Integració per parts

Integrem per parts:

Nota: és important escollir

$$ x = u \rightarrow dx = du$$

ja que d'aquesta manera estem reduïnt el grau del monomi (d'1 a 0). Si pel contrari escollim

$$ x = dv \rightarrow v = \frac{x^2}{2} $$

augmentem el grau (d'1 a 2) i compliquem més la integral ja que el factor de l'exponencial es manté igual i ens queda la integral

$$ \int {\frac{x^2}{2}\cdot e^x }dx$$

Integrem per parts:

Nota: al igual que en l'exercici anterior, com que no importa si \(cos(x)\) és \(u\) ó \(dv\) (ja que obtenim un sinus), escollim \(u = x\) per disminuir el grau d'aquest monomi (i aíxí, desapareix la \(x\). Si escollim \(dv = x\), augmentem el seu grau:

$$ dv = x \rightarrow v = \frac{x^2}{2}$$

En aquesta integral no tenim un producte explícit de funcions però, com que no sabem quina és la primitiva del logaritme, el que fem és derivar-lo considerant-lo com \(u = ln (x)\):

Ens interesa triar \(u = x^2\) (per reduir el seu exponent) però, aleshores ens veiem obligats a que \(dv = ln(x)\) i trobar \(v\) no és immediat. Per això, escollim el contrari:

Si triem \(dv = ln(x)\), no podrem calcular \(v\) de forma immediata. És millor anomenar \(u = ln(x)\):

Generalment, escollim \(u = x^2\) per reduir el seu exponent però, aleshores tindrem \(dv = arctan(x)\) i no coneixem la primitiva de \(arctan\). Per això, anomenem \(dv = x^2\):

Ara s'ha de calcular la integral d'una funció racional. Per simplificar l'integrand, efectuem la divisió de polinomis:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} \rightarrow P(x) = Q(x)C(x) + R(x) $$

on \(C(x)\) i \(R(x)\) són els polinomis quocient i residu, respectivament.

Dividint ente \(Q(x)\) en la igualtat anterior, tenim

$$ \frac{P(x)}{Q(x)} = C(x)+ \frac{R(x)}{Q(x)}$$

Emprarem aquesta descomposició de la fracció per simplificar l'integrand:

Resolem la integral:

Per tant,

Nota: hem eliminat el valor absolut del logaritme ja que el seu argument és sempre positiu.

Cada vegada que integrem o derivem \(cos(x)\) obtenim \(\pm sin(x)\). Per això, no ens importa anomenar-lo \(u\) ó \(dv\). No obstant això, és sí que és millor escollir \(u = x^2\) per tal de reduir el seu exponent: \(du = 2x\).

Cal integrar una altra vegada per parts però, s'ha d'escollir \(u = x\) perquè si no, tornem al pas anterior:

Llavors,

Escollim \(u = x\) per reduir el seu exponent (i per tant, desapareix la x).

Noteu que la primitiva de

$$ \frac{1}{cos^2(x)}$$

és immediata.

Encara millor que el que passa amb el sinus i el cosinus, al derivar o al integrar \(e^x\) obtenim \(e^x\). Així, no ens importa anomenar-lo \(u\) ó \(dv\).

Si escollim que l'exponencial sigue \(u\), aquest factor es mantendrà sempre a la integral i, a més, el monomi haurà de ser \(dv\), pel que anirem augmentat el seu grau en cada pas.

Per evitar-ho, anomenem \(dv= e^x\) i \(u\) als monomis del polinomi per anar reduint els exponents.

En aquest problema no ens importa quins factors anomenem u i dv ja que al integrar i al derivar l'exponencial e^-x obtenim l'exponencial -e^-x i al integrar i al derivar cos(x) obtenim ± sin(x).

Es tracta d'una integral cíclica en la que s'ha d'aplicar dues vegades integració per parts (sempre mantenint l'elecció dels factors per no tornar enrere) i, després, s'ha d'aïllar la integral de la igualtat obtinguda.

Com que tenim una exponencial per un sinus, es tracta d'una integral cíclica. Per tant, s'ha d'aplicar dues vegades integració per parts i, després, aïllar la integral de la igualtat obtinguda.

Podem escollir u y dv a l'atzar.

Anomenem u al polinomi per reduir els exponents fins que aquests desapareguin:

Cada vegada que derivem o integrem l'exponencial obtenim la mateixa exponencial però multiplicada per una constant. Per això, no ens importa si l'anomenm u ó dv.

Llavors, escollim segons l'altre factor. Com que aquest és un monomi, l'anomenem u = x² per reduir el seu exponent:

La integral del arcsin pot considerar-se com directa o immediata però, també podem calcular la seva primitiva integrant per parts:

Califiquem aquesta integral com a difícil ja que, després d'aplicar integració per parts, anem a transformar l'integrand en la derivada d'un arctan.

No obstant això, s'ha de dir que aquest procediment es segueix molt sovint en la integració.

Recordem, per la regla de la cadena, la derivada de l'invers d'una funció:

És cíclica: obtindrem que la integral és igual a una expressió en la que apareix la pròpia integral. Per tant, haurem d'aïllar la integral en l'equació:

Aplicarem integració per parts 3 vegades per rebaixar el grau del monomi:

Nota: si es desitja, es poden cambiar els noms de les variables u i v cada vegada que s'aplica integració per parts.