Equacions Exponencials: Exercicis Resolts
Contingut d'aquesta pàgina:
Novetat!
Intel·ligència artificial
Com els algorismes condicionen les nostres vides
Enric Senabre, Vicent Costa
Més informació: sembra llibres.
|
 |
Introducció a les equacions exponencials
Una equació exponencial és aquella en la que apareixen exponencials, és a dir,
potències que tenen la incògnita, x, en els exponents. En aquesta pàgina resoldrem equacions
exponencials sense emprar logaritmes.
El mètode de resolució consisteix en aconseguir una igualtat entre dues exponencials amb la mateixa
base per poder igualar els seus exponents. Per exemple:
$$3^{2x}= 3^6$$
Òbviament, x ha de ser 3 perquè es compleixi la igualtat.
Per aconseguir aquest tipus de igualtats haurem de factoritzar, expressar els nombres
en forma de potències, aplicar les propietats de las potències
i escriure les arrels com potències. Sovint caldrà aplicar un canvi de variable
per transformar l'equació en una de segon grau.
Aquestes equacions també es poden resoldre, com hem dit abans, emprant logaritmes,
però nosaltres deixarem aquest procediment per a equacions més difícils en les que
les exponencials tenen bases distintes i, per tant, no podem igualar. Per exemple, l'equació
$$3^{x+3} = 5^x$$
té la solució real, emprant logaritmes,
$$x = 3 \frac{ln 3}{ln (\frac{5}{3})}$$
Abans de començar... recordem les propietats de les potències:
|
Producte (mateixa base)
|
Potència (d'una potència)
|
| Quocient
|
Exponent negatiu 
|
| Invers 
|
Invers
|
Equacions Exponencials Resoltes
Equació 1
Veure solució
Tenim en compte que
Podem reescriure l'equació com
Per tant,
Equació 2
Veure solució
Tenim en compte que
Podem reescriure l'equació com
Per tant,
Equació 3
Veure solució
Tenim en compte que
Operem en l'equació aplicant les propietats de les potències:
Per tant, tenim que
Equació 4
Veure solució
Tenim en compte que
Així, podem reescriure l'equació com
D'aquesta manera podem treure factor comú de \(2^x\)
És a dir,
Equació 5
Veure solució
Tenim en compte que
I d'aquesta manera podem reescriure l'equació com
Tenim la base comú 3x però, com que una de les potències està al quadrat, escrivim
Substituint, l'equació queda com
És a dir, una equació de segon grau
Multipliquem per 9:
Resolem:
Per tant, tenim que
És a dir,
La segona opció no és possible perquè és negativa. Per tant,
D'on obtenim
Equació 6
Veure solució
Tenim en compte que
La qual cosa ens permet reescriure l'equació com
Anomenem
Substituïm i obtenim una equació de segon grau
Resolem l'equació
Per tant, tenim que
És a dir
La segona solució no és possible per ser negativa, però la primera sí que ho és
Equació 7
Veure solució
Tenim en compte que
I així podem reescriure l'equació com
Anomenem
Substituïm i obtenim l'equació de segon grau
Resolem
Tenim que
La segona solució no és possible per ser negativa. Per tant,
És a dir,
Equació 8
Veure solució
Tenim en compte que
Així, podem reescriure l'equació com
Anomenem
Substituïm i obtenim l'equació de segon grau
Resolem
Per tant,
Notem que
És a dir, ambdues són potències de 3. Llavors les solucions són
Equació 9
Veure solució
Tenim en compte que
Així, podem reescriure l'equació com
Anomenem
Substituïm i obtenim l'equació de segon grau
Resolem
Per tant,
Las solucions
no són possibles per ser una zero i l'altra negativa. Llavors la solució de l'equació exponencial és
Equació 10
Veure solució
Tenim en compte que
Així, podem reescriure l'equació com
Per tant,
Equació 11
Veure solució
Tenim en compte que
Així, podem reescriure l'equació com
Anomenem
Substituïm i obtenim l'equació de segon grau
Resolem
Per tant,
La primera no és possible per ser zero. Per tant,
Equació 12
Veure solució
Tenim en compte que
Així, podem reescriure l'equació com
Anomenem
Substituïm i obtenim l'equació de segon grau
Resolem
Per tant,
La primera no és possible per ser zero. Per tant, x = 1.
Equació 13
Veure solució
Tenim en compte que
Així, podem reescriure l'equació com
Com que tenim una exponencial dividint, multipliquem tota l'equació per aquesta perquè desaparegui:
Anomenem
Substituïm i obtenim l'equació de segon grau
Resolem
Per tant,
La segona no és possible per ser negativa. Per tant,
Equació 14
Veure solució
Tenim en compte que
Així, podem reescriure l'equació com
Anomenem
Aleshores
Substituïm i obtenim una equació de quart grau
Resolem
La primera solució no és possible per ser zero. Per tant,
Equació 15
Veure solució
Tenim en compte que
Així, podem reescriure l'equació com
Com que tenim una exponencial dividint, multipliquem tota l'equació per aquesta perquè desaparegui:
Anomenem
Substituïm i obtenim l'equació de tercer grau
Resolem:
Apliquem la regla de Ruffini
Una solució és t = 4. Calculem les altres dues:
Però, aquestes no són solucions possibles ja que són negatives. Per tant,
Equació 16
Veure solució
Reescrivim l'equació
Per tant,
Equació 17
Veure solució
Reescrivim l'equació
Com que tenim una exponencial en un denominador, multipliquem tota l'equació per aquesta perquè desaparegui:
Per tant,
Equació 18
Veure solució
Tenim en compte que
Reescrivim l'equació
Operem:
Per tant,
Equació 19: dificultat alta
Veure solució
Tenim en compte que
Així, podem reescriure l'equació com
Anomenem
Obtenim l'expressió
Anem a definir
Notem que
Anem a suposar primer que
L'equació resultant és
Així,
I açò no és possible. Suposem ara que
L'equació resultant és
Una solució és t = 0 que, com abans, no és possible.
L'altra és
Però hem suposat que k = -1 i s'ha de comprovar que, en efecte, és així:
Com que la relació s'acompleix, la solució de l'equació exponencial és x = 2.
Equació 20
Veure solució
Podem reescriure l'equació com
Anem a escriure 25 com 25 = 52 i, fent ús de les propietats de les potències, escrivim
l'arrel en forma de potència
Per tant, tenim que
Finalment, resolem l'equació
Equació 21
Veure solució
Escrivim les arrels en forma de potències
Volem que
Per tant, tenim dues solucions:
$$x = 0, \ x = -2$$
Equació 22
Veure solució
Escrivim les arrels en forma de potències
Volem que
Equació 23
Veure solució
Escrivim les arrels en forma de potències. L'equació queda com:
Volem que
Resolem l'equació de primer grau i obtenim la solució:
Equació 24
Veure solució
Escrivim l'arrel en forma de potència. L'equació queda com:
Volem que
Hem de tenir en compte que x no pot ser mai 0 perquè està en el denominador.
Resolem per Ruffini
Una arrel és x = 2. Calculem les altres:
No hi ha arrels reals. Per tant, l'única solució de
l'equació exponencial és \(x = 2\).
Equació 25
Veure solució
Escrivim l'arrel en forma de potència. L'equació queda com:
Notem que -8 = (-2)3
Volem que
Matesfacil.com
by J. Llopis is licensed under a
Creative
Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
