Teorema de Pitàgores

Contingut d'aquesta pàgina:

  • Breu introducció

  • Problemes resolts d'aplicació del Teorema de Pitàgores

  • Test sobre el teorema de Pitàgores


Introducció

Teorema: donat un triangle rectangle amb catets a i b i hipotenusa h (el costat oposat a l'angle recte). Aleshores,

teorema de Pitagoras

Recordem que:

  • el triangle és rectangle perquè té un angle recte, és a dir, un angle de 90 graus ó π / 2 radiants.

  • la hipotenusa és el costat oposat a l'angle recte

Nota: h sempre és major que els dos catets, és a dir, h > a i h > b.

El teorema de Pitàgores és un dels resultats més coneguts de les matemàtiques i també un dels més antics amb cents de demostracions.

La piràmide de Kefrén (segle XXVI a. C.) fou construïda en base a l'anomenat triangle sagrat egipci, que és el triangle rectangle de costats 3, 4 i 5.

La comprensió del teorema de Pitàgores és senzilla i té moltes aplicacions en la vida quotidiana, com veurem als problemes d'aquesta secció. Però, també té les seves aplicacions en les matemàtiques avançades (com en l'anàlisi vectorial i l'anàlisi funcional).


Problemes Resolts


Problema 1

Calcular la hipotenusa del triangle rectangle de costats 3cm i 4cm.

Veure solució


Problema 2

Si la hipotenusa d'un triangle rectangle mesura 2cm i un dels seus costats mesura 1cm, quant mesura l'altre costat?

Veure solució


Problema 3

Calcular la hipotenusa del triangle rectangle amb costats de longitud arrel quadrada de 2 i arrel quadrada de 3.

Veure solució


Problema 4 (dificultat alta)

Calcular l'altura del següent triangle sabent que els seus costats mesuren raíz cuadrada de 2, raíz cuadrada de 5 i la seva base 3.

problemas de pitagoras

Veure solució


Problema 5

Calcular el perímetre del següent rombe si sabem que les seves diagonals (altura i amplària) mesuren 16 i 12.

problemes de Pitàgores

Veure solució



Problema 6

Calcular l'altura a la que podem arribar amb una escala de 3 metres d'altura recolzada sobre la paret si la part inferior la situem a 70 centímetres de la paret.

problemes de Pitàgores

Veure solució


Problema 7 (dificultat alta)

Distàncies Sol-Terra-Lluna.

Suposem que la Lluna està en la fase del seu primer quart, la qual cosa significa que des de la Terra la veiem de la següent manera

problemes de Pitàgores

sent la meitat clara la que veiem, és a dir, la il·luminada pel Sol.

Sabem que la distància de la Terra a la Lluna és de 384100km i de la Terra al Sol és d'uns 150 milions de quilòmetres. Es vol calcular la distància de la Lluna al Sol en aquesta fase (considerar les distàncies des dels centres).

Plantejar el problema però no cal calcular el resultat.

Veure solució

Test

Tria l'opció correcta en totes les preguntes:

Pregunta 1

Un angle recte és...

Un angle de 45 graus.
Un angle de 90 graus.
Un angle de 180 graus.

Raonament:

Mostrar


Pregunta 2

Per poder aplicar el teorema de Pitàgores...

És necessari tenir un angle obtús.
És necessari tenir un angle recte.
És necessari tenir un triangle equilàter.
Totes les opcions anteriors són falses.

Raonament:

Mostrar



Pregunta 3

En un triangle rectangle de costats 1cm i 1dm, quant mesura la hipotenusa?

$$ \sqrt{101} \ cm $$

$$ \sqrt{202} \ cm $$

$$ \sqrt{101} \ dm $$

Totes les opcions anteriors són falses.

Raonament:

Mostrar


Pregunta 4

La diagonal d'un rectangle de costats 2cm i 4cm mesura...

(a) $$ \sqrt{20} \ cm $$
(b)$$ \sqrt{0,3} \ dm $$
Les opcions (a) i (b) són correctes.
Les opcions (a) i (b) són falses.

Raonament:

Mostrar


Pregunta 5

La diagonal d'un quadrat d'àrea 1cm2 mesura...

$$ 1\ cm $$
$$ 1\ dm $$
$$ \sqrt{2} \ cm $$
$$ \sqrt{3} \ dm $$

Raonament:

Mostrar


Pregunta 6

La següent figura està formada per dos rectangles (un és blau i l'altre és groc) i un triangle equilàter (tots els seus costats mesuren el mateix).

Teorema de Pitàgores: problemes resolts de la seva aplicació i test en línia

Sabem que un dels costats i la diagonal del rectangle blau mesuren:

Teorema de Pitàgores: problemes resolts de la seva aplicació i test en línia

Es vol calcular quant mesura la diagonal de l'altre rectangle (d) aplicant el teorema de Pitàgores.

No és possible calcular la diagonal amb les dades que coneixem.
És possible calcular-la i mesura 7.5cm.
És possible calcular-la i mesura 11cm.
Ninguna de les opcions anteriors és certa.

Raonament:

Mostrar


Pregunta 7

La següent figura està formada per quadrats de distintes mides, sent el nombre que hi ha en cadascun dels quadrats la longitud dels seus costats (són els primers termes de la sèrie de Fibonacci).

Teorema de Pitàgores: problemes resolts de la seva aplicació i test en línia

Es vol calcular la longitud de la corda de color vermell.

No es pot calcular la longitud amb les dades donades.
La longitud és $$20$$
La longitud és $$2\sqrt{20}$$
La longitud és $$20 \sqrt{2}$$

Raonament:

Mostrar


Pregunta 8

Volem calcular l'altura, h, d'un triangle equilàter de costat

$$ 2\sqrt{3} $$

La representació del triangle és

Teorema de Pitàgores: problemes resolts de la seva aplicació i test en línia

$$ h=1 $$
$$ h=2 $$
$$ h=3 $$
Totes les opcions anteriors són falses.

Raonament:

Mostrar


Pregunta 9

La següent figura

Teorema de Pitàgores: problemes resolts de la seva aplicació i test en línia

pot emprar-se per provar geomètricament el teorema de Pitàgores perquè...

L'àrea del quadrat morat és igual a l'àrea del triangle (color vermell).
La suma de les àrees dels quadrats morat i blau és igual a l'àrea del triangle (color vermell).
La suma de les àrees del triangle i del quadrat verd és igual a la suma de les àrees dels quadrats blau i morat.
La suma de les àrees dels quadrats verd i blau és igual a l'àrea del quadrat morat.

Raonament:

Mostrar


Pregunta 10

Els radis de les circumferències de la figura mesuren 1 i 2 metres

Teorema de Pitàgores: problemes resolts de la seva aplicació i test en línia

I el segment vermell que les uneix mesura

Teorema de Pitàgores: problemes resolts de la seva aplicació i test en línia

Es desitja calcular la distància, L, que hi ha entre els centres d'ambdues circumferències.

No podem calcular L, al menys aplicant Pitàgores, perquè les circumferències no tenen angles rectes.
La distància és L = 5 m.
La distància és L = 60 dm.
La distància és L = 0,5 cm.

Raonament:

Mostrar



Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.