Successions, progressions o seqüències

Sense ser massa rigorosos, podem definir una successió (o seqüència o progressió) com a un conjunt de nombres ordenats.

Per exemple, la successió dels nombres parells és 2, 4, 6, 8, 10...

A cadascun d'aquests nombres se'ls denomina terme de la successió. Escriurem \(a_1\) per referir-nos al primer terme, \(a_2\) per referir-nos al segon terme, \(a_3\) per referir-nos al tercer i, així, successivament.

Normalment, trobarem una fórmula general que permeti calcular el terme n-èsim sense necessitat de conèixer tots els termes que el precedeixen. Aquesta fórmula s'anomena terme general o terme \(n\)-èsim, \(a_n\).

Per exemple, el terme general de la successió dels nombres parells és

$$ a_n = 2\cdot n $$

Per exemple, per calcular el terme \(a_6\), substituïm \(n\) per 6 a la fòmula:

$$ a_6 = 2\cdot 6 = 12$$

Vegem els tipus de successions:

• Pot ser finita o infinita, segons el nombre de termes que tingui.

• Pot ser creixent si cada terme és major que el terme que li precedeix, és a dir, si

  $$ a_n \leq a_{n+1} $$

  O decreixent si cada terme és menor que el terme que li precedeix,

  $$ a_n \geq a_{n+1} $$

• És aritmètica quan cada terme de la successió s'obté sumant un nombre (anomenat diferència) al terme que li precedeix. La diferència ha de ser constant en tota la successió i la denotem per \(d\).

  El terme general d'una succesió aritmètica amb diferència \(d\) és

  $$ a_{n+1} = a_{n} + d $$

• És geomètrica quan cada terme de la successió s'obté mltiplicant per un nombre (anomenat raó) el terme que li precediex. La raó ha de ser constant en tota la successió i la denotem per \(r\).

  El terme general d'una successión geomètrica amb raó \(r\) és

  $$ a_{n+1} = a_n \cdot r $$

En aquesta pàgina resolem problemes de successions aritmètiques i geomètriques. Abans de començar, farem un recordatori de les fórmules d'aquestes successions.

Una successió aritmètica és decreixent si \(d < 0\), creixent si \(d > 0\) i constant si \(d = 0\).

Una successió geomètrica amb primer terme positiu és decreixent si \( 0 < r < 1\) i és creixent si \( r > 1\). Si el primer terme és negatiu, és creixent si \( 0 < r < 1\) i decreixent si \( r > 1\). Independientement del primer terme, és constant si \( r = 1\) i és alternada si \( r\) és negativa (canvia el signe de cada terme).

Coneixem el terme 6-èsim i la diferència:

Volem calcular el terme general de la successió, \(a_n\), que sabem que és de la forma

$$ a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$$

Com que la diferència és \(d = 5\), tenim

Necessitem calcular el primer terme de la successió, \(a_1\). Per a això, apliquem la fórmula per al cas \( n = 6\) ja que sabem que \( a_6 = 28\). Substituïm en la fórmula:

Per tant, el terme general de la successió aritmètica és

Els cinc primers termes són

Nota: hem calculat els termes aplicant el terme general però, una vegeda sabem que el primer terme és 3 i que la diferència és 5, també podem obtenir els termes sumant 5:

\( a_ 1 = 3\)

\( a_ 2 = 3 + 5 = 8\)

\( a_ 3 = 8 + 5 = 13\)

\( a_ 4 = 13 + 5 = 18\)

\( a_ 5 = 18 + 5 = 23\)

Coneixem el primer i el quart terme:

Com que la seqüència és geomètrica, el seu terme general és de la forma

D'aquesta fórmula coneixem el terme \(a_1\) però, no coneixem la raó, \(r\). Per calcular-la, apliquem la fórmula per al cas \(n=4\) perquè sabem que \( a_4 = 48\):

Per tant, la raó és \(r = 2\) i el terme general és

Per calcular la suma dels 5 primers termes, apliquem la fórmula. Necessitarem calcular el terme \(a_5\):

Si la successió és aritmètica, aleshores la diferència entre dos termes consecutius sempre és la mateixa.

Cerquem la diferència restant termes consecutius:

Es tracta d'una successió aritmètica amb diferència d = -0.7 (és una successió decreixent, d < 0). Per tant, el terme general és

Aplicant la fórmula, podem calcular els terms desè, vintè i trentè:

Cerquem la diferència restant termes consecutius:

Com que les diferències no coincideixen, la successió no és aritmètica.

Cerquem la raó dividint termes consecutius:

Es tracta d'una successió geomètrica amb raó r = 0.5 (decreixent ja que r < 1).

Com que coneixem el primer terme i la raó, podem obtenir el terme general:

Llavors, podem calcular els termes 10-èsim i 100-èsim:

Observem que els termes de la successió són molt menuts: el desè té tres zeros després de la coma i el centè en té trenta.

Encara que els termes de la successió siguin positius, són cada vegada més menuts i molt propers a 0. Per això, al sumar-los, a penes augmenta el valor, fins i tot, encara que en sumem infinits.

Coneixem el primer terme i la suma dels deu primers termes:

Utilitzarem les fórmules del terme general i de la suma (d'una seqüència aritmètica) per poder calcular la diferència, \(d\). Aquestes fórmules són:

Hem escrit en les fórmules el primer terme \(a_1 = 1\).

Substituïm les dades conegudes:

Podem substituir \( a_{10}\) en la primera fórmula:

De l'equació resultant obtenim d:

Llavors, la diferència és \(d = 53/45\) i el terme general és

Coneixem el segon terme i el 12-èsim:

El fet que la successió sigui finita no canvia a l'hora de trobar el seu terme general.

Per ser aritmètica, sabem que el terme general de la seqüència és de la forma

Amb les dades que tenim, podem construir un sistema d'equacions per calcular el primer terme i la diferència:

Resolem el sistema pel mètode d'igualació:

Per tant, el terme general és

Nota: hem indicat els valors que pot ser n per fer notar que la successió és finita.

Els nombres són

És a dir, tenim una equació de primer grau:

Llavors, els tres nombres són 11, 22 i 33.

L'equació la podem expressar en termes d'una seqüència com

És a dir, com la suma dels tres primers termes d'una seqüència de terme general

El problema diu que

Hem de calcular \(n\), que és el nombre de sumands que hi ha a l'esquerra de la igualtat.

Podem expressar l'equació d'abans com

És a dir,

En realitat, l'interior del parèntesi és la suma dels n primers termes d'una seqüència aritmètica amb diferència 1 i amb primer terme igual a 1, és a dir,

Per tant, podem reescriuire l'equació como

Tenim, aleshores, una equació de segon grau amb les solucions n = -123 i n = 12. Com que n representa la quantitat de sumands, ha de ser un nombre natural (un enter positiu), de manera que ha de ser n = 12.

Un nombre imparell és de la forma

Per tant, cerquem el k que compleix

Simplificant,

L'interior del parèntesi és la suma dels 6 primers termes d'una successió aritmètica de diferència 2 i que comença en 1, és a dir,

Per tant,

Els nombres són 15, 17, 19, 21, 23, 25.

El terme general d'una successió geomètrica és

I volem demostrar que

Per demostrar-ho, calculem \(a_{n-1}\) i \(a_{n+1}\) emprant el terme general:

$$a_{n-1} = a_1 r^{n-1-1} = a_1 r^{n-2} $$

$$a_{n+1} = a_1 r^{n+1-1} = a_1 r^{n} $$

Substituint en el radicant, estarà demostrat al obtenir que l'arrel és el terme \(a_n\):

Observacions:

1. Hem aplicat les propietats de les potèncias per a simplificar.

2. L'exigència de que la successió sigui positiva és perquè, d'aquesta manera, l'arrel quadrada de \(a_1^2\) és \(a_1\) i no el seu valor absolut.

3. Com que la successió és positiva, la seua raó també ho és. Per això, tampoc escrivim el valor absolut al simplificar l'arrel de \( r^{2(n-1)}\).

El terme general de la progressió és

No sabem la posició que ocupen els tres termes però, sí que sabem que són consecutius. Per tant, si el primer d'aquests és \(a_n\), els altres dos són \(a_{n+1}\) i \(a_{n+2}\).

Aleshores, emprant el terme general, el producte dels termes és

Llavors, els termes són el tercer, el quart i el cinquè: 4, 8, 16.

Comprovem si és aritmètica restant termes consecutius:

No ho és ja que les diferències no coincideixen.

Comprovem si és geomètrica dividint termes consecutius:

No ho és ja que la raó no és la mateixa.

Llavors, la seqüència no és ni aritmètica ni geomètrica. Hem de deduir pel nostre compte quin és el terme general.

El primer que fem és fixar-nos en la rel·lació que hi ha entre la posició de cada terme i seu valor:

Per tant, deduïm que el terme general és

No és una seqüència aritmètica ni geomètrica.

En aquesta successió no podem utilitzar la fórmula que coneixem per sumar \(n\) termes.

Comprovem si és aritmètica:

No ho és. Comprovem si és geomètrica:

No ho és. Ens fixem en la rel·lació que hi ha entre la posició de cada terme i el seu valor:

Per tant, deduïm que el terme general és

No és una seqüència aritmètica ni geomètrica.

Comprovem si és aritmètica:

No ho és. Comprovem si és geomètrica:

Per tant, és geomètrica amb raó r = -2 i, per tant, el seu terme general és

Com que la raó és negativa, la successió és alternada. Açò implica que cada terme té un signe distint. En aquesta successió en particular, els termes de posició parella són negatius i els altres són positius.

Com que la successió és geomètrica i coneixem la raó, podem calcular el terme general:

$$ a_n = a_1\cdot 0.5^{n-1} $$

Sabem que el producte dels tres primers termes és 1000. Matemàticament,

$$ a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 1000 $$

Substituïm \(a_1\), \(a_2\) i \(a_3\) de la expressió anterior pel terme general amb \(n=1\), \(n=2\) i \(n=3\), respectivament:

$$ 1000 = a_1\cdot (a_1 \cdot 0.5)\cdot (a_1\cdot 0.5^2) $$

Amb el que obtenim l'equació

$$ 1000 = a_1 ^3 \cdot 0.5^3$$

Aquesta equació ens proporciona el primer terme:

Per tant, la successió és 20, 10, 5,... i la suma dels tres primers termes és 35.

Aplicarem la fórmula donada per calcular, un a un, els primers termes de la successió:

Llavors, la successió és

$$1, 3, 5, 7, 9, 11,...$$

És a dir, és la successió dels nombres imparells.

Per tant, el seu terme general és

Es tracta d'una successió aritmètica de diferència d = 2.

Nota: al expressar la successió per recurrència, per calcular el terme \(n+1\)-èsim es necessita calcular prèviament tots els termes que li precedeixen: per calcular \(a_{n+1}\) fan falta \(a_{n}\) i \(a_{n-1}\) però, per calcular \(a_{n}\) fan halta \(a_{n-1}\) i \(a_{n-2}\) i, així, successivament fins arribar a \(a_1\). No ocurreix el mateix si es coneix el terme general.

Construïm una successió tal que el terme n-èsim és el sou mensual en el any n-èsim:

En el primer any, el sou mensual és de 950. En el segon any, el sou mensual és de 1000. En el tercero, és de 1050. Llavors, la successió és

Es tracta d'una seqüència aritmètica amb diferència d = 50.

En total, en l'any n-èsim el sou és 12·a_n perquè hi ha 12 mesos en un any i cada terme representa el sou mensual. Per tant, s'ha de multiplicar per 12 la suma dels 10 primers termes:

En 10 anys, la xifra ascendeix a 12·11750 = 141000€.

Construimos la seqüència formada per dichos nombres:

hemos usado k porque no sabem qué posición ocupa l'últim terme. és una seqüència aritmètica amb diferència d = 2 i con terme general

Cerquem la posición de l'últim terme:

Resolvem l'equació i obtenim k = 50.

Per tant, la suma será

Considerem la successió dels nombres imparells

És una successió aritmètica amb diferència d = 2. Volem calcular la suma dels n primers termes, és a dir,

Com que la seqüència és aritmètica, el terme general és

Tenim les dades

Resolem el sistema d'equacions obtenint el primer terme i la diferència:

Llavors, el terme general és

I la suma dels cinc primers és

Per a que formen una seqüència geomètrica de raó r s'ha de complir

Com que la raó ha de ser constant, igualem ambdues expressions i obtenim el paràmetre a:

La progressió és

4, 8, 16,…

I té raó r = 2.

Utilitzarem el teorema de Pitàgores (\(h^2 = a^2+b^2\)) per a calcular els costats.

El costat del quadrat inicial mesura 2.

El costat del primer quadrat mesura

El costat del segon quadrat mesura

El costat del tercer quadrat mesura

El costat del quart quadrat mesura

Tenim la successió

És una successió geomètrica ja que la raó entre termes consecutius es manté constant:

Per tant, el terme general és

Representam el nombre com

El terme general de la successió que proporciona les cifras és:

De la suma de totes les xifres i de la rel·lació existent entre la primera i la tercera xifra obtenim les següents equacions:

Tenim el sistema d'equacions següent:

la solució del qual és

La successió és

8,6,4,2,0,…

I, per tant, el nombre cercat és x = 86420.

Considerem la progressió aritmètica formada pels múltiples de 13:

Cerquem el primer terme que sigui major o igual que 500, és a dir,

Per tant, el primer múltiple de 13 i major o igual que 500 és

Ara cerquem l'últim múltiple de 13, que de complir

És a dir, és el terme

Calculem la suma

on hem emprat la fórmula de la suma de progressions aritmètiques i 562 és el nombre de termes que hem sumat.

Com que formen part d'una seqüència aritmètica, si la diferència és d, sabem que el segon terme és

Desenvolupem els quadrats i calculem la diferència d:

El terme general és

La suma dels 5 primers termes és

Calculem els primers termes de la successió:

Com que el costat del quadrat és 1, la seua àrea és 1. Llavors, l'àrea de la meitat del quadrat és 1/2. L'àrea de la meitat d'aquesta meitat és 1/4 i, així, successivament:

És a dir, les àrees dels quadrats o rectangules que s'obtenen al dividir per la meitat són els termes de la successió. Repetint el procés infinitament, haurem recobert el quadrat per complet (aquest és d'àrea 1). Per tant, la suma de tots els termes de la successió és 1. Així,

El área total del quadrat és 1. Per tant, l'àrea groga del primer quadrat és

ja que el costat dels quatre quadrats és 1/2.

En el segon quadrat, el costat dels quatre quadrats menuts és la meitat del costat dels quatre quadrats grans, És a dir, 1/4. Per tant, l'àrea groga és

En el tercer quadrat, el costat dels quatre quadrats menuts és la meitat del costat dels quatre quadrats mitjans, és a dir, 1/8. Per tant, l'àrea groga és

D'aquesta manera, si sumem tots els termes de la successió tindrem l'àrea total del quadrat, que és 1. Així,

El nombre de grans en cada casiller correspon amb els termes de la seqüència geomètrica

Volem calcular la suma dels 64 primers termes. Com que la raó és r = 2 i l'últim terme és \(a_{64}\),

Construïm una successió en la que cada terme será el nombre de persones noves que coneixen el secret:

És una successió geomètrica de raó r = 3. Cada mitja hora s'estén el secret i el temps total són 12 hores, és a dir, 24 mitges hores. Aleshores, volem calcular la suma dels 24 primers termes:

És a dir, el secret el conexeria tothom ja que al món hi ha un poc més de 7.300 milions de persones (xifra del 2015).

Considerem la seqüència geomètrica de raó 2 i amb primer terme 1. El seu terme general és

Cerquem n tal que

Com que la raó és r = 2,

Finalment, resolvem l'equació exponencial