Conjunto de Mandelbrot

Llamaremos al Conjunto de Mandelbrot, definido por

O, dicho de otro modo,

Es decir, el punto c está en si los módulos de la sucesión que genera (definida anteriormente) está acotada.

En la imagen, el conjunto de Mandelbrot es la región coloreada de azul. Los otros puntos corresponden a puntos c que no están en , pero se colorean según la rapidez con la que los módulos de las sucesiones divergen.

En esta página vamos a demostrar que podemos definir el conjunto de Mandelbrot como

Es decir, el conjunto de Mandelbrot está formado exactamente por todos los puntos cuyas sucesiones tienen módulo menor o igual que 2.

También, escribiremos una función en MatLab para poder graficar los conjuntos de Mandelbrot.

Y para terminar, hablaremos sobre los Conjuntos Multibrot, que son una generalización del de Mandelbrot.

Ahora vamos a ver un ejemplo de un punto c que está en y otro que no lo está.

Utilizaremos MatLab para calcular las iteraciones:

Escribimos z(n) para referirnos a z_n y c0 y z1 para referirnos a c y a z₀ (no podemos usar el índice n = 0), respectivamente.

Calculamos los primeros 40 términos (y su módulo) de la sucesión que genera el punto

Nota: aproximadamente, a partir de la iteración n = 4 se repite la secuencia 0.1, 0.6, 0.8 y 0.7 en los módulos.

En efecto, la representación de los puntos es

Podemos intuir que los módulos de todos los términos de la sucesión están acotados y, por tanto, c es un punto del conjunto de Mandelbrot.

Sin embargo, no ocurre lo mismo cuando tomamos el punto

Los 5 primeros términos de la sucesión (y sus módulos) son

Casi con toda seguridad, el punto c = 0.95 + 1.75i no está en el conjunto de Mandelbrot (realmente, no lo está por tener módulos mayores que 2).

A continuación probaremos una propiedad tan importante del conjunto de Mandelbrot que puede usarse como su definición:

Para poder demostrar que esta definición es equivalente a las anteriores, necesitaremos dos definiciones y dos lemas previos:

Al aplicar esta definición, podemos reescribir la definición del conjunto de Mandelbrot como

Vamos a escribir una función en MatLab para representar el conjunto de Mandelbrot.

El funcionamiento de la función es:

1. Definimos una matriz, [x,y], que será una rejilla del plano complejo. Es decir, la matriz contiene, de forma ordenada, puntos del plano. Estos puntos serán los puntos c que queremos saber si son o no del conjunto de Mandelbrot.

2. Definimos una matriz z que contiene, para cada iteración, los términos z_n que generaran cada uno de los puntos c de la matriz [x,y].

3. Definimos la matriz m que contiene el menor número de iteraciones, n, necesarias para que el módulo del término z_n (de cada elemento de la matriz z) sea mayor que 2.

   Si no se alcanza en un número de iteraciones estipulado (iter), entonces se le da el valor 0 (estos puntos son los que pertenecen al conjunto de Mandelbrot).

   La matriz m nos permite saber qué números c divergen más o menos rápido.

4. Representamos la matriz m y la coloreamos en una escala de colores. Los puntos que divergen rápidamente, tendrán un color más claro. Los que no divergen, tendrán un color oscuro.

1   function Mandelbrot(n, iter)
2   % n es el número de particiones
3   % x_a (x_b) es el extremo inferior (superior)
4   % para la parte real
5   % y_a (y_b) es el extremo inferior (superior)
6   % para la parte imaginaria
7   % iter es el número de iteraciones
8   xa = -2.5;   xb = 1.5;
9   ya = -2; yb = 1.5;
10  v=linspace(xa, xb, n);
11  w=linspace(ya, yb, n);
12  [x,y] = meshgrid(v, w);
13  c = x + 1i * y;
14  z = zeros(size(c));
15  m=z;
16  for p = 1:1:iter
17    z = z.^2 + c;
18    m(abs(z) > 2 & m == 0) = iter - p;
19  end
20  figure
21  imagesc(m)

Veamos algunos ejemplos: