Equacions de Segon Grau Completes

Contingut d'aquesta pàgina:

  • Breu introducció

  • Recordem que... la fórmula quadràtica, el discriminant i factorització

  • 10 Equacions resoltes i demostració de la fórmula quadràtica




Introducció

En aquesta secció anem a calcular les arrels (solucions) d'equacions de segon grau completes. Per a això, farem servir la fórmula quadràtica que ens proporciona les solucions. A més, escriurem l'equació en forma factorizada a partir de les arrels.

Pàgines relacionades: equacions de segon grau incompletes.


Recordem que...

Una equació de segon grau és una equació polinòmica de grau 2, és a dir, el major grau dels monomis és 2, o siga, x2. Com que l'equació és de grau 2, tindrà, com a molt, dues arrels (solucions) distintes.

Tota equació de segon grau es pot escriure en la forma

forma general d'equacions de segon grau completa

Si ningun dels coeficients, a,b i c és zero, és a dir,

coeficients de completa

direm que l'equació és completa. Si no és així (si b ó c és 0), direm que és incompleta.


Solucions i discriminant

Les solucions ( o arrels) de l'equació de segon grau venen donades per la fórmula quadràtica:

solucions de la completa

Anomenem discriminant de l'equació al radicant de la fórmula anterior, o siga, a

discriminant

Es compleix que

  • Si Δ = 0, l'equació té una única solució (de multiplicitat 2)

  • Si Δ < 0, no existeixen solucions (reals)

  • Si Δ > 0, existeixen dues solucions (reals) distintes (de multiplicitat 1).


Factorització

Factoritzar una equació consisteix en expressar-la com un producte de polinomis més simples, és a dir, com un producte de polinomis de grau menor. Per exemple:

$$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1)$$
  • Suposem que A i B són les dues solucions de l'equació

    forma general d'equacions de segon grau completa

    Aleshores, podem escriure el polinomi corresponent a l'equació com

    forma general d'equacions de segon grau completa

  • Si la única solució és A (per tant, de multiplicitat 2), la factorització és

    forma general d'equacions de segon grau completa

  • Si no hi ha solucions, no podem factoritzar-la.


10 Equacions Resoltes


Equació 1

exercicis resolts equacions de segon grau

Veure solució


Equació 2

exercicis resolts equacions de segon grau

Veure solució


Equació 3

exercicis resolts equacions de segon grau

Veure solució


Equació 4

exercicis resolts equacions de segon grau

Veure solució



Equació 5

exercicis resolts equacions de segon grau

Veure solució


Equació 6

exercicis resolts equacions de segon grau

Veure solució


Equació 7

exercicis resolts equacions de segon grau

Veure solució


Equació 8

exercicis resolts equacions de segon grau

Veure solució


Equació 9

exercicis resolts equacions de segon grau

Veure solució


Equació 10

exercicis resolts equacions de segon grau

Veure solució


Demostració de la Fórmula

Demostrar que, en efecte, la fórmula

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

proporciona les arrels de l'equació general de segon grau

$$ax^2+bx+c=0$$

Demostrar que són solucions però no demostrar la unicitat (és a dir, no demostrar que són exactament les úniques dues solucions).

Veure solució



Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.