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Dimensión de semejanza y de Hausdorff

de fractales autosemejantes

Contenido de esta página:

  1. Introducción: dimensión de semejanza y de Hausdorff.

  2. Dimensión de semejanza o de homotecia.

  3. Ejemplos: cálculo de la dimensión de Hausdorff de fractales producidos por un IFS.

Los IFS de la mayoría de los fractales que aparecen en esta página se encontran en la página: Construccuión de fractales autosemejantes.

1. Introducción

Vamos a definir y a calcular la dimensión de semejanza de fractales autosemejantes. Cada uno de estos fractales es el atractor de algún sistema de funciones iteradas (IFS).

En el caso de este tipo de fractales, las dimensiones de semejanza y la de Hausdorff-Besicovitch (definición mucho más compleja) coinciden. Más concretamente, estas dimensiones son la solución de la ecuación

$$ r_1^{D}+r_2^{D}+..+r_n^{D} = 1$$

donde ri es la razón de cada función fi contractiva del IFS.

En los ejemplos que veremos en esta página todas las funciones que conforman los IFS tienen la misma razón de contracción r, por lo que el fractal está formado por n copias de sí mismo a escala r. Por tanto, tendremos

$$ nr^D = 1 $$

$$ r^D = \frac{1}{n}$$

$$ D\cdot ln(r) = -ln(n) $$

$$ D = -\frac{ln(n)}{ln(r)} = \frac{ln(n)}{ln\left(\frac{1}{r}\right)} $$


2. Dimensión de semejanza

Se define la dimensión de semejanza o de homotecia de un fractal autosemejante formado por n copias de sí mismo a escala r como

$$D = \frac{ln(n)}{ln(\frac{1}{r})}$$

Esta definición nos proporciona resultados como:

  • la dimensión de un segmento es 1:

    dimensión de semejanza y de Hausdorff-Besicovitch de fractales autosemejantes: definición y ejemplos

    El segmento de longitud 1, I = [0,1], es un fractal autosemejante formado por 2 copias suyas a escala r = 0.5.

    Luego su dimensión de semejanza es

    $$D = \frac{ln(2)}{ln(2)} = 1$$

  • la dimensión de un cuadrado es 2:

    dimensión de semejanza y de Hausdorff-Besicovitch de fractales autosemejantes: definición y ejemplos

    El cuadrado de lado 1, I2 = [0,1]2, es un fractal autosemejante formado por 4 copias suyas a escala r = 0.5.

    Luego su dimensión de semejanza es

    $$D = \frac{ln(4)}{ln(2)} = 2$$

  • la dimensión de un cubo es 3:

    dimensión de semejanza y de Hausdorff-Besicovitch de fractales autosemejantes: definición y ejemplos

    El cubo de lado 1, I3 = [0,1]3, es un fractal autosemejante formado por 8 copias suyas a escala r = 0.5.

    Luego su dimensión de semejanza es

    $$D = \frac{ln(8)}{ln(2)} = 3$$


3. Ejemplos

En este apartado calculamos la dimensión de Hausdorff de fractales generados por un sistema de funciones iteradas (IFS). Como dijimos en la introducción, en este tipo de fractales la dimensión de Hausdorff coincide con la dimensión de semejanza, así que calcularemos directamente la dimensión de semejanza.

Triángulo de Sierpinski

dimensión de semejanza y de Hausdorff-Besicovitch de fractales autosemejantes: definición y ejemplos

El triángulo de Sierpinski está formado por 3 copias suyas a escala r = 0.5.

Luego su dimensión de semejanza es

$$D = \frac{ln(3)}{ln(2)} \simeq 1.584962500 $$


Curva de Koch

dimensión de semejanza y de Hausdorff-Besicovitch de fractales autosemejantes: definición y ejemplos

La curva de Koch está formada por 4 copias suyas a escala r = 1/3.

Luego su dimensión de semejanza es

$$D = \frac{ln(4)}{ln(3)} \simeq 1.261859507$$


Pentágono de Sierpinski

dimensión de semejanza y de Hausdorff-Besicovitch de fractales autosemejantes: definición y ejemplos

El pentágono de Sierpinski está formado por 5 copias suyas a escala

$$ r = \frac{3-\sqrt{5}}{2} $$

Luego su dimensión de semejanza es

$$D = \frac{ln(5)}{ln(\frac{2}{3-\sqrt{5}})} \simeq 1.672275938$$


Alfombra de Sierpinski

dimensión de semejanza y de Hausdorff-Besicovitch de fractales autosemejantes: definición y ejemplos

La alfombra de Sierpinski está formada por 8 copias suyas a escala r = 1/3.

Luego su dimensión de semejanza es

$$D = \frac{ln(8)}{ln(3)} \simeq 1.892789260$$


Dragón de Heighway

dimensión de semejanza y de Hausdorff-Besicovitch de fractales autosemejantes: definición y ejemplos

El dragón de Heighway está formado por 2 copias suyas a escala

$$ r =\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Luego su dimensión de semejanza es

$$D = \frac{ln(2)}{ln(\sqrt{2})}= 2$$


Fractal de Vicsek

dimensión de semejanza y de Hausdorff-Besicovitch de fractales autosemejantes: definición y ejemplos

El fractal de Vicsek está formado por 5 copias suyas a escala r = 0.3.

Luego su dimensión de semejanza es

$$D = \frac{ln(5)}{ln(3)} \simeq 1.464973520$$



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