Producto Notables:

Fórmulas, Demostraciones y Ejercicios

Contenido de esta página:

  1. Introducción

  2. Suma por diferencia

  3. Binomios al cuadrado y al cubo

  4. Identidades de Lagrange

  5. Completación de cuadrados

  6. 25 Ejercicios resueltos


0. Introducción

Algunas operaciones (productos sobre todo) aparecen habitualmente en la literatura matemática. Para simplificar los cálculos, se escriben directamente los resultados de estas operaciones aplicando una sencilla fórmula fácil de recordar. Estas fórmulas se conocen como productos notables.

Los productos notables más comunes son la suma por diferencia y el cuadrado de un binomio. En esta página vamos a ver estos y otros productos notables, a demostrar sus respectivas fórmulas y a emplearlas en los ejercicios.



1. Suma por diferencia

$$(a + b)(a - b) = a^2-b^2$$

Esta fórmula se lee como suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.

Ejemplo:

$$ (x+2)(x-2)=x^2-4 $$

Hemos identificado a = x y b = 2.

Ver demostración


2. Binomios al cuadrado y al cubo

Un binomio es una suma o una resta de dos elementos, por ejemplo:

  • 3 + 2

  • x + 3

  • 5 - x 2

Una potencia de binomios es

(a + b)···(a + b) = (a + b) n

Nosotros veremos los casos n = 2 (cuadrado) y n = 3 (cubo).

Las fórmulas para el cuadrado y el cubo son:

Cuadrado de la suma

$$(a + b)^2 = a^2+ 2ab + b^2$$

Ejemplo:

$$ (x+1)^2 = x^2 +2x +1 $$

Ver demostración

Cuadrado de la resta

$$(a - b)^2 = a^2- 2ab +b^2$$

Ejemplo:

$$ (x-2)^2 = x^2 -4x +4 $$

Ver demostración

Cubo de la suma

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2+ b^3$$

Ejemplo:

$$ (x+2)^3 = x^3 +6x^2 + 12x +8 $$

Ver demostración


Cubo de la resta

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3$$

Ejemplo:

$$ (x-5)^3 = x^3 -15x^2 +75x -125 $$

Ver demostración


Truco para calcular los cubos

Si olvidamos la fórmula para la suma o la resta al cubo podemos descomponer el cubo como un producto:

$$ (a+b)^3 = (a+b)^2 \cdot (a+b) $$

$$ (a-b)^3 = (a-b)^2 \cdot (a-b) $$



3. Identidades de Lagrange

Vamos a ver las identidades de Lagrange para binomios.

En realidad, estas identidades son muy fáciles de obtener, como veremos en las demostraciones, pero si conocemos las fórmulas, que son muy sencillas, podremos acelerar el proceso de cálculo.

Para binomios, las identidades de Lagrange son las siguientes:

$$(a^2+ b^2)\cdot (x^2+y^2) =$$

$$ =(ax + by)^2+(ay - bx)^2$$

Ejemplo:

$$ (z^2 + 2^2)(z^2+3^2) =$$

$$ =(z^2 + 6)^2 + (3z-2z)^2 $$

Hemos identificado a = z , b = 2 , x = z , y = 3.

Ver demostración

$$(a^2- b^2 )\cdot(x^2- y^2) =$$

$$=(ax + by)^2- (ay + bx)^2$$

Ejemplo:

$$ (z^2 - 2^2)(z^2 - 3^2)=$$

$$ =(z^2 + 6)^2 - (3z+2z)^2 $$

Hemos identificado a = z , b = 2 , x = z , y = 3.

Ver demostración

4. Completación de cuadrados

La completación de cuadrados es un procedimiento matemático que se utiliza cuando se necesita expresar un trinomio de segundo grado en la suma de un cuadrado y un número. Esto resuelta útil para simplificar expresiones algebraicas.

Si tenemos el trinomio

$$ ax^2 + bx + c,\ a \neq 0 $$

Entonces, podemos escribirlo como

$$ a(x+h)^2+k $$

Para ello tenemos que dar los valores

$$ h = \frac{b}{2a}, \ k = c-ah^2 $$


Ejemplo:

$$ 2x^2 + 3x + 1 = 2\left( x+ \frac{3}{4} \right)^2- \frac{1}{8} $$

Ver demostración





5. Ejercicios resueltos

1. Suma por diferencia

Ejercicio 1

ejercicios resueltos de suma por diferencia

Solución


Ejercicio 2

ejercicios resueltos de suma por diferencia

Solución


Ejercicio 3

ejercicios resueltos de suma por diferencia

Solución


Ejercicio 4

ejercicios resueltos de suma por diferencia

Solución


Ejercicio 5

ejercicios resueltos de suma por diferencia

Solución


Ejercicio 6 (dificultad alta)

Obtener una ecuación de segundo grado (en la que no aparecen números complejos) pero que tenga las soluciones complejas

ejercicios resueltos de suma por diferencia

Solución


Ejercicio 7

Resolver, usando la fórmula de suma por diferencia, la ecuación de sexto grado siguiente:

ejercicios resueltos de suma por diferencia

Solución


Ejercicio 8

Simplificar la siguiente fracción:

ejercicios resueltos de suma por diferencia

Solución


Ejercicio 9

Calcular la siguiente suma de fracciones y simplificar el resultado:

ejercicios resueltos de suma por diferencia

Solución


2. Binomios al cuadrado y al cubo

Ejercicio 1

suma al cuadrado

Solución


Ejercicio 2

suma al cuadrado

Solución


Ejercicio 3

suma al cuadrado

Solución


Ejercicio 4

suma al cuadrado

Solución


Ejercicio 5

suma al cuadrado

Solución


Ejercicio 6

suma al cuadrado

Solución


Ejercicio 7

suma al cubo

Solución


Ejercicio 8

resta al cubo

Solución


3. Identidades de Lagrange

En todos los ejercicios, escribir el producto como suma (o resta) de cuadrados:

Ejercicio 1

ejercicios resueltos de productos notables: identidades de Lagrange

Solución


Ejercicio 2

ejercicios resueltos de productos notables: identidades de Lagrange

Solución


Ejercicio 3

ejercicios resueltos de productos notables: identidades de Lagrange

Solución



4. Completación de cuadrados

En todos los ejercicios, completar los cuadrados sin utilizar las fórmulas anteriores para calcular a, h y k.

Ejercicio 1

ejercicios resueltos de completar cuadrados

Solución


Ejercicio 2

ejercicios resueltos de completar cuadrados

Solución


Ejercicio 3

ejercicios resueltos de completar cuadrados con fracciones

Solución


Ejercicio 4

ejercicios resueltos de completar cuadrados

Solución


Ejercicio 5

Se desea escribir el polinomio

ejercicios resueltos de completar cuadrados

en la forma

ejercicios resueltos de completar cuadrados

de modo que a, b y c sean números sin la incógnita x.

Encontrar las dos únicas posibilidades.

Solución



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