Ecuaciones exponenciales

Podemos escribir 27 como la potencia \( 3^3 = 27 \). De este modo, la ecuación queda como

Tenemos una igualdad entre dos potencias con la misma base. Para que la igualdad sea cierta, ambas potencias deben tener el mismo exponente:

Escribimos 16 como una potencia de 2:

Podemos reescribir la ecuación como

Por tanto, igualando los exponentes,

Luego la solución de la ecuación exponencial es \(x = 2\).

Escribimos 64 como una potencia de 2:

Operamos en la ecuación usando las propiedades de las potencias

Por tanto, obtenemos una ecuación de primer grado:

Aplicando las propiedades de las potencias,

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

De este modo podemos extraer factor común de \(2^x\):

Es decir, la solución es \( x = 3\).

Reescribimos los sumandos de la ecuación:

Luego podemos reescribir la ecuación como

Tal y como está escrita la ecuación, podemos considerar la base común \(3^x\). Como una de estas potencias está al cuadrado, aplicamos el cambio de variable siguiente

Sustituyendo en la ecuación obtenemos

Es decir, una ecuación de segundo grado

Multiplicamos por 9 la ecuación para simplificarla:

Las soluciones de esta ecuación son:

Por tanto, tenemos que

Al deshacer el cambio de variable,

La segunda opción no es posible porque es negativa (las potencias de 3 no pueden ser negativas). Por tanto, la única solución, \(x\), de la ecuación exponencial debe cumplir

De donde obtenemos

Reescribimos los sumandos:

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Sea el cambio de variable

Sustituyendo en la ecuación obtenemos una ecuación de segundo grado

cuyas soluciones son

Por tanto, tenemos que

Al deshacer el cambio de variable,

La segunda solución no es posible porque es negativa, pero la primera sí. Luego debe cumplirse

Por tanto, la solución de la ecuación exponencial es \( x = -1\).

Operamos para tener potencias con la misma base:

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Aplicamos un cambio de variable:

Substituimos y obtenemos la ecuación de segundo grado

cuyas soluciones son

Por tanto,

La segunda solución no es posible por ser negtiva. Por tanto,

Es decir, debe cumplirse

Escribimos \( 9^{x+1}\) como una potencia de base 3:

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Llamamos

Substituimos y obtenemos la ecuación de segundo grado

La resolvemos

Por tanto,

Notemos que

Con lo que ambas son potencias de 3. Luego la ecuación exponencial tiene dos soluciones y son

Escribimos las exponenciales como potencias de base 2:

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Llamamos

Substituimos en la ecuación exponencial y obtenemos la ecuación de segundo grado

Resolvemos

Por tanto, como \( t = 2^x\),

Las soluciones \(t =0\) y \(t = -4\) no son posibles por ser una cero y la otra negativa. Luego la única solución solución es

Podemos escribir 1 como una potencia de 10:

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Por tanto, debe cumplirse

Tenemos en cuenta que

Podemos reescribir la ecuación como

Llamamos

Substituimos en la ecuación exponencial y obtenemos la ecuación de segundo grado

Resolvemos

Por tanto,

La primera, \( 5^x= 0\), no es posible por ser cero.

Luego

Teniendo en cuenta que

podemos reescribir la ecuación como

Aplicaremos el cambio de variable

lo que proporciona la ecuación de segundo grado

Resolvemos la ecuación:

Por tanto, debe cumplirse

La primera igualdad no es posible por ser cero.

Por tanto, la solución de la ecuación exponencial es \(x = 1\).

Tenemos en cuenta que

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Como tenemos una exponencial dividiendo, multiplicamos toda la ecuación por ésta y así desaparece el denominador:

Llamamos

Substituyendo, obtenemos la ecuación de segundo grado

La resolvemos:

Por tanto, debe cumplirse

La segunda no es posible por ser negativa.

Finalmente, deshacemos el cambio de variable:

Las bases son distintas: 2, 4 y 8. Pero las tres son potencias de 2.

Tenemos en cuenta que

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Aplicamos el cambio de variable \( t = 2^x \):

Sustituyendo, obtenemos la ecuación de cuarto grado

La resolvemos por factorización:

La primera no es posible por ser cero. Por tanto,

Tenemos en cuenta que

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Como tenemos una exponencial dividiendo, multiplicamos toda la ecuación por ésta y así desaparece el denominador:

Llamamos

Substituimos y obtenemos la ecuación de tercer grado

Resolvemos:

Aplicamos la regla de Ruffini:

Una solución es t = 4. Calculamos las otras dos:

Pero éstas no son soluciones posibles ya que son negativas. Por tanto,

Reescribimos la ecuación

Por tanto, la ecuación exponencial se reduce a una de primer grado:

En esta ecuación, la base de las potencias es el número \(e\), pero se procede del mismo modo que en los casos anteriores.

Reescribimos la ecuación

Como tenemos una exponencial en un denominador, multiplicamos toda la ecuación por ésta para que desaparezca el denominador:

Por tanto,

Tenemos en cuenta que

Reescribimos la ecuación como

Operamos:

Por tanto,

Tenemos en cuenta que

Con lo que podemos reescribir la ecuación como

Llamamos

Obtenemos la expresión

Vamos a definir

Y notemos que

Vamos a suponer que \( k = 1\). La ecuación resultante es

Con lo que

Y esto no es posible.

Supongamos ahora que \( k = -1\). La ecuación resultante es

Una solución es \(t = 0\) que, como antes, no es posible. La otra es

Pero hemos supuesto que \(k = -1\) y tenemos que comprobar es cierto:

Como es hay ningún problema, la solución de la ecuación exponencial es \(x = 2\).

Al escribir la raíz como una potencia, la ecuación queda como

Escribimos \(25 = 5^2\) y aplicamos las propiedades de las potencias:

Por tanto, tenemos la ecuación

La resolvemos:

Escribimos las raíces en forma de potencias:

Igualamos los exponentes:

Por tanto, tenemos dos soluciones:

$$ x = 0,\ x = -2 $$

Escribimos las raíces en forma de potencias:

Igualamos los exponentes:

Escribimos las raíces en forma de potencia y operamos:

Igualando los exponentes, obtenemos una ecuación de primer grado:

Resolvemos la ecuación obteniendo la solución de la ecuación exponencial:

Escribimos la raíz en forma de potencia. La ecuación queda como:

Igualamos los exponentes:

Tengamos en cuenta que x no puede ser 0 porque está en un denominador. Esto nos permite multiplicar por \( x\). Obtenemos una ecuación de tercer grado:

Resolvemos por Ruffini

Una raíz es x = 2. Calculamos las otras:

No hay raíces reales. Por tanto, la única solución de la ecuación exponencial es \(x = 2\).

Escribimos la raíz en forma de potencia. La ecuación queda como:

Podemos escribir -8 como \(-8 = (-2)^3\). Así,

Igualamos los exponentes: