Valor Absoluto e Inecuaciones
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Introducción
El valor absoluto de un número a,
representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo).
Por ejemplo,
![ejemplos de valores absolutos: de -1, de -3, de 0, de 2.9 y de -1/5 valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-1.png)
Notemos que:
si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir, con
signo positivo);
si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.
Definición de la función Valor Absoluto
Ver Definición
Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable)
de los reales en los reales:
![definición matemática de la función valor absoluto en los reales valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-2.png)
y se define como una función a trozos:
![definición matemática de la función valor absoluto como función a trozos valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-4.png)
Esta función es continua en los reales y derivable en
![reales menos 0 valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-3.png)
La gráfica de la función es:
![gráfica de la función valor absoluto en los reales valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/grafica-valor-absoluto.png)
Notemos que en los reales negativos la gráfica es la de y = - x y en los positivos es la de
y = x.
Propiedades del Valor Absoluto
Ver Propiedades
El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su argumento es 0:
![El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su argumento es 0 valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-5.png)
El valor absoluto de un producto es el
producto de los valores absolutos de los factores:
![El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de los factores valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-6.png)
Valor absoluto de la suma:
![valor absoluto de la suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-7.png)
Propiedad importante: si tenemos la desigualdad (menor o igual)
![|x|<=a valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-8.png)
podemos escribir
![-a<=x<=a valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-9.png)
que es lo mismo que decir
![-a<=x y x<=a valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-10.png)
(tienen que cumplirse ambas relaciones).
Dicho en forma de intervalos:
![-x en el intervalo [-a,a] valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-11.png)
Si la desigualdad es (mayor o igual)
![|x|>=a valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-12.png)
podemos escribir
![x<=-b ó b<=x valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-13.png)
(es una unión: tiene que cumplirse una de las dos).
Dicho en forma de intervalos:
![x en el intervalo ]-infinito, -b] unión [b,+infinito[ valor absoluto e inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-14.png)
Inecuaciones Resueltas
Antes de empezar, diremos que en todos los problemas usaremos
la cuarta propiedad del apartado "Propiedades del Valor Absoluto".
Inecuación 1
![inecuación: |x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine1.png)
Ver solución
Escribimos la inecuación como
![resolviendo la inecuación: |x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine1-1.png)
Por tanto, la solución es
![resolviendo la inecuación: |x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine1-2.png)
Inecuación 2
![inecuación: |x|<1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine2.png)
Ver solución
Escribimos la inecuación como
![resolviendo la inecuación: |x|<1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine2-1.png)
Por tanto, la solución es
![resolviendo la inecuación: |x|<1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine2-2.png)
O bien, con la notación de paréntesis,
![resolviendo la inecuación: |x|<1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine2-3.png)
En cualquier caso, los extremos del intervalo son abiertos
(porque la desigualdad es estricta).
Inecuación 3
![inecuación: |x|<-1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine3.png)
Ver solución
Esta inecuación no tiene solución ya que el
valor absoluto de un número siempre mayor o igual que 0.
Inecuación 4
![inecuación: |x|>=0 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine4.png)
Ver solución
La solución es todos los reales:
![todos los reales resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine4-1.png)
ya que el valor absoluto siempre es mayor o igual que 0.
Inecuación 5
![inecuación: |x|>=1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine5.png)
Ver solución
Tiene que cumplirse una de las siguientes relaciones:
![resolviendo la inecuación: |x|>=1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine5-1.png)
Por tanto, la solución es
![resolviendo la inecuación: |x|>=1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine5-2.png)
Inecuación 6
![inecuación: |x-1|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine6.png)
Ver solución
Podemos escribir la inecuación como
![resolviendo la inecuación: |x-1|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine6-1.png)
Tenemos que resolver las dos inecuaciones.
Podemos hacerlo al mismo tiempo:
Sumamos 1:
![resolviendo la inecuación: |x-1|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine6-2.png)
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:
![resolviendo la inecuación: |x-1|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine6-3.png)
De ambas formas obtenemos la misma solución:
![resolviendo la inecuación: |x-1|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine6-4.png)
Inecuación 7
![inecuación: |x+1|>=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine7.png)
Ver solución
Tenemos las dos inecuaciones:
![resolviendo la inecuación: |x+1|>=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine7-1.png)
Las resolvemos:
![resolviendo la inecuación: |x+1|>=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine7-2.png)
Por tanto, la solución es
![resolviendo la inecuación: |x+1|>=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine7-3.png)
Inecuación 8
![inecuación: |2x-1|<=3-x resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine8.png)
Ver solución
Escribimos la inecuacón como
![resolviendo la inecuación: |2x-1|<=3-x resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine8-1.png)
Por tanto,
![resolviendo la inecuación: |2x-1|<=3-x resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine8-2.png)
Resolvemos cada inecuación:
Por un lado:
![resolviendo la inecuación: |2x-1|<=3-x resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine8-3.png)
Por otro lado:
![resolviendo la inecuación: |2x-1|<=3-x resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine8-4.png)
Luego la solución es
![resolviendo la inecuación: |2x-1|<=3-x resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine8-5.png)
Inecuación 9
![inecuación: |2-3x|<=6 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine9.png)
Ver solución
Escribimos la inecuación como
![resolviendo la inecuación: |2-3x|<=6 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine9-1.png)
Por un lado:
![resolviendo la inecuación: |2-3x|<=6 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine9-2.png)
Tenemos que estar alerta en el último paso
ya que el coeficiente de la incógnita es negativo.
Al dividir por -3 tenemos que cambiar el signo
de la inecuación:
![resolviendo la inecuación: |2-3x|<=6 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine9-3.png)
Por otro lado:
![resolviendo la inecuación: |2-3x|<=6 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine9-4.png)
Por tanto, la solución es
![resolviendo la inecuación: |2-3x|<=6 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine9-5.png)
Inecuación 10
Ver solución
Debe cumplirse alguna de los dos inecuaciones:
![resolviendo la inecuación: |7-2x|>=x-3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine10-1.png)
Resolvemos la primera:
![resolviendo la inecuación: |7-2x|>=x-3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine10-2.png)
Resolvemos la segunda:
![resolviendo la inecuación: |7-2x|>=x-3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine10-3.png)
Por tanto, la solución es:
![resolviendo la inecuación: |7-2x|>=x-3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine10-4.png)
Inecuación 11
Ver solución
Escribimos la inecuación como:
![resolviendo la inecuación: |x-5|<=x-1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine11-1.png)
Vamos a trabajar primero con las dos inecuaciones al mismo tiempo:
![resolviendo la inecuación: |x-5|<=x-1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine11-2.png)
Sumamos 5:
![resolviendo la inecuación: |x-5|<=x-1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine11-3.png)
Sumamos x:
![resolviendo la inecuación: |x-5|<=x-1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine11-4.png)
Ahora tenemos que separarlas para obtener la solución:
Por un lado:
![resolviendo la inecuación: |x-5|<=x-1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine11-5.png)
Por otro:
![resolviendo la inecuación: |x-5|<=x-1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine11-6.png)
En esta segunda inecuación hemos obtenido una relación que siempre se cumple.
Luego no nos aporta restricciones a la solución.
Por tanto, la solución es
![resolviendo la inecuación: |x-5|<=x-1 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine11-7.png)
Inecuación 12: dificultad alta
Ver solución
Tenemos las dos inecuaciones:
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-1.png)
Resolvemos la primera:
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-2.png)
No podemos multiplicar por x porque no sabemos si es
positiva o negativa.
Supongamos que x es positiva ( x > 0): ahora sí podemos
multiplicar por x :
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-3.png)
Por tanto, cambiando la desigualdad al dividir por el negativo -2, tenemos
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-4.png)
Pero hemos dicho que x > 0, luego al unir ambas condiciones
tenemos que
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-5.png)
(ya que es la más restrictiva).
Supongamos ahora que x es negativa: x < 0:
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-6.png)
Por tanto, la solución a esta primera inecuación es
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-7.png)
Resolvemos la segunda inecuación procediendo del mismo modo:
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-8.png)
Si x es positiva:
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-9.png)
Si x es negativa:
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-10.png)
Por tanto, la solución a la segunda inecuación es:
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-11.png)
Las soluciones de las dos inecuaciones son:
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-12.png)
Y tienen que cumplirse ambas.
Por tanto, la solución es
![resolviendo la inecuación: |1/x|<=2 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-13.png)
Inecuación 13: dificultad muy alta
Ver solución
Tenemos las dos inecuaciones:
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-1.png)
Resolvemos la primera:
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-2.png)
Ahora no podemos multiplicar la inecuación por x porque
ésta podría ser negativa y, entonces, habría que cambiar
el signo de desigualdad.
Supongamos que x es positiva. Ahora podemos multiplicar:
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-3.png)
Como el coeficiente de la x es negativo,
cambiamos el signo de desigualdad al dividir por -6:
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-4.png)
Pero, además, sabemos que x tiene que ser positiva:
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-5.png)
Por tanto, tenemos que ha de ser
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-6.png)
Ahora suponemos que x es negativa.
Al multiplicar por x tenemos que cambiar el signo de desigualdad:
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-7.png)
Por tanto,
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-8.png)
Luego
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-9.png)
Resolvemos la segunda inecuación procediendo de forma similar:
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-10.png)
Si x es positiva:
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-11.png)
Lo cual es falso. Por tanto, x no puede ser positiva.
Si x es negativa:
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-12.png)
Lo cual siempre se cumple (no aporta restricciones a la solución).
Las soluciones que hemos obtenido son, de la primera inecuación
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-13.png)
Y de la segunda: que x no puede ser positiva.
Por tanto, como deben cumplirse ambas inecuaciones, la solución es
![resolviendo la inecuación: |3+1/x|<=3 resolución de inecuaciones con valores absolutos](https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine13-14.png)
Valor Absoluto y Resolución de Inecuaciones con Valor Absoluto -
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