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Cálculo de límites

Contenido de esta página:

  • Breve Introducción

  • Inderminaciones y Procedimientos

  • 50 Límites Resueltos paso a paso

1. Introducción

En ocasiones, al calcular límites encontramos ciertas expresiones cuyos valores no conocemos a priori. Son las llamadas indeterminaciones. Para algunas de ellas existen reglas que nos permiten calcular su valor (como en el caso de 1 ). Pero la mayoría de las indeterminaciones no se resuelven de un modo tan directo, sino que debemos realizar una serie de operaciones o cálculos para poder determinar sus valores.

Debemos decir que en realidad, el cálculo diferencial nos proporciona un método muy efectivo y sencillo bajo ciertas condiciones: la Regla de L'Hôpital. Pero no emplearemos esta regla ya que tenemos una sección especialmente dedicada a ella: límites por L'Hôpital.

Veamos cuáles son las indeterminaciones mencionadas anteriormente y algunos procedimientos que se pueden utilizar para resolverlas:

2. Indeterminaciones y Procedimientos

  • Cociente de infinitos:

    $$\frac{\infty}{\infty}$$

    Puede aparecer en cocientes muy variados: polinomios, raíces, exponenciales... En cada caso se procederá de forma distinta.

  • Resta de infinitos del mismo orden:

    $$\infty - \infty$$

    Suele ocurrir cuando tenemos una resta de raíces o de exponenciales. En el primer caso, se multiplica y divide por el conjugado (si las raíces son cuadradas). En el segundo, multiplicamos y dividimos por la exponencial de base mayor.

  • Uno elevado a infinito:

    $$1^\infty$$

    Aplicamos la siguiente fórmula:

    formula indeterminacion 1 elevado a infinito

    donde las funciones f, g y h las conocemos. La fórmula que aplicamos es la segunda igualdad.

  • Cociente de ceros:

    $$\frac{0}{0}$$

    Suele aparecer en los límites en un punto finito cuando el denominador se anula. Normalmente será un polinomio y podremos factorizarlo.

  • Infinito elevado a 0:

    $${\infty}^0$$

    Usamos los logaritmos para aprovechar sus propiedades, que son

    propiedades de los logaritmos

  • Cero elevado a cero:

    $$0^0$$

    Aparece en las exponenciales. Usamos logaritmos como en el caso anterior.

  • Cero por infinito:

    $$0\cdot \infty$$

Otros procedimientos que suelen funcionar:

  • Expresiones con exponenciales

    Sabemos que el orden del infinito de una exponencial es mayor que el de una potencia o el de un logaritmo. Pero si tenemos varias exponenciales, multiplicamos y dividimos por la que tenga mayor base.

  • Sean los polinomios (de grados p y q)

    polinomios

    Entonces,

    teoría para calcular el límite del cociente de polinomios

    Notemos que el resultado del primer caso será infinito, pero multiplicamos por el cociente para saber el signo (positivo o negativo).

X

3. 50 Límites Resueltos

Límite 1

cálculo de límites básicos. Ejercicios resueltos. Sin aplicar la regla de L'Hôpital

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Límite 2

cálculo de límites básicos. Ejercicios resueltos. Sin aplicar la regla de L'Hôpital

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Límite 3

cálculo de límites básicos. Ejercicios resueltos. Sin aplicar la regla de L'Hôpital

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Límite 4

límite al infinito del cociente de polinomios

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Límite 5

cálculo de límites básicos. Ejercicios resueltos. Sin aplicar la regla de L'Hôpital

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Límite 6

cálculo de límites básicos. Ejercicios resueltos. Sin aplicar la regla de L'Hôpital

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Límite 7

cálculo de límites básicos. Ejercicios resueltos. Sin aplicar la regla de L'Hôpital

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Límite 8

límite al infinito del cociente de raíces de distinto grado

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Límite 9

límite 9: límite de un polinomio con una raíz cuadrada

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Límite 10

cálculo de límites básicos. Ejercicios resueltos. Sin aplicar la regla de L'Hôpital

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Límite 11

límite de un polinomio con raíz cuadrada

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Límite 12

límite a menos infinito de un polinomio de grado 6

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Límite 13

cálculo de límites básicos (sin aplicar l'Hôpital)

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Límite 14

cálculo de límites básicos. Ejercicios resueltos. Sin aplicar la regla de L'Hôpital

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Límite 15

cálculo de límites básicos. Ejercicios resueltos. Sin aplicar la regla de L'Hôpital

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Límite 16

límite del cociente de raíces cuadradas

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Límite 17

límite en un punto del cociente de raíces cuadradas

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Límite 18

límite al infinito de una exponencial

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Límite 19

límite del cociente de una raiz cuadrada y un polinomio de grado 2

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Límite 20

límite al infinito de una funcion exponencial

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Límite 21

límite al infinito de una funcion exponencial

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Límite 22

$$ \lim_{x \to 1}\frac{x^2+x-2}{x^2-3x+2}$$

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Límite 23

límite con la indeterminacion 1 elevado a infinito

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Límite 24

límite con la indeterminacion 1 elevado a infinito

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Límite 25

límite con la indeterminacion cociente de infinitos del mismo orden

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Límite 26

límite del cociente de polinomios con logaritmos neperianos

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Límite 27

límite del cociente de polinomios con logaritmos neperianos

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Límite 28

límite de un polinomio con exponencial

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Límite 29

límite de polinomio con exponencial

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Límite 30

límite del producto de polinomio y exponencial

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Límite 31

límite resta de raices cuadradas

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Límite 32

límite resta de raices cuadradas

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Límite 33

límite resta de fracciones con raíces cuadradas y polinomios

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Límite 34

limites de una funcion definida por partes

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Límite 35

límite de la diferencia de raíces cuadradas

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Límite 36

límite de la diferencia de raíces cúbicas

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Límite 37

límite del cociente de raíces cuadradas anidadas

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Límite 38

límite del cociente de exponenciales y raíces cuadradas

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Límite 39

límite del cociente de exponenciales con distintas bases

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Límite 40

límite del cociente de exponenciales con distintas bases

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Límite 41

límite con exponenciales

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Límite 42

límite con exponenciales

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Límite 43

límite de exponenciales

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Límite 44

límite de funcion con raiz cuadrada y logaritmo

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Límite 45

límite de raíz de x-ésima

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Límite 46

cociente de logaritmos elevado a un logaritmo

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Límite 47

indeterminacion infinito elevado a cero

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Límite 48

límite de una funcion por partes

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Límite 49

límite de raices cuadradas anidadas

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Límite 50: dificultad alta

límite de un polinomio elevado a un logaritmo

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