1. $$ log_2(4) = $$

   $$ =log_2(2^2) = 2 $$

   ---

2. $$ log_3(9) = $$

   $$ = log_3 (3^2) = 2$$

   ---

3. $$ log_2 (32) = $$

   $$ = log_2(2^5) = 5 $$

   ---

4. $$ log(1000) =$$

   $$ = log_{10} (1000)= $$

   $$ =log_{10}(10^3) =3 $$

   ---

5. $$ log_2(0.8) = $$

   $$ =log_2 \left( \frac{8}{10} \right) =$$

   $$ = log_2 (8) - log_2(10) = $$

   $$ = log_2 (2^3) - log_2(2·5) = $$

   $$ = 3 -( log_2 (2·5) ) = $$

   $$ = 3 - (log_2(2) + log_2(5))= $$

   $$ = 3 - (1+log_2(5)) = $$

   $$ = 2 -log_2(5) $$

   ---

6. $$ log_7(\sqrt{7}) = log_7(7^{\frac{1}{2}}) = $$

   $$ \frac{1}{2} \cdot log_7(7) = $$

   $$= \frac{1}{2}\cdot 1 $$

   ---

7. 

   ---

8. 

   ---

9. 

Emprarem les propietats dels logaritmes i que

Tenim una igualtat entre logaritmes, aleshores els arguments (el de dins) han de ser els mateixos

La solució és x = 50.

Emprarem la propietat del logaritme del quocient i escrivim 3 com

per aconseguir una igualtat de logaritmes

Els logaritmes són iguals quan els seus arguments (el de dins) són els iguals. és a dir, volem

Resolem l'equació

Ara tenim que comprovar que per a la solució obtinguda els arguments són positius (perquè existeixin els logaritmes).

per tant, és la solució.

En aquesta equació, al aplicar les propietats per obtenir una igualtat de logaritmes tindrem que resoldre una equació de segon grau:

Notem que l'única solució possible és x = 3 ja que els arguments han de ser positius.

Fem servir les propietats dels logaritmes i que log(10) = 1:

$$ log(x+1)-log(x)=1 \rightarrow $$

$$ log\left( \frac{x+1}{x} \right) = log(10) \rightarrow $$

$$ \frac{x+1}{x} =10 \rightarrow $$

$$ x+1= 10x \rightarrow $$

$$ 9x = 1 \rightarrow $$

$$ x=\frac{1}{9} $$

$$ 2log(x)-log(x-6)=0 $$

$$ log(x^2) = log(x-6) $$

Perquè els logaritmes siguin iguals es necessita que

$$ x^2 = x-6 $$

Resolem l'equació de segon grau:

$$ x^2 -x +6 = 0 $$

$$ x=\frac{1\pm \sqrt{1-24}}{2} $$

Com que el discriminant és negatiu (-23), no hi ha solucions (reals).

Per tant, no existeix solució.

Com que tenim que dos termes són iguals, 3 elevat a aquests termes serà el mateix nombre:

Elevem 3 ja que 3 és la base del logaritme.

Com que el dos nombres son iguals (el logaritme i el nombre -10), aleshores, si elevem la base (10) a aquests termes, també seran iguals:

$$ 10^{log(x^2)} = 10^{-10} $$

$$ x^2 = 10^{-10} = \frac{1}{10^{10}} $$

Per tant, fent l'arrel quadrada:

$$ x = \pm \sqrt{\frac{1}{10^{10}}} = $$

$$ = \pm \frac{1}{10^5} $$

Com que l'argument del logaritme és x al quadrat, ambdós valors són solució de l'equació ja que al elevar al quadrat són nombres positius.

Emprarem el fet que

$$ 3 = log_5(125) $$

Per tant,

Sabem que

$$ log(10) = 1$$

Per tant

Utilitzarem el fet que

$$ log(1000) = 3 $$

L'única solució és x = 1000 ja que l'argument d'un logaritme no mai pot ser zero.

Escrivim 4 com un logaritme

$$ log(10000) = log(10^4) = 4 $$

Aleshores

Igualem els arguments (el de dins del logaritme) i resolem l'equació de segon grau:

Les solucions d'aquesta equació, x = 3 i x = 2, són els valors de x que fan que els arguments dels logaritmes siguen el mateix i, per tant, la igualtat entre els logaritmes sigui vertadera. Però, hem de comprovar que els arguments siguin positius:

En efecte, ho són. Llavors són les solucions de l'equació logarítmica.

L'única solució possible és x = 20 ja que l'argument d'un logaritme ha de ser necessàriament positiu.

Les dues arrels de l'equació són solucions de l'equació logarítmica ja que els arguments són positius.

Tenim dues solucions ja que els arguments són positius.

L'única solució és

$$ x = \frac{12}{5} $$

perquè si x = 0, l'argument del logaritme del denominador és negatiu.

L'única solució és x = 10.

Emprarem les propietats dels logaritmes i que

per obtenir una igualtat de logaritmes:

com que ja tenim la igualtat de logaritmes, valdran el mateix quan tinguin el mateix argument, per tant, obtenim la equació de segon grau:

Ara comprovem si per a aquestes dues (possibles) solucions els arguments són positius:

per tant, l'única solució és x = 2.

Escrivim 1 com

$$1 = log(10)$$

com que tenim una igualtat de logaritmes (amb la mateixa base), igualem els seus arguments i resolem l'equació

Ara comprovem que els arguments són positius:

En aquesta equació tenim la incògnita en la base del logaritme. El que farem és utilitzar la definició del logaritme per calcular-la. és a dir, emprarem la següent propietat:

aleshores,

Apliquem el següent canvi de variable:

Obtenim el sistema d'equacions lineals

El resolem i desfem el canvi de variable

Notem que la primera equació del sistema no és logarítmica.

Aïllem x en la primera equació i la substituïm en la segona:

Aquest sistema és semblant al de l'exercici anterior:

Apliquem el següent canvi de variable:

El sistema resultant és

Les solucions d'aquest sistema són:

Ara desfem el canvi de variable i obtenim la solució del sistema original:

Apliquem el següent canvi de variable:

El sistema resultant és

Les solucions d'aquest sistema són:

Ara desfem el canvi de variable i obtenim la solució del sistema original:

Apliquem el següent canvi de variable:

El sistema resultant és

Les solucions d'aquest sistema són:

Desfem el canvi de variable i obtenim la solució del sistema original:

Apliquem el canvi de variable:

obtenint el següent sistema d'equacions lineals

la solució del qual és

Finalment, desfem el canvi de variable:

No és necessari comprovar les solucions ja que són positives.

Emprem la propietat del logaritme del producte

Ara apliquem el canvi de variable

Obtenim així el sistema d'equacions

amb solució

Només cal desfer el canvi de variable:

No és necessari comprovar les solucions ja que són positives.

Primer apliquem la propietat del quocient del logaritme

Apliquem el canvi de variable habitual:

obtenint el següent sistema d'equacions lineals

que té per solució

Per acabar, desfem el canvi de variable

No cal comprovar les solucions.

Emprem la propietat del logaritme del quocient i de la potència

Ara apliquem el canvi de variable com de costum

Obtenint el sistema d'equacions

que té per solució

Desfem el canvi de variable: