Ecuaciones en Diferencias Finitas Resueltas
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Contenido de esta página:
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Introducción
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Tabla de Soluciones Particulares
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Recordemos que... Definición de EDF, EDFH, Solución y Polinomio Característico
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Resolución de EDF's de primer y segundo orden
Enlace: Teoría sobre EDF's
Introducción
En esta sección resolveremos ecuaciones en diferencias finitas (EDF) de primer y segundo orden no homogéneas.
Al igual que en otros tipos de ecuaciones, como las ecuaciones diferenciales, la solución de una EDF no homogénea es la suma de la solución de la homogénea y de una solución particular:
x = xh + xp
Tanto en las de primer y segundo orden, para obtener la solución de la homogénea calcularemos el polinomio característico de la EDF. En el caso de las de segundo orden, éste será un polinomio
de segundo orden, con lo que tendremos dos soluciones y habrá que distinguir los casos en que son reales distintas, real de multiplicidad doble o complejas.
Obviaremos el método o algoritmo para resolver las EDFs, que es extenso y podemos encontrar aquí, y sólo mostramos una tabla con las soluciones particulares típicas (la primera columna es el término independiente y la segunda la solución particular).
Soluciones Particulares
Recordemos que...
Una EDF (ecuación en diferencias finitas) de orden k es
y diremos que una sucesión
es solución si verifica la EDF, esto es, si
Diremos que la EDF es homogenia (EDFH) si
Definimos el polinomio característico de una EDF como
Finalmente, comentamos que una de las aplicaciones de las EDF es el estudio de la evolución de las
variables temporales en Economía cuando se considera al tiempo como una variable discreta.
Podemos encontrar más información sobre su utilidad y orígenes en el siguiente artículo de
la Revista de métodos cuantitativos para la Economía y la Empresa que podemos
encontrar en este enlace.
EDF's Resueltas
Ejercicios resueltos (click para ver solución) |
1 |
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SOLUCIÓN |
Primero resolvemos la EDFH
que tiene el polinomio característico
Tenemos la solución
Ahora resolvemos la EDF completa:
Buscamos una solución particular teniendo en cuenta el término independiente:
Planteamos la solución particular
Sustituimos en la EDF
Por tanto, tenemos la solución
La solución general de la EDF es la suma de la solución de la EDFH i la particular de la completa, es decir,
Finalmente, con la condición de valor inicial obtenemos la constante que nos queda:
Por tanto, la solución es
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SOLUCIÓN |
Primero resolvemos la EDFH
que tiene el polinomio característico
Por tanto, la solución de la homogenia es
Ahora buscamos una solución particular de la EDF completa:
Por la forma del término independiente, planteamos la solución
Sustituimos en la EDF
Puesto que no es viable, planteamos la solución
Sustituimos en la EDF
Tenemos la solución particular
La solución general es
Aplicamos la condición inicial:
Por tanto, la solución es
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3 |
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SOLUCIÓN |
Resolvemos la EDFH
que tiene el polinomio característico
y nos proporciona la solución
Ahora resolvemos la EDF completa. Por el término independiente,
planteamos la solución particular
donde p(n) es un polinomio de grado 1, es decir,
Sustituimos en la EDF
Puesto que esto no es viable, utilizamos un polinomio de grado 2
Sustituimos en la EDF
Igualando coeficientes
No hay condiciones sobre k2.
Aplicamos la condición inicial
Por tanto, la solución de la EDF es
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SOLUCIÓN |
Resolvemos la EDFH
que tiene el polinomio característico
y nos proporciona la solución de a EDFH
Ahora resolvemos la completa. Teniendo en cuenta la forma del término independiente
Planteamos la solución particular
Sustituimos en la EDF
Esto no es viable. Puesto que en la solución de la homogenia tenemos un monomio de grado 0, probamos con uno de segundo grado:
Sustituimos en la EDF
Igualando coeficientes, obtenemos el sistema
con lo que la solución particular es
Por tanto, la solución general es
Aplicamos la condición inicial
Y tenemos la solución
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Ejercicios resueltos (click para ver solución) |
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SOLUCIÓN |
Resolvemos la EDFH
que tiene el polinomio característico
Al ser raíces simples y reales sabemos que la solución de la homogenia es
Ahora resolvemos la EDF completa. Teniendo en cuenta la forma del término independiente, planteamos la solución particular
Sustituimos en la EDF
Por tanto, tenemos la solución particular
Con lo que tenemos la solución general
Aplicamos la condición inicial:
y obtenemos el sistema
Finalmente, la solución de la EDF es
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SOLUCIÓN |
Resolvemos la EDFH
con polinomio característico
puesto que las raíces son reales y simples, sabemos que la solución de la EDFH
Ahora resolvemos la EDF completa. Por la forma del término independiente, planteamos la solución
Sustituimos en la EDF
Puesto que esto no es viable, proponemos la solución
Sustituimos en la EDF
Por tanto, tenemos la solución particular
y, la solución general
Aplicamos la condición inicial
obteniendo el sistema
Finalmente, la solución de la EDF es
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SOLUCIÓN |
El polinomio característico de la EDF (que es homogenia) es
Puesto que las raíces son reales y simples, la solución es
Aplicamos la condición inicial
Obteniendo el sistema
Con lo que la solución de la EDF es
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SOLUCIÓN |
El polinomio característico es
Como solo hay una raíz real y doble, sabemos que una solución es
y que también lo es
Por tanto, tenemos la solución general
Aplicamos la condición inicial
Con lo que la solución es
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SOLUCIÓN |
Resolvemos la EDFH
con polinomio característico
como las raíces son reales y simples, sabemos que la solución general de la homogenia es
Ahora buscamos una solución particular de la no homogenia.
Por la forma del término independiente,
proponemos la solución particular
Sustituimos en la EDF
Por tanto, tenemos la solución general
Aplicamos las condiciones iniciales
La solución del sistema es
Finalmente, la solución de la EDF es
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