Teorema del emparedado o del sándwich, con demostración y ejemplos
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Teorema del emparedado o del sándwich

En esta página enunaciamos y demostramos el teorema del emparedado. También, proporcionamos varias versiones y ejemplos de aplicación.

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Enunciado y demostración
  3. Versión para series
  4. Versión para sucesiones
  5. Ejemplos de aplicación

1. Introducción

El teorema del emparedado (también llamado teorema del sándwich, del bocadillo y de encaje, entre otros) es un resultado muy intuitivo y útil a la hora de calcular el límite de algunas funciones.

El teorema afirma que, si dos funciones tienen el mismo límite, entonces las funciones que están comprendidas entre éstas también tienen el mismo límite:

Enunciamos y demostramos el teorema del emparedado para funciones, series y sucesiones. Límite de una función (serie o sucesión) comprendida entre otras dos. Ejemplos de aplicación. Teorema del emparedado, del sándwich, de encaje o del bocadillo. Bachillerato y Universidad. Matemáticas. Análisis de una variable.

Ejemplo de gráficas de funciones encajadas (funciones \(\pm \frac{1}{2x+1}\), \(\pm \frac{1}{2x}\), \(\pm \frac{1}{x}\) y \(\pm \frac{2}{x}\)):

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El ejemplo típico que se utiliza para mostrar la utilidad de este resultado es el cálculo del límite

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Nota: este límite es fácil de calcular, por ejemplo, aplicando la regla de L'Hôpital.

Para demostrar que el límite anterior es igual a 1 sólo hay que tener en cuenta que para \(x\) pequeños,

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2. Enunciado y demostración

Enunciado:

Sean \(f\), \(h\) y \(g\) definidas en un intervalo \(I\) que contiene al punto \(a\) tales que

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siendo

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Entonces,

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Nota: existe una versión más genérica en la que las funciones pueden estar o no definidas en el punto de acumulación \(a\in I\). Omitimos esta versión por su tecnicidad, aunque la usaremos en los ejemplos.

Nota 2: también, existen versiones para series, sucesiones, funciones con varias variables...

Demostración:

Ver demostración

3. Versión para series

Enunciado:

Sean \(\sum_{n\in\mathbb{N}} a_n\) y \(\sum_{n\in\mathbb{N}} b_n\) dos series convergentes y sea \(n_0\in\mathbb{N}\) tal que \(a_n\leq c_n\leq b_n\) para todo \(n\geq n_0\in\mathbb{N}\). Entonces, la serie \(\sum_{n\in\mathbb{N}} c_n\) también converge.

Demostración:

Ver demostración

4. Versión para sucesiones

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También, existe una versión del teorema para sucesiones:

Enunciado:

Sean las sucesiones \(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) y \(\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) convergentes a \(L\) y sea la sucesión \(\{c_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) tal que existe \(n_0\in\mathbb{N}\) de modo que \(a_n\leq c_n\leq b_n\) para \(n\geq n_0\). Entonces, la sucesión \(c_n\) también converge a \(L\).

Demostración:

Ver demostración
X

5. Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1

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Ejemplo 2

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Ejemplo 3

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Solución

Ejemplo 4

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Ejemplo 5

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