Integració per substitució

La idea és aplicar un canvi de variable de manera que els signes radicals desapareguin. Açò s'aconseguiex, per exemple, amb el canvi

Canvi de variable 1:

$$ z = \sqrt{x} $$

Aïllem x en l'expressió anterior elevant al quadrat:

$$ x = z^2 $$

Derivem:

$$ dx = 2zdz $$

Apliquem el canvi en la integral:

$$ \int{\frac{(1+\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}}}dx = \int{\frac{(1+z)^2}{z}}\cdot 2zdz = $$

$$ = \int{(1+z)^2}\cdot 2dz = 2\int{(1+z)^2}dz$$

Desenvolupem el quadrat de la suma per escriure la integral de la suma com una suma d'integrals:

$$ 2\int{(1+z)^2}dz = 2\left( \int{1}dz + \int{z^2}dz + \int{2z}dz \right) = $$

$$ = 2\left( z + \frac{z^3}{3} + z^2 \right) = 2z + \frac{2z^3}{3}+ 2z^2 $$

Per acabar, desfem el canvi de variable, és a dir, escrivim el resultat en funció de la variable inicial, x:

$$ z = \sqrt{x} \rightarrow z^2 =x,\ z^3 = (\sqrt{x})^3$$

Per tant,

$$ \int{\frac{(1+\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}}}dx = 2\sqrt{x} + \frac{2(\sqrt{x})^3}{3}+ 2x + C$$

on C és la constant d'integració.

Canvi de variable 2:

$$ z = 1+\sqrt{x} $$

Amb aquest canvi també desapareixen les arrels.

Aïllem x i derivem:

$$ x = (z-1)^2 $$

$$ dx = 2(z-1)dz $$

Apliquem el canvi en la integral:

$$ \int{\frac{(1+\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}}}dx = \int{\frac{(z)^2}{z-1}}\cdot 2(z-1)dz = $$

$$= \int{2z^2 dz} = \frac{2z^3}{3} $$

Desfem el canvi de variable:

$$\int{\frac{(1+\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}}}dx = \frac{2(1+\sqrt{x})^3}{3} +C$$

Nota: les dues funcions primitives obtingudes són distintes però, les seves respectives derivades són iguals.

Apliquem el canvi de variable

$$ z = 1-x^2 $$

Derivem l'expressió (sense necessitat d'aïllar x):

$$ dz = -2x dx \rightarrow x dx= -\frac{1}{2}dz$$

Apliquem el canvi en la integral:

$$ \int{x\sqrt{1-x^2}}dx = \int{\sqrt{z}}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) dz =$$

$$ = -\frac{1}{2}\int{\sqrt{z}}dz = -\frac{1}{2}\int{z^{\frac{1}{2}}}dz =$$

$$ = -\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{2}{3} (z)^{\frac{3}{2}}\right) =$$

$$=-\frac{1}{3} (z)^{\frac{3}{2}} $$

Finalment, desfem el canvi de variable:

$$ \int{x\sqrt{1-x^2}}dx = -\frac{1}{3} (1-x^2)^{\frac{3}{2}} +C$$

Apliquem el següent canvi de variable:

---

Apliquem el canvi de variable

---

Noteu que el radicand pot escriure's com

$$ 3-2x-x^2 = 4 - (x+1)^2$$

Apliquem el següent canvi de variable (canvi recomanat en la fila 6 de la taula de la introducció):

$$ x+1 = sin(t)\cdot \sqrt{4} = 2 sin(t)$$

Derivem:

$$ dx = 2 cos(t)dt $$

Amb aquest canvi,

$$ (x+1)^2 = 4sin^2(t)$$

Emprarem la identitat fonamental de la trigonometria:

$$ sen^2(t) + cos^2(t) = 1 $$

El canvi triat permet simplificar enormement el radicand:

$$ 4 - (x+1)^2 = 4-4sin^2(t) =$$

$$ = 4(1-sin^2(t)) = 4 cos^2(t)$$

Per tant, la integral queda com

$$ \int{\sqrt{4 - (x+1)^2}}dx = \int{\sqrt{4cos^2(t)}\cdot 2cos(t)}dt =$$

$$ = \int{2cos(t)\cdot 2cos(t)}dt = \int{4cos^2(t)}dt $$

La integral que queda és típica i sabem que és

$$ 4\int{cos^2(t)}dt = 4\left( \frac{cos(t)sin(t)+t}{2} \right)$$

Per desfer el canvi hem d'aïllar t:

$$ x+1 = 2 sin(t) \rightarrow t = arcsin\left( \frac{x+1}{2}\right)$$

Llavors, el resultat de la integral és

$$ \int{\sqrt{4 - (x+1)^2}}dx =$$

$$ = 2\left( cos\left(arcsin\left( \frac{x+1}{2}\right)\right)\cdot \left( \frac{x+1}{2}\right)+arcsin\left( \frac{x+1}{2}\right) \right)+C$$

---

Nota: la integral és immediata si s'apliquen les propietats dels logaritmes, com veurem després de resoldre-la per substitució.

El canvi de variable que aplicarem és

$$ x^2 = z $$

Aïllem x i derivem en la igualtat:

$$ x = \sqrt{z} $$

$$ dx = \frac{1}{2\sqrt{z}}dz $$

Com deiem abans, si apliquem les propietats dels logaritmes, podem escriure l'integrand com

$$ \frac{ln(x^2)}{x} = \frac{2ln(x)}{x} $$

que és precisament una derivada:

$$ \frac{\partial (ln(x))^2}{ \partial x} = \frac{2ln(x)}{x} $$

Llavors, tenim també la primitiva

$$ ln^2(x) +C$$

En realitat, las dues integrals calculades són la mateixa funció ja que, aplicant de nou les propietats del logaritme,

$$ \frac{ln^2(x^2)}{4} = \frac{(ln(x^2))^2}{4} = $$

$$ \frac{(2ln(x))^2}{4} = \frac{4ln^2(x)}{4} = ln^2(x) $$

---

Com que l'exponente de sin³(x) és imparell, apliquem el canvi de variable

$$z= cos(x) \rightarrow z^2 = cos^2(x)$$

Aïllem x i derivem:

$$ x = arcos(z) $$

$$ dx = \frac{-1}{\sqrt{1-z^2}} $$

Al aplicar el canvi, necessitem escriure sin³(x):

$$ z = cos(x) \rightarrow z^2 = cos^2(x) = 1-sin^2(x) $$

Llavors,

$$ sin^3(x) = (1-z^2)^{\frac{3}{2}} $$

Apliquem el canvi en la integral:

$$ \int{sin^3(x)cos^4(x)} dx = \int{(1-z^2)^{\frac{3}{2}} z^4 \cdot \left( \frac{-1}{\sqrt{1-z^2}}\right)} dz $$

Simplificant l'integrand i aplicant la propietat de la integral de la suma,

$$ = -\int{(1-z^2)z^4}dz = -\left( \int{(z^4-z^6)} \right) =$$

$$ =-\left( \int{z^4}dz - \int{z^6}dz \right) = $$

$$ = -\left( \frac{z^5}{5} - \frac{z^7}{7} \right) =$$

$$ = \frac{z^7}{7} - \frac{z^5}{5} $$

Finalment, desfem el canvi de variable:

$$ \int{sin^3(x)cos^4(x)} dx = \frac{cos^7(x)}{7} - \frac{cos^5(x)}{5} +C$$

Atenent a la taula de canvis recomanats, aplicarem el canvi:

$$ x = sin(z) \rightarrow z = arcsin(x) $$

Derivem:

$$ dx = cos(z)dz $$

La dificultat d'aquesta integral radica en que emprarem les següents identitats trigonomètriques:

$$ sin^2(x) + cos^2(x) = 1$$

$$ sin(arcsin(x)) = x $$

$$ cos(arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2} $$

Apliquem el canvi a la integral:

$$ \int{\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int{\frac{sin^2(z)}{\sqrt{1-sin^2(z)}}cos(z)}dz = $$

$$ = \int{\frac{sin^2(z)}{\sqrt{cos^2(z)}}cos(z)}dz =\int{\frac{sin^2(z)}{cos(z)}cos(z)}dz =$$

$$ = \int{sin^2(z)}dz $$

Sabem que la integral anterior és

$$ \int{sin^2(z)}dz = \frac{z}{2} - \frac{sin(z)cos(z)}{2} $$

Per tant, desfent el canvi de variable, tenim

$$ \int{\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}dx =$$

$$ = \frac{arcsin(x)}{2} - \frac{sin(arcsin(x))cos(arcsin(x))}{2}$$

Aplicant les identitats d'abans,

$$ \int{\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \frac{arcsin(x)}{2} - \frac{x\cdot \sqrt{1-x^2}}{2} +C$$

Apliquem el mateix canvi que en l'exercici anterior:

$$ x = sin(z) \rightarrow z = arcsin(x)$$

Derivem:

$$ dx = cos(z)dz$$

Apliquem el canvi:

$$ \int{\sqrt{1-x^2}} dx = \int{\sqrt{1-sin^2(z)} \cdot cos(z)} dz = $$

$$ \int{ \sqrt{cos^2(z)} \cdot cos(z)} dz = \int{ cos^2(z)} dz $$

I sabem que la integral anterior és

$$ \int{cos^2(z)}dz = \frac{z}{2} + \frac{sin(z)cos(z)}{2} $$

Per tant, desfent el canvi de variable i aplicant les identitats trigonomètriques de l'exercici anterior,

$$ \int{\sqrt{1-x^2}}dx = \frac{arcsin(x)}{2} + \frac{x \sqrt{1-x^2}}{2} +C$$

De nou, apliquem el canvi de la fila 6 de la taula:

$$ x = \frac{1}{3}\cdot sin(t) \rightarrow t = arcsin(3x) $$

Derivem:

$$ dx = \frac{1}{3}\cdot cos(t) $$

Apliquem el canvi en la integral:

Hem utilitzat també les identitats:

$$ cos^2(x)+sin^2(x) = 1$$

$$ cos(arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2} $$