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Ecuaciones exponenciales (con logaritmos)

Contenido de esta página:

1. Introducción

En algunas ecuaciones exponenciales es necesaria la aplicación de logaritmos para poder resolverlas. Esto ocurre básicamente cuando las exponenciales no tienen la misma base. Por ejemplo, la solución de la ecuación \(6^{x+1} = 2^x\) es

Resolución de ecuaciones exponenciales por aplicación de las propiedades de los logaritmos. También aplicamos cambio de variable en alguna de las ecuaciones. Ecuaciones exponenciales resueltas paso a paso. Secundaria. ESO. Bachiller. Bachillerato

En esta página vamos a resolver 10 ecuaciones de este tipo. Para comprender los pasos se necesita conocer la definición y las propiedades de los logaritmos que damos a continuación.

Nota: no calcularemos las soluciones complejas.

2. Definición y propiedades del logaritmo

El logaritmo en base \(b\) del número positivo \(a\) se denota por \(log_b (a)\) y su valor es el número \(c\) al que se debe elevar la base del logaritmo, \(b\), para obtener el número \(a\). Es decir,

$$ log_b(a) = c \Leftrightarrow b^c = a$$


Ejmplos:

  • el logaritmo en base 2 de 8 es 3 porque 2 al cubo es 8:

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  • el logaritmo en base 10 de 100 es 2 ya que 10 al cuadrado es 100:

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  • el logaritmo en base \(e\) (logaritmo natural, \(log_e = ln\)) de \(e^3\) es 3 ya que \(e\) al cubo es \(e^3\):

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Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:

Logaritmo del producto:

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Logaritmo del cociente:

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*Logaritmo de la potencia:

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Cambio de base:

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Propiedad útil en la práctica:

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*La tercera propiedad es principalmente la que facilita la resolución de las ecuaciones exponenciales puesto que permite escribir la incógnita (que está en el exponente) como un factor que multiplica a un número (al logaritmo).

Enlace: demostraciones de las propiedades (final de la página).

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3. 10 Ecuaciones resueltas

Como cada autor emplea una notación, en cada ecuación indicaremos la base del logaritmo que aplicamos para evitar las confusiones. Asimismo, aproximaremos las soluciones para que sea más rápido comprobarlas si se han utilizado logaritmos en bases distintas.

Las primeras ecuaciones las explicaremos más detalladamente.

Ecuación 1

Resolver con logaritmos en base 10:

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Solución

Ecuación 2

La siguiente ecuación se puede resolver sin aplicar logaritmos, pero se pide resolver con logaritmos en base 3:

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Solución

Ecuación 3

Resolver aplicando logaritmos en base 10:

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Solución

Ecuación 4

Resolver aplicando el cambio de variable \(t = 5^x\) y logaritmos en base 5:

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Solución

Ecuación 5

Resolver mediante logaritmos en base 3:

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Solución

Ecuación 6

Resolver aplicando logaritmos en base decimal (base 10):

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Solución

Ecuación 7

Escribir la siguiente ecuación como una ecuación exponencial para resolverla mediante logaritmos en base decimal:

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Solución


Ecuación 8

Resolver mediante el cambio de variable \(t = 2^x\) y aplicando logaritmos en base binaria (base 2):

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Solución

Ecuación 9

Resolver mediante logaritmos naturales (logaritmos en base \(e\), \(ln(x) = log_e (x)\)):

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Solución

Ecuación 10

Resolver mediante logaritmos naturales (logaritmos en base \(e\), \(ln(x) = log_e (x)\)):

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Solución

Más ecuaciones: Ecuaciones exponenciales (PyE).


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