Teorema del emparedado o del sándwich

Por definición de límite, para todo \(\varepsilon > 0\) existen \(\delta_1,\delta_2 > 0\) tales que

Sea \(\delta = \min\{\delta_1 ,\delta_2\}\), entonces para \(|x-a|> \delta\) se cumplen

Como \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\), entonces

Por tanto, se tiene

Por lo que

Definimos las sucesiones

Estas sucesiones son de Cauchy por ser convergentes las series.

Dado \(\varepsilon > 0\), como \(A_n\) es de Cauchy, existe \(n_1\in\mathbb{N}\) tal que

Como \(B_n\) también es de Cauchy, existe \(n_2\in\mathbb{N}\) tal que

Por tanto, para \(n> m > \max\{n_0,n_1,n_2\}\),

Como para \(n> n_0\) se cumple

Entonces,

Luego

Con lo que la siguiente sucesión también es de Cauchy:

Lo que implica que la serie \(\sum_{n\in\mathbb{N}} c_n\) también converge.

Por la convergencia de \(\{a_n\}\) y \(\{b_n\}\), dado \(\varepsilon >0\), existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que para \(n\geq m\) se cumple

Por otro lado, para \(n\geq n_0\) se cumple

Luego, para \(n\geq \max\{n_0, m\}\), se tiene

Lo que prueba la convergencia a \(L\) de la sucesión \(\{c_n\}_{n\in\mathbb{N}}\).

Ya vimos con anterioridad que el límite de esta función cuando \(x\) tiende a \(0\) es \(1\). Ahora veremos que el límite es \(0\) cuando \(x\) tiende a \(+\infty\).

Como el seno toma valores en el intervalo \([-1,1]\),

Sólo tenemos que dividir entre \(x\) en esta relación para poder aplicar el teorema.

Como estamos calculando el límite cuando \(x\) tiende a \(+\infty\), podemos considerar \(x>0\) y, por tanto, podemos dividir entre \(x\) sin cambiar los signos de desigualdad:

Como el límite de \(-1/x\) y el de \(1/x\) coinciden y es igual a \(0\), por el teorema del emparedado, tenemos

Acotamos el coseno:

Tenemos que multiplicar por \(x\), pero como \(x\) tiende a \(0\), puede tomar valores positivos y negativos.

Si \(x>0\), entonces

Por el teorema del emparedado,

De forma análoga, si \(x<0\),

Por el teorema del emparedado,

Como los límites laterales coinciden,

Gráfica de la función:

Acotamos el seno:

Multiplicamos por \(-1\):

Sumamos \(3x^2\):

Como \(x^2+1\) siempre toma valores positivos, podemos dividir sin cambiar las desigualdades:

Recordad que el límite (\(x\to\pm \infty\)) de un cociente de polinomios de igual grado es el cociente de sus coeficientes principales:

Por tanto, por el teorema del sándwich,

Podemos asegurar la convergencia de la serie por el teorema del emparedado teniendo en cuenta que

Y que

En efecto,

Por lo que

Acotamos el coseno:

Dividimos entre la raíz de \(n\):

Sumamos 1:

Como las sucesiones \(1-1/\sqrt{n}\) y \(1+1/\sqrt{n}\) convergen a \(1\), por el teorema del emparedado, la sucesión \(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) también converge a \(1\).

Representación: