Logaritmes:

Equacions, sistemes i demostracions

  • Breu introducció

  • Propietats dels logaritmes

  • 25 Equacions logarítmiques resoltes

  • 11 Sistemes resolts (d'equacions logarítmiques)

  • Demostració de les propietats dels logaritmes


Introducció

En les equacions logarítmiques, la incògnita es troba en l'argument de logaritmes. La seva resolució es redueix, en realitat, a la resolució d'equacions del mateix tipus que les expressions dels arguments (equacions de segon grau, tercer grau, irracionals...)

Aquesta secció és una col·lecció d'exercicis resolts d'equacions i sistemes d'equacions logarítmiques. En la majoria dels logaritmes no s'especifica la base perquè pressuposem que és 10. Encara que cal dir que normalment en els textos científics es considera, si no s'indica el contrari, que la base és e (és a dir, són logaritmes neperians).

A més, al final de la pàgina demostrarem les propietats dels logaritmes: logaritme del producte, del quocient, de la potència i el canvi de base.

Pel que fa a les aplicacions dels logaritmes, podem comentar que s'empren amb freqüència en la física. Apareixen, per exemple, al calcular la magnitud aparent d'un cos celest (mesura de la quantitat de llum que percebem); la magnitud d'un terratrèmol en l'escala de Richter; l'edat (el temps transcorregut) en la datació radiomètrica (com la prova del carboni 14); el pH.

Abans de començar amb els exercicis, recordem la definició del logaritme:

$$ log_b (a) = c \Leftrightarrow b^c = a $$

I les seves propietats:

logaritme del producte:

logaritme del quocient:

logaritme de la potència:

canvi de base:

Propietat útil en la pràctica (definició de logaritme):



25 Equacions logarítmiques resoltes


Exercici previ

Calcular els següents logaritmes:

calcular els següents logaritmes amb bases distintes

Mostrar solució


Equació 1

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 2

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 3

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 4

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 5

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 6

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 7

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 8

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 9

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 10

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 11

equació logarítmica  amb distintes bases

Mostrar solució


Equació 12

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 13

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 14

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 15

equació logarítmica  amb x al quadrat

Mostrar solució


Equació 16

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 17

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 18

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 19

equació logarítmica  amb divisió de logaritmes

Mostrar solució


Equació 20

equació logarítmica  amb x al cub

Mostrar solució


Equació 21

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 22

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 23

equació logarítmica  amb fracció

Mostrar solució


Equació 24

equació logarítmica

Mostrar solució


Equació 25

equació logarítmica amb la incògnita en la base  i arrels quadrades en l'argument

Mostrar solució

11 Sistemes Resolts

Sistema 1

sistema d'equacions logarítmiques

Mostrar solució


Sistema 2

sistema d'equacions logarítmiques

Mostrar solució


Sistema 3

sistema d'equacions logarítmiques

Mostrar solució


Sistema 4

sistema d'equacions logarítmiques

Mostrar solució


Sistema 5

sistema d'equacions logarítmiques

Mostrar solució


Sistema 6

sistema d'equacions logarítmiques

Mostrar solució


Sistema 7

sistema d'equacions logarítmiques

Mostrar solució


Sistema 8

sistema d'equacions logarítmiques

Mostrar solució


Sistema 9

sistema d'equacions logarítmiques amb producte de incògnites

Mostrar solució


Sistema 10

sistema d'equacions logarítmiques amb quocient d'incògnites

Mostrar solució


Sistema 11

sistema d'equacions logarítmiques amb incògnites al cub i al quadrat

Mostrar solució


Demostració de les propietats dels logaritmes


Propietat 1: logaritme del producte

demostracio de les propietats dels logaritmes

Mostrar demostració


Propietat 2: logaritme del quocient

demostracio de les propietats dels logaritmes

Mostrar demostració


Propietat 3: logaritme de la potència

demostracio de les propietats dels logaritmes

Mostrar demostració


Propietat 4: canvi de base

demostracio de les propietats dels logaritmes

Mostrar demostració


Propietat 5: invers del logaritme

demostracio de les propietats dels logaritmes

Mostrar demostració


Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.