Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

Nota: en este tema, se considera el movimiento en 1 dimensión, por lo que no se utilizan vectores.

El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es un movimiento cuya trayectoria es una recta y con velocidad constante (puesto que no hay aceleración).

La ecuación de la posición del móvil en el instante \(t\) en un MRU es

$$ x(t) = x_0 + v\cdot (t-t_0) $$

siendo \(x_0\) la posición inicial, \(v\) la velocidad, \(t\) el tiempo y \(t_0\) el tiempo inicial.

La gráfica de la posición en función del tiempo es una recta cuya pendiente es la velocidad:

Y la gráfica de la velocidad en función del tiempo es una recta horizontal, pues la velocidad es constante. La pendiente de esta recta es la aceleración, que, como se observa en la gráfica, es igual a 0:

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) también es un movimiento cuya trayectoria es una recta, pero la velocidad no es necesariamente constante porque existe una aceleración.

La ecuación de la posición del móvil en el instante \(t\) en un MRUA es

$$ x(t) = x_0 + v_0\cdot (t-t_0) + \frac{a}{2}\cdot (t-t_0)^2 $$

siendo \(x_0\) la posición inicial, \(v_0\) la velocidad inicial, \(a\) la aceleración, \(t\) el tiempo y \(t_0\) el tiempo inicial.

La gráfica de la posición en función del tiempo es una parábola:

La velocidad en un MRUA, \(v\), no es generalmente constante debido a la presencia de la aceleración, \(a\). En el instante \(t\), la velocidad, \(v(t)\), viene dada por la fórmula

$$ v(t) = v_0 + a\cdot (t-t_0) $$

donde \(v_0\) es la velocidad inicial, \(a\) es la aceleración y \(t_0\) es el tiempo inicial.

En el Sistema Internacional (SI), las unidades de la posición y del tiempo son metros y segundos, respectivamente. Por tanto, en el SI, las unidades de las variables involucradas en las ecuaciones anteriores serían:

• Posición: metros: \(m\).

• Velocidad: metros por segundo: \(m/s\).

• Tiempo: segundos: \(s\).

• Aceleración: metros por segundo al cuadrado: \(m/s^2\).

La gráfica de la velocidad en función del tiempo es una recta cuya pendiente es la aceleración:

La velocidad en un MRU o en un MRUA puede ser positiva, negativa o nula. Normalmente, el signo de la velocidad nos informa del sentido del movimiento del móvil.

En un MRUA, la aceleración, \(a\), es constante, pero puede ser positiva o negativa. Si es nula (\(a = 0\)), no se trata de un MRUA, sino de un MRU.

Supongamos que la velocidad inicial de un móvil en un MRUA es positiva, entonces:

• si la aceleración es positiva, la velocidad aumenta con el tiempo:

  

• mientras que, si la aceleración es negativa, la velocidad disminuye con el tiempo:

  

Nota: obsérvese en la gráfica anterior que, si la aceleración tiene signo opuesto a la velocidad inicial, entonces la velocidad puede cambiar de signo si el MRUA dura el tiempo suficiente. En este caso, existe un instante \(t\) que anula la velocidad (el móvil se detiene) y, a partir de dicho instante, el movimiento continúa en sentido opuesto al inicial. Un ejemplo de esto es el movimiento de un objeto que se lanza desde el suelo hacia el cielo: el objeto se lanza con una velocidad, alcanza su altura máxima (donde su velocidad es 0) y cae con una velocidad de signo opuesto a la de la subida.

Finalmente, puesto que la aceleración, \(a\), de un MRUA es constante, su gráfica en función del tiempo es una recta horizontal sin pendiente:

Problema 1

Describir el movimiento de la siguiente gráfica y calcular \(v(0)\), \(v(4)\), \(v(10)\) y \(v(15)\):

Problema 2

Elegir la gráfica de la velocidad en función del tiempo que se corresponde a cada situación.

Gráfica a:

Gráfica b:

Gráfica c:

Situaciones:

1. Dejar caer una moneda desde la azotea de un edificio: el movimiento comienza en el momento en el que se suelta la moneda y termina cuando ésta llega al suelo.

2. Lanzar una moneda hacia arriba en línea recta: el movimiento comienza cuando se suelta la moneda y termina cuando cae al suelo.

3. Efectuar un adelantamiento a un auto en marcha con otro auto: el movimiento comienza justo antes de realizar el adelantamiento y termina cuando, una vez rebasado el auto, se lleva la misma marcha que al inicio.

Problema 3

Calcular la aceleración (en \(m/s^2\)) que se aplica para que un móvil que se desplaza en línea recta a 90.0 km/h reduzca su velocidad a 50.0 km/h en 25 segundos.

Comentar el resultado.

Problema 4

Un tren de alta velocidad en reposo comienza su trayecto en línea recta con una aceleración constante de \(a = 0.5m/s^2\). Calcular la velocidad (en kilómetros por hora) que alcanza el tren a los 3 minutos.

Problema 5

Calcular la aceleración que aplica un tren que circula por una vía recta a una velocidad de 216.00km/h si tarda 4 minutos en detenerse desde que acciona el freno.

Problema 6

Un ciclista que está en reposo comienza a pedalear hasta alcanzar los 16.6km/h en 6 minutos. Calcular la distancia total que recorre si continúa acelerando durante 18 minutos más.

Problema 7

En una carrera cuyo recorrido es recto, una moto circula durante 30 segundos hasta alcanzar una velocidad de 162.00km/h. Si la aceleración sigue siendo la misma, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer los 200 metros que faltan para rebasar la meta y a qué velocidad lo hará?

Problema 8

Dejamos caer una moneda desde una altura de 122.5 metros. Calcular el tiempo que tarda en posarse sobre el suelo.

Nota: la gravedad es \(g=9.8m/s^2\).

Problema 9

Desde 600 metros de altura se lanza hacia el suelo una botella de cristal con una velocidad inicial de \(18.36km/h\). Calcular la velocidad de la botella en el instante previo de romperse contra el suelo.

Problema 10

Un estudiante de física dispara una pistola lanza-pelotas en línea recta desde el suelo. Según las especificaciones de la pistola, la velocidad de lanzamiento es de \(29.4 m/s\).

Calcular la altura que alcanza la pelota y el tiempo que tarda en caer al suelo desde que se dispara.

Problema 11

En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, se define la velocidad media como

siendo \(v_0\) la velocidad inicial y \(v_f\) la velocidad final.

El teorema de la velocidad media de Merton establece que la distancia que recorre un móvil en un MRUA es la misma que la que recorre un móvil en un MRU con velocidad constante e igual a la velocidad media del primero.

Obtener la fórmula de la distancia que recorre un móvil (longitud de la trayectoria) en un MRUA aplicando el teorema de Merton y sabiendo que la velocidad en un MRUA es