Contingut d'aquesta pàgina:
-
Concepte de Mínim Comú Múltiple (mcm)
-
Descomposició en nombres primers (recordatori)
-
Mètode per a l'obtenció del mcm a partir de la descomposició
-
Test i Exercicis resolts: calcular el mcm de dos o tres nombres, preguntes teòriques i problemes d'aplicació
Novetat!
Intel·ligència artificial
Com els algorismes condicionen les nostres vides
Enric Senabre, Vicent Costa
Més informació: sembra llibres.
|
 |
1. Definició i Exemple
Veure Concepte
El mínim comú múltiple de dos nombres a i b
és el nombre més petit que és múltiple d'a i múltiple de b.
Per denotar el mínim comú múltiple d'a i b escriurem
m.c.m.(a, b) ó mcm(a,
b).
Exemple: Anem a calcular el mínim comú múltiple de 4 i 6.
El que farem és escriure els primers múltiples de 4 i de 6.
Recordem que els múltiples s'obtenen multiplicant.
Entre els 6 primers múltiples de 4 i de 6 els nombres 12 i 24
són múltiples d'ambdós (són múltiples comuns).
Hem de quedar-nos amb el mínim.
Per tant, el mínim comú múltiple de 4 i 6 és
2. Descomposició en Nombres Primers
Anem a recordar cóm descompondre nombres per
escriure'ls com un producte de nombres primers,
la qual cosa facilitarà el càlcul del mínim comú múltiple:
Veure Descomposició
Podem escriure qualsevol nombre com un producte de potències de nombres primers.
Exemple:
Per descompondre un nombre dividim el nombre successivament entre nombres primers
fins arribar a l'1.
Exemple:
Dividim successivament per nombres primers (de manera que la divisió sigui exacta).
La descomposició és el producte de les potències dels nombres primers, els exponents dels quals
indiquen el nombre de vegades que hem dividit per aquests nombres primers.
En la descomposició hem d'escriure una potència de base 2 i una potència de base 3.
Els exponents són el nombre de vegades que es repeteix el nombre:
Per tant, la descomposició de 324 és
3. Obtenció del m.c.m. a partir de les descomposicions
Regla per al mcm:
«comuns i no comuns al major exponent»
Veure Mètode
La manera més ràpida de calcular el mínim comú múltiple
de dos nombres és:
-
Descomponem els nombres en nombres primers (producte de potències de nombres primers).
-
El mínim comú múltiple és el producte de totes les potències que
apareixen en les descomposicions,
-
però si alguna de les bases apareix en ambdues descomposicions,
escrivim la de major exponent.
Exemple:
Calculem el mínim comú múltiple de 180 i 324.
Les seves descomposicions són:
El mínim comú múltiple tindrà les potències de base 5, de base 3 i de base 2.
la potència de base 2 té l'exponent 2 en les dues descomposicions, així doncs
escriurem
$$ 2^2 $$
-
la potència de base 3 té los exponents 2 i 4. Ens quedem amb el major:
$$ 3^4 $$
-
la potència de base 5 només apareix en una de les descomposicions, però aquest fet és
irrellevant.
Per tant, el mínim comú múltiple de 180 i 324 és
El procediment anterior pot resumir-se com:
«comuns i no comuns al major exponent»
Açò significa que el mcm és el producte de totes les potències que
apareixen en una o en ambdues
descomposicions («comuns i no comuns») però que els exponents de les quals siguin els majors («al major exponent»).
4. El m.c.m. de més de dos nombres
Veure Text
Podem calcular el mínim comú múltiple de més de dos nombres.
Emprarem la mateixa regla:
«comuns i no comuns al major exponent»
Exemple:
Calculem el m.c.m. de 8, 9 i 10.
Les descomposicions d'aquests nombres són:
Les bases de les potències són: 2, 3 i 5.
El major exponent per a la base 2 és 3.
Les altres dues bases només tenen un exponent possible.
Per tant, el mcm(8,9,10) és
Exercicis Resolts de Mínim Comú Múltiple: Test i Problemes
Des de l'Exercici 1 fins a l'Exercici 15, s'ha de triar l'opció correcta.
Exercici 1
El mínim comú múltiple de 2 i 3 és...
Raonament:
Mostrar
No podem descompondre els nombres com un producte de primers perquè ja són
nombres primers.
El mínim comú múltiple és el producte de
comuns i no comuns al major exponent:
$$ m.c.m.(2,3) = 2\cdot 3 = 6 $$
Exercici 2
El mínim comú múltiple de 9 i 15 és...
Raonament:
Mostrar
Descomponem els nombres:
El mínim comú múltiple és:
Exercici 3
El mínim comú múltiple de 2, 3 i 4 és...
Raonament:
Mostrar
Descomponem els nombres:
El mínim comú múltiple és:
Exercici 4
El mínim comú múltiple de 4 i 8 és...
Raonament:
Mostrar
Descomponem els nombres:
El mínim comú múltiple és:
Exercici 5
El mínim comú múltiple de 2, 3 i 5 és...
Raonament:
Mostrar
Com que els tres nombres són primers, el seu m.c.m. és el producte:
Exercici 6
El mínim comú múltiple de 12 i 18 és...
Raonament:
Mostrar
Descomponem els nombres:
El mínim comú múltiple és:
Exercici 7
El mínim comú múltiple de 3, 27 i 81 és...
Raonament:
Mostrar
Descomponem els nombres:
Notem que els tres nombres són potències de 3, així doncs el seu mínim comú múltiple és la potència
de major exponent:
Exercici 8
El mínim comú múltiple de 10, 100 i 1000 és...
Raonament:
Mostrar
Descomponem els nombres:
Els tres nombres són potències de 10.
Per tant, el mínim comú múltiple és la potència que té major exponent:
Exercici 9
El mínim comú múltiple de 20 i 30 és...
Raonament:
Mostrar
Descomponem els nombres:
El mínim comú múltiple és:
Exercici 10
El mínim comú múltiple de 55 i 510 és...
Raonament:
Mostrar
El mínim comú múltiple és el que té major exponent:
$$ mcm(5^5, 5^{10}) = 5^{10} $$
Exercici 11
El mínim comú múltiple de dos nombres primers és...
|
|
1
|
|
|
El producte dels dos nombres primers.
|
|
|
El nombre primer major.
|
Exercici 12
El mínim comú múltiple és 1 quan...
|
|
Els dos nombres són primers.
|
|
|
Els dos nombres són iguals.
|
|
|
Els dos nombres són l'1.
|
Raonament:
Mostrar
Si els dos nombres són primers, el seu mcm és el seu producte.
Si els dos nombres són iguals, el seu mcm és aquest nombre.
Si els dos nombres són l'1, el seu mcm és l'1.
Exercici 13
El mínim comú múltiple de dos nombres...
|
|
És sempre parell.
|
|
|
No mai és un nombre primer perquè és un múltiple.
|
|
|
És divisible entre els dos nombres (dels quals és el mcm).
|
Raonament:
Mostrar
El mcm no té perquè ser parell. Per exemple, el mcm de 3 i 9 és 3 que és senar.
El mcm pot ser un nombre primer en el cas que els dos nombres són el mateix nombre primer. Per exemple, el mcm de 7 i 7 és 7.
El mcm és divisible entre els dos nombres ja que és un múltiple d' ambdós.
Exercici 14
Si el mínim comú múltiple de dos nombres és el 4...
|
|
Els dos nombres han de ser el 4.
|
|
|
Un dels nombres és el 2 i l'altre pot ser l'1, el 2 ó el 4.
|
|
|
Un dels nombres és el 4 i l'altre pot ser l'1, el 2 ó el 4.
|
Raonament:
Mostrar
La primera opció és falsa ja que el mcm de 1 i 4 és 4 i no són els dos el nombre 4.
La segona opció és falsa perquè si els nombres són l'1 i el 2, aleshores el seu mcm és 2 i no 4.
La tercera és vertadera ja que:
Per tant, la descomposició dels dos nombres ha d'estar en la descomposició del mcm:
Poden ser: 20, 21 ó 22.
A més, al menys un d'ells ha de ser 22.
Exercici 15
Si el mínim comú múltiple de dos nombres és el 10, aleshores...
|
|
Els dos nombres són parells.
|
|
|
Al menys un dels nombres és parell.
|
|
|
Cap dels nombres és parell.
|
Raonament:
Mostrar
El mcm és 10, que pot escriure's com 2·5.
Per tant, en la descomposició d'algun dels dos nombres ha d'aparèixer la potència de base 2.
Aleshores, aquest nombre és parell (ja que és un múltiple de 2).
Exercici 16
Calcular el menor nombre divisible per 12 i per 21.
Veure Solució
Si el nombre és divisible per 12 és perquè és múltiple de 12.
Si el nombre és divisible per 21 és perquè és múltiple de 21.
Per tant, el nombre ha de ser múltiple de 12 i de 21.
A més, ha de ser el menor dels múltiples comuns.
Per tant, estem cercant el mínim comú múltiple de 12 i 21.
Descomponem els nombres en nombres primers:
Per tant, el mcm és:
Exercici 17
Amir vol entregar les invitacions del seu aniversari
dins d'un sobre (en cada sobre una invitació).
A la botiga, les caixes d'invitacions contenen 15 unitats i les de sobres en contenen 25.
Calcular el nombre mínim de caixes de cada producte perquè hi hagi el mateix nombre d'invitacions i de sobres.
Veure Solució
Com que el nombre d'invitacions ha de ser el mateix que el de sobres,
aquest nombre ha de ser múltiple de 15 i de 20.
A més, el problema ens demana que aquest nombre sigui el mínim.
Per tant, hem de calcular el mínim comú múltiple de 15 i de 20.
Descomponem els nombres en nombres primers:
Per tant, el mcm és:
Com que en cada caixa d'invitacions hi ha 15 unitats i en volem 60, necessitem 4 caixes d'invitacions.
Com que en cada caixa de sobres hi ha 20 unitats i en volem 60, necessitem 3 caixes de sobres.
Per tant, Amir ha de comprar 4 caixes d'invitacions i 3 caixes de sobres.
Exercici 18
Calcular el nombre més petit perquè la seva divisió entre els nombres 11 i 23 tingui residu 2.
Veure Solució
El fet que ambdues divisions tinguin residu 2 significa que si
al nombre li restem 2, obtenim un múltiple d'11 i de 23.
Com que aquest nombre ha de ser el mínim, calculem el m.c.m. d'11 i 23.
El mínim comú múltiple d'11 i de 23 és el seu producte, pel fet que ambdós són nombres primers:
Ara bé, com que aquest és un nombre múltiple d'11 i 23, el residu de la
divisió és 0. Així doncs, hem de sumar-li 2:
El nombre cercat és el 255.
Matesfacil.com
by J. Llopis is licensed under a
Creative
Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.
