Ecuaciones en Diferencias Finitas: Teoría |
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Introducción
Definición de Ecuación en Diferencias Finitas
Soluciones de una EDF homogénea de primer orden
Soluciones de una EDF homogénea de segundo orden
Soluciones de una EDFH de orden k
Soluciones de una EDF no homogénea
1. Introducción
Las ecuaciones en diferencias finitas (EDF) son ecuaciones cuyas incógnitas son sucesiones, es decir, es una relación que cumplen los términos de una o varias sucesiones, con lo que su solución serán sucesiones. En esta sección mostramos un método para obtener las soluciones de una EDF, haciendo hincapié en las de primer y segundo orden.
Enlace: EDF resueltas.
Veremos que, al igual que ocurre en otro tipo de ecuaciones (como las EDP), tendremos que resolver primero la ecuación homogénea. Luego, a esta solución le sumamos una solución particular y obtendremos la solución de la ecuación completa (la no homogénea). Para las soluciones particulares, más difíciles de obtener, usaremos directamente una tabla de éstas en función del término independiente.
Respecto a sus aplicaciones, una de ellas es el estudio de la evolución de las variables temporales en Economía cuando se considera al tiempo como una variable discreta. Podemos encontrar más información sobre su utilidad y orígenes en el siguiente artículo de la Revista de métodos cuantitativos para la Economía y la Empresa que podemos encontrar en este enlace (PDF).
2. Definición de Ecuación en Diferencias Finitas
Llamamos EDF de orden k a la expresión
y diremos que la sucesión
es una solución si verifica la EDF, es decir, si
Se dice que la ecuación es homogénea (EDFH) si el término independiente es 0, esto es,
Se define el polinomio característico de la EDF
3. Soluciones de una EDF homogénea de primer orden
Una EDFH de primer orden es de la forma
cuyo polinomio característico es
que tiene la única raíz
Veamos que la sucesión
Es una solución de la EDF para todo k. Sustituyendo la sucesión en la EDF obtenemos
Llamamos solución general a la solución
4. Soluciones de una EDF homogénea de segundo orden
Una EDFH de segundo orden es
cuyo polinomio característico es
que es un polinomio de segundo grado. Distinguimos los siguientes casos:
- Dos raíces reales distintas
Las sucesiones
son soluciones de la EDF y, por tanto, su suma también. En efecto,
La solución general de la EDFH es
- Una raíz real de multiplicidad doble
Análogamente al caso anterior se prueba que la siguiente sucesión es una solución de la EDF.
Ahora veamos que la sucesión
es solución y, por tanto, la suma de ambas también
donde hemos usado que
ya que
La solución general de la EDFH de segundo orden es
- Dos raíces complejas
La sucesión
es solución de la EDFH, donde
5. Soluciones de una EDFH de orden k
La EDFH es de la forma
Si las raíces del polinomio característico son simples
Tenemos que
Forman una base del espacio de soluciones.
Si la multiplicidad de alguna raíz r es m>1, entonces
son soluciones de la EDF.
6. Soluciones de una EDF no homogénea
Tenemos la EDF
Supongamos que tenemos una solución de la EDFH
y una solución particular
es fácil demostrar que
también es solución.
La solución general de la EDF es
Pero encontrar una solución particular no es una tarea sencilla, nos puede ayudar la siguiente tabla:
Podemos encontrar EDF resueltas en este enlace.
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