Sistema de Funciones Iteradas:Fractales Autosemejantes |
Contenido de esta página:
Definiciones y teoremas previos
Construcción de fractales autosemejantes:
Definición 1
Decimos que la aplicación
$$ f: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^n} $$
es una semejanza si existe un real positivo k tal que para cualquier par de puntos
$$ x,y \in \mathbb{R^n} $$
se cumple que la distancia entre las imágenes de dichos puntos es
$$ d(f(x),f(y)) = k\cdot d(x,y) $$
El número k se denomina razón o factor de semejanza de f y si es menor que 1, k < 1, entonces se dice que la semejanza f es contractiva.
Definición 2 (teorema)
Sea (X,d) un espacio métrico y sea la contracción
$$ f:(X,d) \rightarrow (X,d) $$
Entonces, existe un único punto x de X, al que llamamos atractor de f, que cumple
$$f(x) = x $$
Nota: la existencia del atractor se justifica con el Teorema del Punto Fijo de Banach.
Definición 3 (teorema)
El espacio métrico
$$(K( \mathbb{R^n}), d_H)$$
es completo, siendo
$$ K ( \mathbb{R^n}) := \{ K \subseteq \mathbb{R^n}\ |\ K \neq \emptyset, \ K\ compacto \} $$
Y dh la distancia de Hausdorff.
Nota: omitimos la demostración de que el espacio anterior es métrico y de que, además, es completo (Teorema de Selección de Blaschke).
El gran resultado que nos permitirá definir los fractales autosemejantes es el siguiente:
Sea el sistema de semejanzas contractivas
$$\{ f_1, …, f_m \}$$
siendo las aplicaciones
$$ f_i: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^n} $$
con razones de semejanza
$$ 0< r_i < 1 $$
Entonces, existe un único compacto
$$ K \in K(\mathbb{R^n}) $$
que cumple
$$ K = f_1(K) \cup f_2(K) \cup...\cup f_m(K) $$
Observaciones:
De la propia demostración del Teorema del Punto Fijo de Banach se desprende que para cualquier punto x del espacio X, la sucesión xi construida por la composición de la contracción H consigo misma,
$$ x_i = H^i(x),\ i\in \mathbb{N} $$
converge al atractor de H.
Definición 4
Sea el conjunto de aplicaciones contractivas
$$ \{ f_1,…,f_m \}$$
siendo
$$ f_i: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^n} $$
con factores de contractividad 0 < ri < 1.
Entonces decimos que es un sistema de funciones iteradas (SFI) con razón de contractividad
$$ r = sup \{ r_i\ |\ i=1,...,m \} $$
Con las definiciones y teoremas anteriores ya podemos definir los fractaes autosemejantes:
Dado el SFI de la definición 4, llamamos fractal autosemejante al atractor K (K es compacto) del SFI.
Observaciones:
Según las observaciones del teorema 1, el atractor K (el fractal) lo podemos obtener como el límite de la sucesión
$$ K_i = H^i (K_0),\ i=1,2,3… $$
siendo K0 un compacto cualquiera del espacio y H la aplicación contractiva definida en el teorema 1:
$$ H(K_0) = f_1 (K_0) \cup ...\cup f_m(K_0) $$
El resto de la página lo dedicamos a ver ejemplos de fractales autosemejantes.
En cada uno de los fractales buscaremos el sistema de iteradas contractivas que lo definen. Consideramos un compacto inicial y calcularemos la sucesión de compactos que genera para obtener aproximaciones del atractor del sistema.
Empezamos con un fractal sencillo y famoso:
(Sierpinski Carpet)
(Sierpinski Triangle, Sierpinski Gasket, Sierpinski Sieve)
Matesfacil.com
by J. Llopis is licensed under a
Creative
Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.