Ecuaciones en Diferencias Finitas Resueltas

Contenido de esta página:

Introducción
Tabla de Soluciones Particulares
Recordemos que... Definición de EDF, EDFH, Solución y Polinomio Característico
Resolución de EDF's de primer y segundo orden
Enlace: Teoría sobre EDF's

Introducción

En esta sección resolveremos ecuaciones en diferencias finitas (EDF) de primer y segundo orden no homogéneas.

Al igual que en otros tipos de ecuaciones, como las ecuaciones diferenciales, la solución de una EDF no homogénea es la suma de la solución de la homogénea y de una solución particular: x = x_h + x_p

Tanto en las de primer y segundo orden, para obtener la solución de la homogénea calcularemos el polinomio característico de la EDF. En el caso de las de segundo orden, éste será un polinomio de segundo orden, con lo que tendremos dos soluciones y habrá que distinguir los casos en que son reales distintas, real de multiplicidad doble o complejas.

Obviaremos el método o algoritmo para resolver las EDFs, que es extenso y podemos encontrar aquí, y sólo mostramos una tabla con las soluciones particulares típicas (la primera columna es el término independiente y la segunda la solución particular).

Soluciones Particulares

Recordemos que...

Una EDF (ecuación en diferencias finitas) de orden k es

y diremos que una sucesión

es solución si verifica la EDF, esto es, si

Diremos que la EDF es homogenia (EDFH) si

Definimos el polinomio característico de una EDF como

Finalmente, comentamos que una de las aplicaciones de las EDF es el estudio de la evolución de las variables temporales en Economía cuando se considera al tiempo como una variable discreta. Podemos encontrar más información sobre su utilidad y orígenes en el siguiente artículo de la Revista de métodos cuantitativos para la Economía y la Empresa que podemos encontrar en este enlace.