Passem les x's a un costat de la igualtat (esquerra) i els nombres a l'altre costat (dreta):

En la dreta, la x està restant. Passa a l'esquerra sumant:

Sumem els monomis amb x’s:

En l'esquerra, el -3 està restant. Passa a la dreta sumant:

Sumem els monomis de la dreta:

El coeficient de la x és 2. Aquest nombre està multiplicant a x, així que passa a l'altre costat dividint:

Per tant, la solució de l'equació és x = 3.

Recordem que els parèntesis serveixen per agrupar elements, per simplificar o per evitar ambigüitats.

El signe negatiu de davant del parèntesi indica que els monomis que conté tenen que canviar de signe:

Sumem 3 i -2 en el costat dret:

Passem els monomis amb x’s a l'esquerra i els nombres a la dreta:

Sumem 1 i -1. Com que el resultat és 0, no l'escrivim:

Passem 2x a l'esquerra restant i sumem els monomis:

Llavors la solució de l'equació és x = 0.

Tenim diverses maneres de procedir amb les fraccions:

• Sumar les fraccions com de costum.

• Multiplicar l'equació pel mínim comú múltiple dels denominadors.

En aquesta equació aplicarem la segona opció. D'aquesta manera els denominadors van a desaparèixer.

Multipliquem, doncs, pel m.c.m.(2, 3) = 6:

Per simplificar, calculem les divisions:

Noteu que hem escrit un parèntesi al eliminar la fracció de la dreta. Açò és perquè el 3 ha de multiplicar tot el numerador i aquest està compost per una suma (un binomi).

Calculem els productes:

Per eliminar el parèntesi, multipliquem per 3 tots els elements que conté:

Passem les x’s a l'esquerra:

Sumem els monomis:

Finalment, el coeficient de la x passa dividint a l'altre costat:

La solució de l'equació és x = 3/4.

La fracció no es pot simplificar més perquè ja és irreductible (el màxim comú divisor del numerador i del denominador és 1).

Eliminem els parèntesis:

El de l'esquerra té un 2 davant, pel que multipliquem el seu contingut per 2.

Els altres dos parèntesis tenen un signe negatiu davant, així que canviem els signes dels seus monomis:

Per simplificar, en cada costat sumem els monomis amb i sense part literal (els que tenen x i els que no en tenen):

Passem les x’s al costat esquerre i sumem:

Hem obtingut una igualtat falsa: -2 = -1. Açò significa que l'equació no mai es compleix, sigui quin sigui el valor de x. Per tant, l'equació no té cap solució.

Eliminem els parèntesis multiplicant els seus respectius continguts pel nombre que tenen davant. No s'ha d'oblidar que si el nombre de davant és negatiu aleshores també s'han de canviar els signes:

En cada costat, sumem els monomis segons la seva part literal:

Passem les x’s a l'esquerra i els nombres a la dreta:

Sumem els monomis:

Hem obtingut una igualtat que sempre es compleix: 0 = 0. Açò significa que l'equació es compleix sempre, independientement del valor de x.

Per tant, l'equació té infinites solucions (x pot ser qualsevol nombre i hi ha infinits nombres). Podem expressar-ho com “x és qualsevol real”:

$$ x \in \mathbb{R} $$

Primer eliminarem els parèntesis exteriors. Comencem pel de l'esquerra. Aquest parèntesi té un signe negatiu davant, pel que canviem el signe als seus sumands. Un dels sumands és altre parèntesi:

Eliminem el parèntesi que queda en l'esquerra multiplicant per 2:

Sumem els nombres en el costat esquerre per simplificar:

Eliminem el parèntesi exterior de la dreta multiplicant els seus sumands per 2:

Eliminem el parèntesi que queda multiplicant per 2 i canviant els signes:

Sumem els monomis en el costat dret:

Passem les x’s a l'esquerra, els nombres a la dreta i simplifiquem:

Per tant, la solució és x = -7.

En aquesta equació tenim parèntesis niats (uns dins d'uns altres).

Anem primer a treure el menut (el de dins). Aquest està multiplicat per 3. Per eliminar-lo, hem de multiplicar per 3 tots els sumands de dins:

$$ 3(x+1) -2x = x-\left( 2 + 3\cdot 3 -3x\right) $$

$$ 3(x+1) -2x = x-\left( 2 + 9 -3x\right) $$

$$ 3(x+1) -2x = x-\left( 11 -3x \right) $$

El interior del parèntesi ja no es pot simplificar més. Com que té un signe negatiu dins, canviem el signe dels sumands de dins:

$$ 3(x+1) -2x = x - 11 +3x $$

$$ 3(x+1) -2x = - 11 +4x $$

El parèntesi del costat esquerre està multiplicat per 3. Per eliminar-lo, multipliquem tots els sumands de dins per 3:

$$ 3x +3 -2x = - 11 +4x $$

Ara només hem d'agrupar els monomis segons la seva part literal:

$$ x +3 = - 11 +4x $$

$$ x = -3 - 11 +4x $$

$$ x = -14 +4x $$

$$ x -4x = -14 $$

$$ -3x = -14 $$

Per aïllar la x hem de passar el -3 dividint:

$$ x = \frac{-14}{-3} $$

Com que els signes del numerador i del denominador són negatiu, desapareixen:

$$ x = \frac{14}{3} $$

Ja no podem simplificar més l'expressió de la solució ja que 14 no és divisible per 3, és a dir, el màxim comú divisor de 14 i 3 és 1.

Tenim parèntesis niats (un dins d'un altre) i signes negatius davant d'aquests.

Abans de treballar amb els parèntesi, podem sumar els termes 3x i 3x del parèntesi exterior ja que es troben en el mateix nivell (no formen part de parèntesi distintos):

$$ 1 - 2 ( 1 + 6x - 2(x + 2)) = - 1 $$

Com que el parèntesi interior està multiplicat per -2, multipliquem per -2 els seus sumands per poder treure-lo:

$$ 1 - 2 ( 1 + 6x - 2x - 4) = - 1 $$

$$ 1 - 2 ( 6x - 2x - 3) = - 1 $$

$$ 1 - 2 ( 4x - 3) = - 1 $$

Procedim de la mateixa manera que abans:

$$ 1 -8x +6 = - 1 $$

$$ -8x +7 = - 1 $$

$$ -8x = -8 $$

$$ x = \frac{-8}{-8} $$

$$ x = 1 $$

Tenim parèntesis niats multiplicats per fraccions, algunes d'aquestes amb signe negatiu.

Treballarem primer en el costat esquerre de la igualtat. El parèntesi interior està multiplicat per una fracció negativa. Per eliminar-lo, hem de multiplicar els sumands de dins per la fracció:

$$ x + \frac{1}{3} \left(x - 3 -\frac{4}{2} +\frac{3x}{2}\right)= $$

$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

$$ x + \frac{1}{3} \left(x - 3 -2 +\frac{3x}{2}\right)= $$

$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

$$ x + \frac{1}{3} \left(x -5 +\frac{3x}{2}\right)= $$

$$ = \frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

Noteu que si multipliquem per 3 tota l'equació desapareixen dos dels denominadors:

$$ 3x + \frac{3}{3} \left(x -5 +\frac{3x}{2}\right)= 3\frac{2}{3}\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

$$ 3x +\left(x -5 +\frac{3x}{2}\right)= 2\left(1-\frac{5x}{2}\right) $$

El parèntesi de l'esquerra el podem treure (està multiplicat per 1) i el de la dreta el llevem multiplicant els seus sumands per 2:

$$ 3x + x -5 +\frac{3x}{2}= 2-2\frac{5x}{2} $$

Ara anem agrupant els monomis segons la seva part literal:

$$ 3x + x -5 +\frac{3x}{2}= 2-5x $$

$$ 4x -5 +\frac{3x}{2}= 2-5x $$

$$ 4x +5x +\frac{3x}{2}= 2 + 5 $$

$$ 9x +\frac{3x}{2}= 7 $$

Sumem les fraccions 9x i 3x/2:

$$ \frac{18x}{2} + \frac{3x}{2}= 7 $$

$$ \frac{21x}{2}= 7 $$

$$ x= \frac{7\cdot 2}{21} $$

Escrivim 21 com un producte per reduir la fracció:

$$ x= \frac{7\cdot 2}{7\cdot 3} $$

Els 7's desapareixen i obtenim la solució

$$ x= \frac{2}{ 3} $$

Tenim els denominadors 2 i 3. Multipliquem per el seu mínim comú múltiple, 6, per treballar sense fraccions:

$$ 6\frac{x}{2} + 6\frac{2}{3} = 6\frac{x}{3} + 6 -6\frac{1}{2}\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$

$$ 3x+ 4 = 2x + 6 -3\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$

$$ 3x-2x+ 4 -6 = -3\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$

$$ x -2 = -3\left(1-\frac{x+1}{3}\right)$$

La fracció que queda té un signe negatiu davant, el que implica canviar el signe del numerador.
Com que el numerador és una suma, canviem el signe d'ambdós sumands:

$$ x -2 = -3\left(1+\frac{-x-1}{3}\right)$$

Calculem la suma en l'interior del parèntesi:

$$ x -2 = -3\left(\frac{3}{3}+\frac{-x-1}{3}\right)$$

$$ x -2 = -3\left(\frac{3-x-1}{3}\right)$$

$$ x -2 = -3\left(\frac{2-x}{3}\right)$$

Tenim el parèntesi multiplicat per 3, però el seu contingut està dividit entre 3, així que podem eliminar els dos 3's:

$$ x -2 = -\left(2-x\right)$$

Llevem el parèntesi canviant el signe dels seus sumands (ja que hi ha un signe menys davant)

$$ x -2 = -2 + x$$

$$ x -x -2 = -2$$

$$ -2 = -2 $$

$$ 0 = 0 $$

Com que tenim una igualtat vertadera, l'equació es compleix independientement dels valors que prengui x. Per tant, la solució és tots els reals:

$$ x\in \mathbb{R} $$

Tenim múltiples parèntesis niats, alguns amb signe negatiu davant.

Comencem pel més interior: com que té un signe menys, per eliminar-lo canviem el signe de tots els seus sumands

$$ 2\left( x - 3\left( x - 4\left( x -\frac{x}{8}- 1 \right) \right) \right)=1$$

El més interior està multiplicat per -4. Per eliminar-lo multipliquem per -4 els seus sumands (multiplicar per 4 i canviar el signe)

$$ 2\left( x - 3\left( x -4x +4\frac{x}{8}+4 \right) \right)=1$$

$$ 2\left( x - 3\left( x -4x +\frac{x}{2}+4 \right) \right)=1$$

$$ 2\left( x - 3\left( -3x +\frac{x}{2}+4 \right) \right)=1$$

De nou, el parèntesi interior està multiplicat per un nombre negatiu:

$$ 2\left( x+ 9x -3\frac{x}{2} -12 \right)=1$$

$$ 2\left( 10x -\frac{3x}{2} -12 \right)=1$$

Llevem l'últim parèntesi:

$$ 20x -2\frac{3x}{2} -24 =1$$

$$ 20x -3x -24 =1$$

$$ 17x =1+24$$

$$ 17x =25$$

$$ x=\frac{25}{17}$$

No podem reduir més la fracció ja que el màxim comú divisor de 25 i 17 és 1 (perquè 17 és primer).

Multipliquem tota l'equació per 3 per eliminar algunes de les fraccions:

$$ 3x-2\left(-1-\left(\frac{15}{2}-x \right)\right)=x+3 $$

El parèntesi interior té un signe negatiu davant: canviem el signe de tots els seus sumands per poder treure-lo:

$$ 3x-2\left(-1-\frac{15}{2}+x \right)=x+3 $$

El parèntesi està multiplicat per -2. Per eliminar-lo, multipliquem els seus sumands per -2 (multiplicar per 2 i canviar el signe):

$$ 3x+2+2\frac{15}{2}-2x =x+3 $$

$$ 3x+2+15-2x =x+3 $$

Ara només cal agrupar els monomis:

$$ 3x-2x -x =3-2 -15 $$

$$ 0 = -14 $$

Obtenim una igualtat falsa, independientement del valor de la incógnita. Açò vol dir que no hi ha ningún valor per al qual l'equació es compleix: no existeix cap solució.

Llevem el parèntesi multiplicant per -2 el seu contingut (multiplicar per 2 i canviar el signe):

$$ \frac{5x}{3} \frac{-2x}{3}-2x = -x $$

Multipliquem tota l'equació per 3 per evitar les fraccions:

$$ 5x -2x-6x = -3x $$

Agrupem els monomis:

$$ 5x -2x-6x +3x= 0 $$

$$ -3x +3x= 0 $$

$$ 0= 0 $$

Obtenim una igualtat que sempre és certa, independientement del valor de la incógnita. Açò vol dir que l'equació té infinites solucions: qualsevol valor és una solució:

$$ x\in \mathbb{R} $$

Sumem (o restem) els monomis que tenen la mateixa part literal (les x amb les x i els nombres amb els nombres). Els sumands que estan sumant a un costat passen a l'altre restant i viceversa.

Després passem les x a un costat de la igualtat i els nombres a l'altra.

Els elements que estan sumant a un costat passen a l'altre restant i viceversa.

Després passem les x a un costat de la igualtat i els nombres a l'altra.

Com que la x té un coeficient (-10) que està multiplicant, aquest passa a l'altre costat dividint.

Primer eliminem el parèntesi: com que té un signe negatiu davant, canvia el signe a tots els elements que conté.

Després, agrupem les x a un costat i els nombres a l'altre.

Com que la x té un coeficient (2) multiplicant, aquest passa a l'altre costat dividint.

Primer eliminem els parèntesis: el de la dreta té un signe negatiu que canvia el signe dels elements del seu interior; com que el de la dreta està multiplicat per 3, multipliquem els elements que conté per 3.

Tenim fraccions. Podem procedir de diverses maneres:

1. multiplicar tots els termes de l'equació pel mínim comú múltiple dels denominadors

2. o bé, anar multiplicant tota l'equació per cadascun dels denominadors (cada vegada en desapareix un).

Nosaltres multipliquem tota l'equació pel mínim comú múltiple que és:

$$ mcm(2,2\cdot 3, 3) = 6 $$

D'aquesta manera, al calcular la divisió, desapareixen tots els denominadors.

Ara eliminem els parèntesis: el primer està multiplicat per 3, així que multipliquem per 3 el seu contingut; el segon, per -2, així que multipliquem per -2 (no oblideu el signe):

Finalment, agrupem les x a un costat i els nombres a l'altre:

Tenim 0 = -2, que és una igualtat falsa. Per tant, l'equació no té solució perquè sigui quin sigui el valor de x, arribem a un absurd.

Com que els nombres que multipliquen els parèntesis són negatius, al multiplicar el seu contingut per aquests, tots els elements canvien de signe.

Com que hi ha denominadors, multipliquem tota l'equació pel mínim comú múltiple d'aquests, que és 6:

$$ m.c.d.(3,2)=6 $$

D'aquesta manera, al calcular les divisions, desapareixen els denominadors. Ara només cal agrupar les x a un costat i els nombres a l'altre.

Com que hi ha denominadors, multipliquem tota l'equació pel mínim comú múltiple d'aquests, que és 30:

Només hi ha un parèntesi, multiplicat per 15. Per eliminar-lo, multipliquem els seus elements per 15:

L'equació té parèntesis niats (uns dins dels altres) i multiplicats per fraccions. Però abans d'ocupar-nos d'açò, multipliquem tota l'equació pel mínim comú múltiple dels denominadors: 6

Ara anem a eliminar els parèntesis:

A l'esquerra en tenim dos però, primer treballem amb un i després amb l'altre. Multipliquem tot el seu contingut per -2.

Al mateix temps, a la dreta, multipliquem per 9:

Només queda un parèntesi, multiplicat per 6:

Com que tenim parèntesis niats (uns dins dels altres), anirem eliminant-los.

El primer parèntesi (l'exterior), està multiplicat per -2. Per eliminar-lo, multipliquem tot el seu contingut per -2:

Ara, el parèntesi exterior està multiplicat per 6. Per eliminar-lo, multipliquem el seu contingut per 6:

Per últim, el parèntesi que queda està multiplicat per -12, així que multipliquem per -12 el seu contingut:

Ara anem a eliminar les fraccions però, abans sumem alguns dels elements per no tenir una expresió tan llarga:

Multipliquem tota l'equació pel mínim comú múltiple dels denominadors, que és 12:

Hem decidit eliminar primer els parèntesis i, després, multiplicar pels denominadors perquè aquests desapareguin:

Aquesta equació consta només de 3 fraccions, així que el que fem és multiplicar-la pel mínim comú múltiple dels denominadors.