Como cada autor emplea una notación, en cada ecuación indicaremos la base del logaritmo que aplicamos para evitar las confusiones. Asimismo, aproximaremos las soluciones para que sea más rápido comprobarlas si se han utilizado logaritmos en bases distintas.
Las primeras ecuaciones las explicaremos más detalladamente.
Ecuación 1
Resolver con logaritmos en base 10:
Solución
Escribiremos el logaritmo en base 10 sin indicar explícitamente la base (es lo habitual).
Aplicamos logaritmos en base 10:
Escribimos los exponentes fuera de los logaritmos (multiplicando):
Calculamos los productos:
Escribimos en el lado izquierdo los elementos en los que aparece la incógnita y los otros en el lado derecho:
Extraemos el factor común \(x\) en el lado izquierdo:
Aplicamos la propiedad de la resta de logaritmos:
Finalmente, aislamos la incógnita:
Ecuación 2
La siguiente ecuación se puede resolver sin aplicar logaritmos, pero se pide resolver con logaritmos en base 3:
Solución
Aplicamos logaritmos en base 3:
Escribimos los exponentes fuera de los logaritmos:
Calculamos los logaritmos:
Por tanto, la ecuación queda como
Y la solución es
Ecuación 3
Resolver aplicando logaritmos en base 10:
Solución
Aplicamos logaritmos de base 10:
El logaritmo del lado derecho podemos escribirlo como una suma:
Extraemos los exponentes de los logaritmos:
Escribimos en el lado izquierdo los sumandos que tienen la incógnita:
Finalmente, extraemos factor común y despejamos la incógnita:
Ecuación 4
Resolver aplicando el cambio de variable \(t = 5^x\) y logaritmos en base 5:
Solución
No podemos resolver la ecuación aplicando logaritmos directamente porque tendríamos una resta en el argumento:
Las propiedades de los logaritmos no permiten simplificar el logaritmo de la izquierda. Además, en la derecha tenemos un argumento negativo.
Si aplicamos el cambio de variable \(t = 5^x\), entonces \(5^{2x}\) queda como
Con lo que la ecuación resultante es
Es una ecuación de segundo grado cuya única solución es \(t = 4\).
Deshacemos el cambio de variable:
Aplicamos logaritmos en base 5 para resolver la ecuación exponencial que hemos obtenido:
Ecuación 5
Resolver mediante logaritmos en base 3:
Solución
Aplicamos directamente logaritmos en base 3:
El logaritmo de la derecha puede escribirse como una suma:
Escribimos los exponentes fuera de los logaritmos:
Aislamos la incógnita:
Ecuación 6
Resolver aplicando logaritmos en base decimal (base 10):
Solución
Simplificamos la ecuación antes de aplicar logaritmos. El segundo sumando de la izquierda puede escribirse como
Operamos un poco en la ecuación:
Aplicamos logaritmos en base decimal:
Operando de forma similar a las ecuaciones anteriores,
Ecuación 7
Escribir la siguiente ecuación como una ecuación exponencial para resolverla mediante logaritmos en base decimal:
Solución
Lo único que debemos hacer es escribir la raíz cuadrada como una potencia:
La ecuación exponencial es
Aplicamos logaritmos en base decimal:
Simplificamos la ecuación aplicando las propiedades:
Aislamos la incógnita en el lado izquierdo:
Luego la solución es
Ecuación 8
Resolver mediante el cambio de variable \(t = 2^x\) y aplicando logaritmos en base binaria (base 2):
Solución
Aplicamos el cambio de variable \(t = 2^x\):
Luego la ecuación resultante es
Las dos soluciones de la ecuación de segundo grado son
Deshacemos el cambio de variable:
Finalmente, aplicamos logaritmos binarios para resolver las ecuaciones exponenciales obtenidas.
Primera ecuación:
Segunda ecuación:
La ecuación exponencial inicial tiene dos soluciones.
Ecuación 9
Resolver mediante logaritmos naturales (logaritmos en base \(e\), \(ln(x) = log_e (x)\)):
Solución
Aplicamos logaritmos naturales directamente:
Podemos simplificar un poco más la solución escribiendo 9 como \(3^2\):
Ecuación 10
Resolver mediante logaritmos naturales (logaritmos en base \(e\), \(ln(x) = log_e (x)\)):
Solución
Aplicamos logaritmos naturales:
Tenemos una ecuación de segundo grado siendo sus coeficientes los siguientes:
Utilizaremos la fórmula cuadrática para hallar sus soluciones:
El término \(b^2\) es
El término \(a\cdot c\) es
Por tanto, el radicando es
Hemos escrito el radicando como el desarrollo de una suma al cuadrado (completación de cuadrados):
Por tanto, el radicando es
Utilizamos la fórmula para hallar las soluciones:
Por tanto, la ecuación exponencial tiene dos soluciones
Aproximamos:
Más ecuaciones: Ecuaciones exponenciales (PyE).
