Podem escriure qualsevol nombre com un producte de potències de nombres primers.

La manera més ràpida de calcular el màxim comú divisor de dos nombres és:

El procediment anterior pot resumir-se com:

La qual cosa significa que el MCD és el producte de totes les potències que apareixen en ambdues descomposicions («comuns») però l'exponent del qual sigui el menor.

Podem calcular el màxim comú divisor de més de dos nombres.

Aplicarem el mateix criteri:

Descomponem els nombres:

L'única base que apareix en ambdues és 3. Per tant, el MCD és la potència de base 3 amb exponent el menor possible (o sigui, 1):

Descomponem els nombres:

El MCD és "comuns al menor exponent":

L'únic divisor que tenen en comú és l'1, pel fet que dos dels nombres són primers (el 2 i el 3).

Descomponem els nombres:

El màxim comú divisor és:

Com que els nombres són nombres primers, l'únic divisor comú és l'1. Per tant,

Descomponem els nombres:

El màxim comú divisor és:

Descomponem els nombres:

El MCD és

Com que són potències de 10, cadascun s'escriu com 10 elevat al nombre de 0’s:

Per tant, el màxim comú divisor és la potència que té menor exponent:

Descomponem els nombres:

El màxim comú divisor és:

El màxim comú divisor és el que té menor exponent:

El MCD de dos nombres primers és 1 ja que, per ser nombres primers, l'únic divisor que tenen en comú és l'1.

Nota: els nombres primers només són divisibles per ells mateixa i per 1.

La resposta és no mai ja que 0 no és divisor de ningun nombre (no es pot dividir per 0).

Atès que el MCD ha de dividir a ambdós nombres, ha de ser menor o igual que els nombres.

Més concretament, és menor o igual que el menor dels nombres.

Si el MCD dels dos nombres és 4, aleshores 4 divideix a ambdós nombres. Per tant, 2 també els divideix.

Si ambdós nombres són divisibles per 2 és perquè són múltiples de 2, llavors són parells.

El MCD divisor de 6 i de 15 és 3. El MCD és senar i els nombres són un par i l'altre senar. Per tant, la primera opció queda descartada.

Suposem que els dos nombres són parells. Aleshores són divisibles per 2 i, per tant, el seu MCD també ho és (perquè 2 és una base comú de les descomposicions).

Aleshores, el MCD és parell també (perquè és divisible entre 2).

El que fem al tallar una corda en parts iguals és dividir-la.

Com que no ha de sobrar ningun tros, hem de dividir-la entre un nombre que divideixi a la longitud de la corda (perquè el residu sigui 0).

Com que volem tallar les dues cordes, la longitud dels talls ha de ser un nombre que divideix a ambdues longituds.

A més, volem que aquest nombre sigui el més gran possible.

És a dir, estem cercant el MCD de 120 i 200.

Descomponem els nombres:

Per tant, el MCD és:

Les cordes han de mesurar 40m.

De la corda de 120m obtindrem

$$ \frac{120}{40} = 3\ cordes $$

I de la de 200m obtindrem

$$ \frac{200}{40} = 5\ cordes $$

Per tant, obtindrem 8 cordes de 40 metres.

La primera opció és falsa perquè k, per ser un nombre primer, només és divisible per 1 i per k.

El MCD es defineix com el major dels divisors dels dos nombres a i b.

Com que k també és un divisor d'a i b, ha de ser menor que el MCD.

A més, atès que k és divisor d'a i de b i és primer, alguna potència de base k està en la descomposició d'a i alguna altra potència de base k està en la de b (no necessàriament són potències amb el mateix exponent).

Com que k és una base comú de les descomposicions, la potència que tingui exponent menor està en la descomposició del MCD.

Per tant, el MCD és divisible per k (ja que es múltiple de k).

Si els dos nombres són parells, són divisibles pel nombre primer 2. Per la pregunta anterior, si k = 2, sabem que el MCD és divisible per 2 i, per tant, és parell.