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En algunas ecuaciones exponenciales es necesaria la aplicación de logaritmos para poder resolverlas. Esto ocurre básicamente cuando las exponenciales no tienen la misma base. Por ejemplo, la solución de la ecuación \(6^{x+1} = 2^x\) es
En esta página vamos a resolver 10 ecuaciones de este tipo. Para comprender los pasos se necesita conocer la definición y las propiedades de los logaritmos que damos a continuación.
Nota: no calcularemos las soluciones complejas.
El logaritmo en base \(b\) del número positivo \(a\) se denota por \(log_b (a)\) y su valor es el número \(c\) al que se debe elevar la base del logaritmo, \(b\), para obtener el número \(a\). Es decir,
$$ log_b(a) = c \Leftrightarrow b^c = a$$
Ejmplos:
Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:
Logaritmo del producto: |
Logaritmo del cociente: |
*Logaritmo de la potencia: |
Cambio de base: |
Propiedad útil en la práctica: |
*La tercera propiedad es principalmente la que facilita la resolución de las ecuaciones exponenciales puesto que permite escribir la incógnita (que está en el exponente) como un factor que multiplica a un número (al logaritmo).
Enlace: demostraciones de las propiedades (final de la página).
Como cada autor emplea una notación, en cada ecuación indicaremos la base del logaritmo que aplicamos para evitar las confusiones. Asimismo, aproximaremos las soluciones para que sea más rápido comprobarlas si se han utilizado logaritmos en bases distintas.
Las primeras ecuaciones las explicaremos más detalladamente.
Ecuación 1
Resolver con logaritmos en base 10:
Ecuación 2
La siguiente ecuación se puede resolver sin aplicar logaritmos, pero se pide resolver con logaritmos en base 3:
Ecuación 3
Resolver aplicando logaritmos en base 10:
Ecuación 4
Resolver aplicando el cambio de variable \(t = 5^x\) y logaritmos en base 5:
Ecuación 5
Resolver mediante logaritmos en base 3:
Ecuación 6
Resolver aplicando logaritmos en base decimal (base 10):
Ecuación 7
Escribir la siguiente ecuación como una ecuación exponencial para resolverla mediante logaritmos en base decimal:
Ecuación 8
Resolver mediante el cambio de variable \(t = 2^x\) y aplicando logaritmos en base binaria (base 2):
Ecuación 9
Resolver mediante logaritmos naturales (logaritmos en base \(e\), \(ln(x) = log_e (x)\)):
Ecuación 10
Resolver mediante logaritmos naturales (logaritmos en base \(e\), \(ln(x) = log_e (x)\)):
Más ecuaciones: Ecuaciones exponenciales (PyE).
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