint però, no sol ser fàcil de resoldre. La clau que ens ho permetrà és la següent igualtat:
Així, podem descompondre la integral:
Per tant,
Integral 20
Veure solució
Recordem derivada de l'arctangent:
La integral anterior s'assembla prou a la integral d'aquest problema. Anem a realitzar un parell d'operacions en l'integrand per obtenir que sigui la derivada d'algun arctangent.
Si no volem fer tants càlculs, hi ha una fòrmula per resoldre les integrals que tenen aquesta forma:
Integral 21
Veure solució
Integral 22
Veure solució
Nota: no és necessari escriure el valor absolut
en l'argument del logaritme ja que aquest és sempre positiu.
Integral 23
Veure solució
El numerador no és la derivada del denominador ja que el grau del polinomi del denominador és
1 i el del numerador és 4. Per tant, no es tracta de la derivada d'un logaritme.
Anem a reescriure l'integrand com la derivada d'un arctan:
Integral 24
Veure solució
Integral 25
Veure solució
Escrivim l'arrel com una potència:
Integral 26
Veure solució
Escrivim l'arrel del denominador com una potència:
Integral 27
$$ \int{\frac{x-1}{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}}} $$
Veure solució
La integral sembla complicada però, fent uns quants càlculs deixa de ser-ho.
Atès que tenim una suma d'arrels al denomidor, multipliquem i dividim per la diferència d'arrels. Així,
tindrem un polinomi al denominador i les arrels quedaran al numerador.
D'aquesta manera, pel fet de tenir la resta de les arrels al numerador, podem descompodre la integral.
Multipliquem i dividim per la resta d'arrels
$$\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}$$
Aleshores,
$$ \frac{x-1}{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}} =$$
$$ =\frac{(x-1)\cdot (\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}) }{(\sqrt{2x})^2-(\sqrt{x+1})^2} =$$
$$ =\frac{(x-1)\cdot (\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}) }{2x-(x+1)} =$$
$$ =\frac{(x-1) \sqrt{2x}-(x-1)\sqrt{x+1} }{2x-x-1} =$$
$$ =\frac{(x-1) \sqrt{2x}-(x-1)\sqrt{x+1} }{x-1} =$$
$$ =\frac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1} }{1} =$$
$$ =\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}$$
La integral de la resta anterior és inmediata:
$$ \int{(\sqrt{2x}-\sqrt{x+1})dx}=$$
$$ =\int{\sqrt{2x}dx}-\int{\sqrt{x+1}dx}=$$
$$ =\frac{(2x)^\frac{3}{2}}{2}-\frac{2(x+1)^\frac{3}{2}}{3}+K$$
