logotip matesfacil

Successions, progressions o seqüències

Contingut d'aquesta pàgina:

  1. Breu introducció

  2. Recordatori de les fórmules de les successions aritmètiques i geomètriques

  3. 30 Problemes Resolts

1. Introducció

Sense ser massa rigorosos, podem definir una successió (o seqüència o progressió) com a un conjunt de nombres ordenats.

Per exemple, la successió dels nombres parells és 2, 4, 6, 8, 10...

A cadascun d'aquests nombres se'ls denomina terme de la successió. Escriurem \(a_1\) per referir-nos al primer terme, \(a_2\) per referir-nos al segon terme, \(a_3\) per referir-nos al tercer i, així, successivament.

Normalment, trobarem una fórmula general que permeti calcular el terme n-èsim sense necessitat de conèixer tots els termes que el precedeixen. Aquesta fórmula s'anomena terme general o terme \(n\)-èsim, \(a_n\).

Per exemple, el terme general de la successió dels nombres parells és

$$ a_n = 2\cdot n $$

Per exemple, per calcular el terme \(a_6\), substituïm \(n\) per 6 a la fòmula:

$$ a_6 = 2\cdot 6 = 12$$

Vegem els tipus de successions:

  • Pot ser finita o infinita, segons el nombre de termes que tingui.

  • Pot ser creixent si cada terme és major que el terme que li precedeix, és a dir, si

    $$ a_n \leq a_{n+1} $$

    O decreixent si cada terme és menor que el terme que li precedeix,

    $$ a_n \geq a_{n+1} $$

  • És aritmètica quan cada terme de la successió s'obté sumant un nombre (anomenat diferència) al terme que li precedeix. La diferència ha de ser constant en tota la successió i la denotem per \(d\).

    El terme general d'una succesió aritmètica amb diferència \(d\) és

    $$ a_{n+1} = a_{n} + d $$

  • És geomètrica quan cada terme de la successió s'obté mltiplicant per un nombre (anomenat raó) el terme que li precediex. La raó ha de ser constant en tota la successió i la denotem per \(r\).

    El terme general d'una successión geomètrica amb raó \(r\) és

    $$ a_{n+1} = a_n \cdot r $$

En aquesta pàgina resolem problemes de successions aritmètiques i geomètriques. Abans de començar, farem un recordatori de les fórmules d'aquestes successions.

2. fórmules bàsiques


Successió Aritmètica

És de la forma

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Diferència

Terme general

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Suma dels n primers termes

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Successió Geomètrica

És de la forma

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Raó

Terme general

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Suma dels n primers termes

Suma de tots els termes

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.


Una successió aritmètica és decreixent si \(d < 0\), creixent si \(d > 0\) i constant si \(d = 0\).

Una successió geomètrica amb primer terme positiu és decreixent si \( 0 < r < 1\) i és creixent si \( r > 1\). Si el primer terme és negatiu, és creixent si \( 0 < r < 1\) i decreixent si \( r > 1\). Independientement del primer terme, és constant si \( r = 1\) i és alternada si \( r\) és negativa (canvia el signe de cada terme).

3. Problemes resolts


Problema 1

En una seqüència aritmètica, sabem que el sext terme és 28 i que la diferència és 5. Calcular el terme general i els 5 primers termes.

Veure solució


Problema 2

En una seqüència geomètrica, sabem que el primer terme és 6 i el quart és 48. Calcular el terme general i la suma dels 5 primers termes.

Veure solució


Problema 3

Trobar el terme general de la successió

20, 19.3, 18.6, 17.9, …

És aritmètica o geomètrica? Trobar els termes desè (10), vintè (20) i trentè (30).

Veure solució


Problema 4

Trobar el terme general de la successió

0.5, 0.25, 0.125, 0.0625,...

És aritmètica o geomètrica? Calcular els termes n- èsims per als valors de n = 10, 100.

Es sap que la suma dels infinits termes d'aquesta successió és 1 (Problema 26). Raonar com és possible que la suma d'infinits termes positius no sigui infinita.

Veure solució


Problema 5

En una progressió aritmètica, sabem que el primer terme és 1 i la suma dels 10 primers termes és 63. Calcular el terme general.

Veure solució



Problema 6

En una seqüència aritmètica finita, el segon terme és -23 i l'últim és 32. Si es sap que hi ha 12 termes, calcular el terme general.

Veure solució


Problema 7

La suma de tres termes consecutius d'una successió aritmètica que té diferència 11 és 66. Trobar aquests termes.

Veure solució


Problema 8

La suma de n nombres naturals consecutius a partir de 55 (sense incloure'l) és 738. Trobar n.

Veure solució


Problema 9

La suma de 6 nombres imparells i consecutius és 120. Trobar aquests nombres.

Veure solució


Problema 10

Demostrar que en qualsevol successió geomètrica positiva, cada terme és l'arrel quadrada del producte del seu terme anterior pel seu terme següent. És a dir,

$$ a_n = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$$

Veure solució



Problema 11

Una progressió geomètrica comença en 1 i té raó 2. Trobar els tres termes consecutius (de la progressió) el producte dels quals és 512.

Veure solució


Problema 12

Trobar el terme general de la successió

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

És aritmètica o geomètrica?

Veure solució


Problema 13

Trobar el terme general de la successió

1, 4, 27, 256, 3125, ...

És aritmètica o geomètrica?

Veure solució


Problema 14

Trobar el terme general de la successió

1, -2, 4, -8, 16,...

És aritmètica o geomètrica?

Veure solució


Problema 15

Calcular la suma dels tres primers termes d'una successió geomètrica de raó 0.5 sabent que el seu producte és 1000.

Veure solució


Problema 16

Considereu la successió donada per recurrència

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Calcular els termes que siguin necessaris per poder deduir el seu terme general.

Veure solució


Problema 17

El sou d'un treballador és de 950€ mensuals i cada any s'incrementa en 50€ (cada mes). Calcular quants diners guanyarà en els 10 anys següents.

Veure solució


Problema 18

Calcular la suma de tots els nombres imparells compresos entre 100 i 200.

Veure solució


Problema 19

Demostrar que la suma dels n primers nombres imparells és n2.

Veure solució


Problema 20

En una seqüència geomètrica, la suma dels dos primers termes és 12 i la suma del primer i del tercero és 30. Trobar el terme general i calcular la suma dels cinc primers termes.

Veure solució


Problema 21

Calcular el valor del paràmetre a perquè els nombres a+2, 3a+2, 9a-2 siguin els tres primers termes d'una progressió geomètrica.

Veure solució


Problema 22

En un quadrat de costat 2, s'uneixen els punts mitjos dels seus costats per obtenir un quadrat inscrit. Es repiteix el procés successivament amb els quadrats obtinguts:

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Calcular la successió el terme n-èsim de la qual es correspon amb la longitud del costat del quadrat n-èsim. Quin tipus de successió és?

Veure solució


Problema 23

Calcular un nombre sabent que les seves cinc xifres estan col·locades en forma de seqüència aritmètica, que la suma de les cinc xifres és 20 i que la primera xifra és el doble de la tercera.

Veure solució


Problema 24

Calcular la suma dels múltiples de 13 compresos entre els nombres 500 i 7800 (inclosos).

Veure solució


Problema 25

Els dos primers termes d'una seqüència aritmètica són (a - b)2 i (a + b)2. Calcular la diferència i la suma dels 5 primers termes.

Veure solució


Problema 26

Demostrar que la suma infinita de la successió

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

és 1 amb l'ajuda del següent diagrama que representa un quadrat de costat 1.

Veure solució


Problema 27

Demostrar que la suma infinita de la seqüència geomètrica

és 1 amb l'ajuda del següent diagrama de quadrats de costat 1 en els que l'àrea groga del n-èsim quadrat val el mateix que el terme n-èsim de la seqüència.

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Veure solució


Problema 28

Segons una llegenda, un ric brahman ordenà al seu servent, Sisa, que pensés un joc per entretenir-se. Sisa li presentà el tauler d'escacs i el brahmán es quedà tan satisfet que li permeté escollir la seva recompensa. Axí, Sisa li demanà que li pagués amb un gra de blat pel primer caseller del tauler, dos grans pel segon, quatre grans pel tercer, huit grans pel quart, etc. fins arribar als 64 casellers.

Calcular la quantitat de grans de blat que hagué de pagar el brahman.

Veure solució


Problema 29

A les 9 del matí, una persona conta a tres amics un secret. Mitja hora després, cada un dels amics conta el secret a unes altres tres persones. Mitja hora més tard, cada una d'aquestes persones conta el secret a unes altres tres persones i, axí, successivament.

Calcular quantes persones saben el secret a les 9 de la nit suposant que cada persona conta el secret només a tres persones durant tot el dia i que ninguna persona recibeix la informació varies vegades.

Veure solució


Problema 30

Trobar el valor de n perquè es compleixi la igualtat

Introudcció a les successions (progressións o seqüències) aritmètiques i geomètriques i problemes resolts. En els problemes, calculem la diferència, la rao, la suma de termes, etc. Problemes per a secundària i per a batxillerat.

Veure solució




Successions o progressions aritmètiques i geomètriques: conceptes i problemes resolts - (c) - matesfacil.com

Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.