En esta página explicamos qué es una inecuación y cómo son sus soluciones. Resolvemos detalladamente 15 inecuaciones de distinto tipo (lineales, de segundo grado y racionales).
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Una inecuación es una relación de desigualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una o más incógnitas. Por ejemplo, \(x + 1 \leq 0\).Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores de la incógnita para los que se cumple la relación de desigualdad.
Los signos de desigualdad que se utilizan en las inecuaciones son: \( <\), \( >\), \( \leq\) y \( \geq\):
Nota: se dice que los signos \(<\) y \(>\) son estrictos porque no puede darse la igualdad. Es decir, indican "menor que" y "mayor que", respectivamente, pero nunca "igual que".
La solución de una inecuación es el valor o conjunto de valores que puede tomar la incógnita \(x\) para que se cumpla la inecuación. A diferencia de las ecuación (cuyo signo es "="), no podemos saber de antemano el número de soluciones.
Puede darse el caso en que la solución es sólo un punto (por ejemplo, \(x=2\)), un intervalo (por ejemplo, \(x\in [0,2]\)), una unión de intervalos o que no exista ninguna solución.
Veamos algunos ejemplos muy sencillos:
Existen tantos tipos de inecuaciones como de ecuaciones, ya que sólo tenemos que cambiar el signo \(=\) por un signo de desigualdad.
Los tipos de inecuaciones que vamos a resolver en esta página son los siguientes.
Inecuación lineal: cuando las expresiones de ambos lados son polinomios de primer grado.
Ejemplo:
$$ x +2 \leq 0$$
La solución de esta inecuación es el intervalo \((-\infty, -2]\), es decir, todos los reales menores o iguales que -2.
Inecuación de segundo grado: cuando las expresiones de ambos lados son polinomios de grado menor o igual que 2.
Ejemplo:
$$ x^2 - 1 > 0$$
La solución de esta inecuación es la unión de intervalos \((-\infty, -1)\cup (1, +\infty)\), es decir, todos los números que son menores que -1 y todos los que son mayores que 1.
Inecuación racional: cuando las expresiones de uno o ambos lados son un cociente de polinomios.
Ejemplo:
$$ \frac{2}{x} \leq 0$$
La solución de esta inecuación es \( x\in (-\infty, 0)\), es decir, todos los números negativos.
Inecuación con valor absoluto: cuando en las expresiones algebraicas hay valores absolutos.
Ejemplo:
$$ |x| > 1$$
La solución de esta inecuación es también la unión de intervalos \((-\infty, -1)\cup (1, +\infty)\) (es decir, los números menores que -1 y los números mayores que 1).
Resolvemos este tipo de inecuaciones en otra página:
Operaciones: la metodología de resolución es análoga a la de las ecuaciones, esto es, operar en la inecuación hasta obtener otra más sencilla. Por ejemplo, de la expresión \(x - 1 >0\), tenemos \(x > 1\), que nos proporciona la solución (los números mayores que 1).
Sin embargo, debemos tener en cuenta se trata de una desigualdad y esto supone, por ejemplo, que hay cambiar el signo de desigualdad cada vez que multiplicamos o dividimos por un negativo.
Ejemplo:
$$ 2 \leq 3$$
Al multiplicar por un negativo, por ejemplo, -2, cambiamos el signo de desigualdad:
$$-2\cdot 2 \geq -2\cdot 3$$
$$ -4 \geq -6$$
Nota: si no cambiamos el signo al multiplicar por un negativo, obtenemos una relación falsa (\(-4 \leq -6\)).
Intervalos: en los intervalos utilizaremos los símbolos "\((\)" y "\([\)" para el extremo izquierdo y los símbolos "\()\)" y "\(]\)" para el extremo derecho. Los paréntesis indican que el extremo no está incluido en el intervalo y los corchetes indican lo contrario.
Por ejemplo, el intervalo \( (2,3)\) está dentro del intervalo \([2,3)\) y también está dentro de \((2,3]\) y de \([2,3]\). Sin embargo, el intervalo \([2,3)\) no está incluido en \((2,3]\) ni en \((2,3)\).
Para expresar la unión de dos o más intervalos utilizamos el símbolo \( \cup\). Para la intersección, el símbolo \(\cap\):
Agrupamos los monomios según su parte literal (los que tienen x y los que no) como hacemos en las ecuaciones de primer grado, pero sin multiplicar ni dividir toda la inecuación por un número negativo:
Por tanto, la solución es un intervalo:
donde los paréntesis indican que los extremos del intervalo no están incluidos (desigualdad estricta). Por ejemplo, los siguientes valores sí verifican la inecuación \(x = -8.01\), \(x = -9\), \(x = -10000\).
Agrupamos los monomios según su parte literal como si se tratara de una ecuación:
Ahora, para aislar la incógnita tenemos que dividir la inecuación por su coeficiente, que es -24. Como este número es negativo, cambiamos el signo de desigualdad al dividir:
Por tanto, la solución es un intervalo:
donde el corchete de la derecha indica que se incluye el extremo del intervalo (es donde se cumple la igualdad).
Agrupamos los monomios según su parte literal como si se tratara de una ecuación:
Calculamos el mínimo común múltiplo (comunes y no comunes al mayor exponente) de los denominadores para poder sumar las fracciones:
Realizamos los cambios en las fracciones y las sumamos:
Como el denominador, 300, es positivo, podemos multiplicar toda la inecuación por 300 para que éste desaparezca:
Para aislar la incógnita tenemos que dividir por su coeficiente. Como éste es positivo, no cambia el signo de desigualdad:
Por tanto, la solución es un intervalo:
donde el corchete indica que también se incluye el extremo derecho.
Primero calculamos los valores para los que se cumple la igualdad. Para ello, cambiamos la desigualdad por una igualdad. De este modo tendremos una ecuación de segundo grado cuyas raíces determinan los extremos de los intervalos de las soluciones de la inecuación:
Situamos las raíces en la recta real y obtenemos 3 intervalos:
Escogemos un número al azar de cada intervalo (por ejemplo, \(x=-2\), \(x=0\) y \(x=4\)) y comprobamos si para alguno de estos valores se cumple la inecuación. No importa cuál escogemos puesto que el signo de la inecuación se mantiene constante en cada intervalo.
Comprobamos:
Por tanto, la inecuación se verifica en dos de los intervalos:
donde los corchetes indican que los extremos de los intervalos están incluidos (es en ellos donde se da la igualdad de la inecuación).
Calculamos los valores para los que se cumple la igualdad. Para ello, cambiamos la desigualdad por una igualdad, obteniendo una ecuación de segundo grado cuyas raíces determinan los extremos de los intervalos de las soluciones de la inecuación:
Las soluciones de la ecuación de segundo grado anterior son
La igualdad de la inecuación se cumple para estos valores de x. Situamos las raíces en la recta real:
Notemos que podemos escribir la inecuación inicial como
cumpliéndose la igualdad en los puntos azules (las raíces de la ecuación).
Sabemos que entre las raíces de una ecuación cuadrática el signo se mantiene constante (si no fuera así, habría al menos un cambio de signo y, por tanto, otra raíz). Por tanto, en los tres intervalos representados los signos se mantienen constantes. Así que escogemos un valor cualquiera de cada uno de ellos y comprobamos el signo. Si el signo es negativo, se cumple la inecuación y el intervalo al que pertenece será parte de la solución de la inecuación.
Escogemos, por ejemplo, -2, 0, 1:
Sustituimos en la inecuación (la anterior o la inicial, es lo mismo porque son equivalentes):
Por tanto, la solución de la ecuación es sólo un intervalo:
donde los corchetes indican que los extremos del intervalo están incluidos.
Comentario: como tenemos una ecuación de segundo grado, podemos tener dos raíces, una o ninguna. Por tanto, tendremos particiones de 3 intervalos, 2 intervalos o 1 (todos los reales). En el primer caso, si un intervalo es solución, sus adyacentes no lo son. En el segundo, si un intervalo es solución, el otro también. Estos hechos se deducen considerando la gráfica de la parábola y que sus raíces son los puntos de corte con el eje de abscisas.
Tenemos una fracción y queremos estudiar su signo. Como estamos dividiendo, el signo de la fracción depende de los signos del numerador y del denominador.
Cuando el numerador y el denominador tienen el mismo signo, la fracción es positiva. Si lo tienen distinto, es negativa. Tenemos que ver las distintas posibilidades. Primero analizamos los signos del numerador y del denominador por separado.
Numerador:
Denominador:
La segunda desigualdad es estricta (sin el igual) ya que el denominador no puede ser 0.
Representamos los valores en dos rectas indicando el signo en cada intervalo:
Hemos representado una recta encima de otra porque ahora tenemos que trabajar con ambas.
El único intervalo para el que el numerador y el denominador tienen el mismo signo (y por tanto, la solución de la inecuación) es:
Siendo ambos positivos en el intervalo. El corchete indica que se incluye el extremo del intervalo ya que en él es donde se cumple la igualdad de la inecuación.
Primero analizamos los signos del numerador y del denominador por separado. Como queremos que la fracción sea negativa (o cero), el signo del numerador y del denominador han de ser distintos (o el numerador 0).
Numerador:
Denominador:
Notemos que hemos escrito desigualdad estricta para el denominador porque éste no puede ser 0.
Representamos los valores en dos rectas indicando el signo en cada intervalo:
Hemos representado una recta encima de otra porque ahora tenemos que trabajar con ambas.
El único intervalo para el que el numerador y el denominador tienen signos distintos (y por tanto, la solución de la inecuación) es:
El corchete indica que se incluye el extremo del intervalo ya que en él es donde se cumple la igualdad de la inecuación.
Para que la fracción sea negativa (o cero), el signo del numerador y del denominador han de ser distintos (o el numerador 0).
Numerador: es una ecuación de segundo grado, pero por la forma en la que está escrita (factorizada) sabemos que las raíces son 1 y -1. Estudiamos el signo en los tres intervalos:
No olvidemos que \(x\) no puede valer 0 en el denominador (denominador nulo).
Mirando las rectas obtenemos los intervalos donde los signos son distintos:
Donde los corchetes indican que los extremos del intervalo están incluidos.
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