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Problemas de Proporcionalidad Compuesta

Contenido de esta página:

  • Método de resolución.

  • 15 problemas resueltos.

  • Explicación extensa de la regla de tres compuesta.

Enlace: Proporcionalidad simple (problemas resueltos).


1. Método de resolución

Explicaremos el método a medida que resolvemos el siguiente problema:

Problema: si 6 niños comen 160 caramelos en 2 horas, ¿cuántas horas tardan 3 niños en comer 120 caramelos?

  1. Distinguir las tres variables:

    Las variables del problema son:

    • (número de) niños

    • (número de) caramelos

    • (número de) horas

    Una de las tres variables es la variable incógnita.

    Nuestra variable incógnita es horas.

  2. Estudiar el tipo de proporcionalidad de cada una de las variables con la variable incógnita.

    Como la variable incógnita es horas, estudiamos la relación entre las variables niños y horas y las variables caramelos y horas:

    • Niños-horas: cuantos más niños hay, menos horas tardan en comer los caramelos. Es una proporcionalidad inversa.

    • Caramelos-horas: cuantos más caramelos hay, más horas tardan en comerlos. Es una proporcionalidad directa.

  3. Escribimos los datos en una tabla:

    Problemas resueltos de proporcionalidad compuesta (directa e inversa). Regla de tres compuesta. Secundaria. ESO.

    Escribiremos la variable incógnita en la columna de la derecha e indicamos con flechas si se trata de una proporcionalidad directa (D) o inversa (I).

    Tenemos que calcular el valor de la incógnita \(x\).

  4. Calculamos la regla de tres compuesta:

    Escribimos las dos columnas de la izquierda como dos fracciones que se multiplican e igualamos con la columna derecha:

    Problemas resueltos de proporcionalidad compuesta (directa e inversa). Regla de tres compuesta. Secundaria. ESO.

    Importante:

    • si es una proporcionalidad directa, escribimos la primera fila dividido entre la segunda.

    • si es una proporcionalidad inversa, escribimos la segunda fila dividido entre la primera.

  5. Calculamos la incógnita \(x\):

    Problemas resueltos de proporcionalidad compuesta (directa e inversa). Regla de tres compuesta. Secundaria. ESO.

Por tanto, 3 niños tardan 3 horas en comer 120 caramelos.

2. Problemas resueltos

Problema 1

Si con 4 grifos de agua de diámetro 2cm se obtienen 300 litros en determinado tiempo, ¿cuántos litros se obtienen en el mismo tiempo con 2 grifos de 3cm de diámetro?

Solución

Problema 2

Se sabe que 6 mangueras abiertas durante 3 horas equivalen a 10.000 litros. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar una piscina de 130.000 litros con 4 de estas mangueras?

Solución

Problema 3

Un equipo de 8 programadores trabajará 6 horas diarias para desarrollar un software en un año. Si se forma un equipo de 10 programadores trabajando 4 horas diarias, ¿cuántos años se necesitan para realizar un proyecto de la misma envergadura?

Solución

Problema 4

El estadio Azteca de la Ciudad de México tiene una superficie de 7.140 metros cuadrados. Para cortar su césped se emplean 3 máquinas cortacésped funcionando durante 5 horas. ¿Cuánto tiempo se requiere para cortar el césped de un estadio cuya superficie sea la mitad si se emplean 7 máquinas?

Solución

Problema 5

Una compañía dispone de 5 máquinas de refresco que llenan 280 botellas que se venden por un total de 400 dólares. Si la compañía compra 3 nuevas máquinas embotelladoras para ganar un total de 550 dólares, ¿cuántas botellas deben llenar?

Solución

Problema 6

John y Paul tienen una banda y componen 6 canciones en 15 días. Si llaman a su amigo George para que les ayude durante 5 días, ¿cuántas canciones compondrán?

Solución

Problema 7

Un atleta corrió 2 horas diarias durante 30 días y adelgazó 5 kilos. Si corriera solamente 20 días, pero lo hiciera por 3 horas, ¿cuántos kilos perdería?

Solución

Problema 8

Cuatro empleadas de una tienda de moda tardan 8 días en coser 6 vestidos. Calcular cuánto tiempo se necesita para coser 24 vestidos si se duplica la plantilla.

Solución

Problema 9

Un buque de carga realiza un transporte en 24 días con tan solo 3 motores encendidos con un consumo total de 2.000L de fuel. Si se encienden sus 6 motores para realizar un transporte con un consumo total de 3.000L, ¿cuánto dura el transporte?

Solución

Problema 10

Un novelista que escribe 15 páginas en 90 minutos a una velocidad de 22 palabras por minuto necesita escribir 10 páginas cada 75 minutos para terminar su libro dentro del plazo. ¿Cuántas palabras por minuto debe escribir? ¿Cuántas palabras tiene una página?

Solución

Problema 11

El año pasado, una empresa cubana de producción de azúcar contrató 20 operarios que recolectaron al día una media de 100kg de caña por persona en dos semanas de recolecta. Calcular cuántos operarios deben contratar este año para que en una semana recolecten 2.000 kilos en total.

Solución

Problema 12

Una empresa cuenta con un equipo de 3 técnicos que pueden reparar los 6 elevadores del edificio en tan solo 180 minutos en caso de avería. Si se necesita reparar 5 elevadores, pero uno de los técnicos no podrá asistir, ¿cuánto tiempo tardarán en repararlos?

Solución

Problema 13

Para construir una casa en 6 meses (183 días), un arquitecto estimó que serían necesarios 16 obreros trabajando 10 horas al día. Sin embargo, limitado por el presupuesto, se decidió por contratar solamente a 8 obreros trabajando 6 horas diarias.

¿Cuánto tiempo durará la construcción?

Solución

Problema 14

En un sembradío de sandías que es regado 2 veces a la semana se podrían cosechar 12 toneladas de esta fruta en 4 meses. Sin embargo, se riega 4 veces semanales para duplicar la producción. ¿Cuántas toneladas se producen en tres meses?

Solución

Problema 15

Alberto y Gabriel son dueños de sendas pizzerías. En la de Gabriel se cocinan 4 pizzas en 3 hornos en 30 minutos. Si Alberto dispone de 4 hornos, ¿cuanto tardará en cocinar 6 pizzas suponiendo que ambos manejan el mismo tipo de horno?

Solución

3. Explicación extensa

En el apartado 1 (método de resolución) hemos resuelto un problema aplicando una regla de tres compuesta, pero no hemos explicado por qué se calcula así la regla de tres.

En esta sección volveremos al problema para resolverlo aplicando dos reglas de tres simples. Este procedimiento puede abreviarse haciendo los cálculos explicados en el apartado 1.

Recordamos el problema:

Si 6 niños comen 160 caramelos en 2 horas, ¿cuántas horas tardan 3 niños en comer 120 caramelos?


La tabla con los datos del problema es:

Problemas resueltos de proporcionalidad compuesta (directa e inversa). Regla de tres compuesta. Secundaria. ESO.

Paso 1:

La relación de proporcionalidad entre niños y horas es inversa.

Si 6 niños tardan 2 horas, ¿cuánto tardan 3 niños?

Calculamos una regla de tres simple (inversa):

Problemas resueltos de proporcionalidad compuesta (directa e inversa). Regla de tres compuesta. Secundaria. ESO.

Por tanto, \(x\) es

Problemas resueltos de proporcionalidad compuesta (directa e inversa). Regla de tres compuesta. Secundaria. ESO.

Por tanto, 3 niños tardan 4 horas en comer 160 caramelos.

Nosotros queremos saber cuánto tardan en comer sólo 120 caramelos.

Paso 2:

La relación de proporcionalidad entre horas y caramelos es directa.

Si los 3 niños tardan 4 horas en comer 160 caramelos, ¿cuánto tardan en comer 120 caramelos?

Calculamos una regla de tres simple (directa):

Problemas resueltos de proporcionalidad compuesta (directa e inversa). Regla de tres compuesta. Secundaria. ESO.

Por tanto, \(x\) es

Problemas resueltos de proporcionalidad compuesta (directa e inversa). Regla de tres compuesta. Secundaria. ESO.

Por tanto, 3 niños tardan 3 horas en comer 120 caramelos.



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