Logaritmos: Ecuaciones, Sistemas y Demostraciones

En cuanto a las aplicaciones de los logaritmos, podemos comentar que se usan con frecuencia en la física. Aparecen, por ejemplo, para calcular la magnitud aparente de un cuerpo celeste (medida de la cantidad de luz que percibimos); la magnitud de un terremoto en la escala de Richter; la edad (el tiempo transcurrido) en la datación radiométrica (como la prueba del carbono 14); y el pH.

En las Matemáticas, la importancia de los logaritmos radica en que facilitan la resolución de algunos tipos de ecuaciones o problemas, por ejemplo, las ecuaciones exponenciales. Esto se debe, sobre todo, a sus propiedades porque permiten simplificar considerablemente las ecuaciones.

Recordad que el logaritmo en base \(b\) de una potencia de \(b\) es su exponente:

$$ \log_b (b^a) = a $$

1. Escribimos 4 como \(2^2\):

   $$ \log_2(4) = $$

   $$ = \log_2(2^2) = 2 $$

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2. Escribimos 9 como \(3^2\):

   $$ \log_3(9) = $$

   $$ = \log_3 (3^2) = 2$$

   ---

3. Escribimos 32 como la potencia \(2^5\):

   $$ \log_2 (32) = $$

   $$ = \log_2(2^5) = 5 $$

   ---

4. Escribimos 1000 como la potencia \(10^3\):

   $$ \log(1000) =$$

   $$ = \log_{10} (1000)= $$

   $$ = \log_{10}(10^3) =3 $$

   ---

5. El número decimal 0.8 es la fracción \(8/10\):

   $$ \log_2(0.8) = $$

   $$ =\log_2 \left( \frac{8}{10} \right) =$$

   $$ = \log_2 (8) - \log_2(10) = $$

   $$ = \log_2 (2^3) - \log_2(2·5) = $$

   $$ = 3 -( \log_2 (2·5) ) = $$

   $$ = 3 - (\log_2(2) + \log_2(5))= $$

   $$ = 3 - (1+\log_2(5)) = $$

   $$ = 2 -\log_2(5) $$

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6. Escribimos el argumento como una potencia de 7:

   $$ \log_7(\sqrt{7}) = \log_7(7^{\frac{1}{2}}) = $$

   $$ =\frac{1}{2} \cdot \log_7(7) = $$

   $$= \frac{1}{2}\cdot 1 $$

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7. Escribimos la raíz como una potencia para extraer su exponente:

   

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8. Cambiamos el logaritmo a base 10:

   

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9. Escribimos \(25\) como una potencia:

   

Lo primero que hacemos es escribir el número 3 como un logaritmo en base 10:

$$ \log (1000) = \log (10^3) = 3$$

La ecuación que queda es:

$$ \log x + \log 20 = \log 1000 $$

$$ \log x = \log 1000 - \log 20 $$

Aplicamos la propiedad de la resta de logaritmos:

$$ \log x = \log \left( \frac{1000}{20} \right) $$

$$ \log x = \log 50 $$

Tenemos una igualdad entre logaritmos (en la misma base), entonces los argumentos (lo de dentro) tienen que ser iguales:

La solución es \(x = 50\).

Escribimos 3 como un logaritmo:

$$3=\log(10^3)=\log(1000)$$

Esto nos permitirá sumar los logaritmos:

Los logaritmos son iguales cuando sus argumentos iguales. Es decir, tenemos la ecuación

Resolvemos la ecuación:

El denominador pasa multiplicando al otro lado:

Ahora tenemos que comprobar que los argumentos son positivos para la solución obtenida (para que existan los logaritmos):

$$x+1 = \frac{1001}{99} > 0 $$

$$x-1 = \frac{1001}{99}-1 \simeq 0.002 > 0 $$

Por tanto, la solución de la ecuación logarítmica es \(x = 1001/999\).

El 2 que multiplica al logaritmo puede introducirse como el exponente de su argumento. Así, podremos sumar los logaritmos:

Recordad que un logaritmo es 0 cuando su argumento es 1, por tanto, igualamos el argumento a 1 y resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:

Observad que la única solución posible es \(x = 3\) ya que los argumentos tienen que ser positivos.

Escribimos 1 como el logaritmo de 10 para poder aplicar las propiedades de los logaritmos e igualar los argumentos:

La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 1/9\).

El 2 que multiplica al logaritmo puede entrar como exponente de su argumento:

$$ \log(x^2) = \log(x-6) $$

Igualamos los argumentos:

$$ x^2 = x - 6 $$

Resolvemos la ecuación de segundo grado completa:

$$ x^2 -x + 6 = 0 $$

$$ x=\frac{1\pm \sqrt{1-24}}{2} $$

Como el discriminante es negativo (-23), no hay soluciones (reales). Por tanto, la ecuación logarítmica no tiene solución (real).

Al escribir la resta de logaritmos como un único logaritmo, tenemos una igualdad entre logaritmos y, por tanto, podemos igualar sus argumentos:

La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 9\).

En el caso de poder escribir 4 como un logaritmo en base 3, sería fácil obtener una igualdad entre dos logaritmos. Sin embargo, no estamos en este caso.

Aplicaremos un razonamiento parecido: si dos números son iguales, 3 elevado a dichos números tiene que tener el mismo resultado. Es decir,

Observad que en hemos igualado los exponentes en lugar de igualar los argumentos.

La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 81\).

Procedemos del mismo modo que en la ecuación anterior (elevando la base e igualando los exponentes):

La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 1/2\).

También podríamos haber escrito -1 como un logaritmo en base 2:

$$ \log_2(x) = -1 $$

$$ \log_2 (x) = \log_2 (2^{-1}) $$

Igualamos argumentos:

$$ x = 2^{-1} = \frac{1}{2} $$

Nota: recordad que para poder igualar los argumentos, los logaritmos tienen que tener la misma base.

Escribimos el coeficiente 3 como el exponente del argumento y elevevamos 3:

La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 10\).

Como los dos números son iguales (el logaritmo y el -10), entonces si elevamos la base del logaritmo (es 10) a dichos números, las potencias son también iguales:

$$ 10^{\log(x^2)} = 10^{-10} $$

$$ x^2 = 10^{-10} = \frac{1}{10^{10}} $$

Por tanto, haciendo la raíz cuadrada:

$$ x = \pm \sqrt{\frac{1}{10^{10}}} = $$

$$ = \pm \frac{1}{10^5} $$

Como el argumento del logaritmo es \(x\) al cuadrado, ambas soluciones son soluciones de la ecuación logarítmica (el cuadrado de un negativo es positivo).

Escribimos el número 3 como un logaritmo en base 5:

$$ 3 = \log_5 (5^3) = \log_5(125) $$

Así, podemos conseguir una igualdad entre logaritmos con la misma base:

La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 25/6\).

Escribimos 1 como el logaritmo \(\log(10)\) y operamos un poco para obtener una igualdad entre logaritmos:

La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 20\).

Escribir 3 como el logaritmo \(\log(1000)\), restamos los logaritmos e igualamos los argumentos:

La única solución de la ecuación logarítmica es \(x = 1000\) ya que el argumento de un logaritmo nunca puede ser cero.

Escribimos 4 como un logaritmo:

$$ \log(10000) = \log(10^4) = 4 $$

Entonces,

Igualamos los argumentos (lo de dentro del logaritmo) y resolvemos la ecuación de segundo grado:

Por tanto, los argumentos coinciden cuando \(x = 3\) o cuando \(x = 2\). Pero recordad comprobar que los argumentos de son positivos para estos valores de \(x\).

Las soluciones de la ecuación logarítmica son \(x = 3\) y \(x = 2\).

Los coeficientes 4 y 2 pueden entrar dentro de los logaritmos como exponentes; el 2 de la derecha lo escribimos como \(\log(100)\):

De las tres posibles soluciones, la única que es solución de la ecuación logarítmica es \(x = 20\) porque las otras hacen que los argumentos sean negativos ó 0.

Introducimos el 2 como exponente del argumento e igualamos los argumentos:

Comprobamos que el argumento \(5x-6\) es positivo para las dos soluciones obtenidas:

Las dos raíces de la ecuación son soluciones de la ecuación logarítmica.

Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación de segundo grado:

Las dos raíces obtenidas son solución de la ecuación logarítmica.

Antes que nada, observad que el argumento del logaritmo del denominador no puede ser 1 (para no dividir entre 0).

Pasamos el logaritmo del denominador multiplicando al otro lado, elevamos al cuadrado su argumento e igualamos los argumentos:

La única solución es \(x = 12/5\) porque si \(x = 0\), el argumento del logaritmo del denominador es negativo:

Al introducir el 3 en el argumento podemos restar dos logaritmos:

La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 2\).

Observad que \(x\) no puede ser 0.

Escribimos 2 como \( \log 100\), introducimos el otro 2 en el argumento y operamos un poco:

La única solución de la ecuación logarítmica es \(x = 10\).

El 2 de la derecha lo podemos escribir como un logaritmo:

Sumaremos los logaritmos de la izquierda y restaremos los de la derecha:

Como tenemos una igualdad entre logaritmos, igualamos sus argumentos y resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:

Comprobamos si los argumentos son positivos para estas dos (posibles) soluciones :

Por tanto, la única solución es \(x = 2\).

Escribimos 1 como el logaritmo \( \ log 10 \):

Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:

Comprobamos que los argumentos son positivos para la solución obtenida:

La solución de la ecuación logarítmica es \(x = 4\).

Escribimos 1 como el logaritmo \( \log 10\):

Igualamos los argumentos y resolvemos la ecuación:

Comprobamos si los argumentos de los logaritmos son positivos cuando \(x = 20\):

En esta ecuación tenemos la incógnita en la base del logaritmo. Lo que haremos es usar la definición del logaritmo para calcularla. Es decir, usaremos la siguiente propiedad:

$$ \log_b (a) = c \Leftrightarrow b^c = a $$

Aplicamos el cambio de variable:

obteniendo el sistema de ecuaciones lineales

Resolvemos el sistema y deshacemos el cambio de variable:

Nótese que la primera ecuación del sistema no es logarítmica.

Aislamos x en la primera ecuación y la sustituimos en la segunda:

Este sistema es similar al anterior:

Aplicamos el cambio de variable

El sistema de ecuaciones lineales resultante es

La solución de este sistema es:

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la solución del sistema inicial:

Aislamos \(x\) en la primer ecuación, sustituimos en la segunda y resolvemos la ecuación logarítmica:

Aplicamos el cambio de variable

El sistema que obtenemos es

La solución del sistema es

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos la solución del sistema de ecuaciones logarítmicas:

Aplicamos el siguiente cambio de variable:

El sistema resultante es

La solución de este sistema es:

Ahora deshacemos el cambio de variable y obtenemos la solución del sistema inicial:

Aplicamos un cambio de variable:

Así obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

cuya solución es

Finalmente, deshacemos el cambio de variable

No es necesario comprobar el signo de los argumentos ya que los valores obtenidos son positivos.

Primero aplicamos la regla del logaritmo del cociente:

Aplicamos un cambio de variable:

Así obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

cuya solución es

Finalmente, deshacemos el cambio de variable

No hace falta comprobor el signo de los argumentos.

Aplicamos la propiedad del logaritmo del producto:

Ahora aplicamos el cambio de variable

Obteniendo así el sistema

cuya solución es

Finalmente, deshacemos el cambio de variable

No es necesario comprobar el signo de los argumentos.

Aplicamos la propiedad del logaritmo del cociente y de la potencia:

Ahora aplicamos el cambio de variable

Obteniendo así el sistema

cuya solución es

Finalmente, deshacemos el cambio de variable

Definimos

$$ x = \log_b (a\cdot c) $$

Por tanto, la potencia \(b^x\) es

$$ b^x = b^{\log_b (a\cdot c)} = a\cdot c $$

Pero como \(a = b^{\log_b (a)}\) y \(c = b^{\log_b (c)}\), entonces

$$ b^x = b^{\log_b (a)} \cdot b^{\log_b (c)} $$

Los exponentes se suman porque la base es la misma:

$$ b^x = b^{\log_b (a) + \log_b (c)} $$

De donde tenemos que \(x\) es

$$ x = \log_b (a) + \log_b (c) $$

Definimos

$$ x = \log_b \left( \frac{a}{c}\right) $$

Por tanto, la potencia \(b^x\) es

$$ b ^x = b^{\log_b \left( \frac{a}{c}\right)} = \frac{a}{c}$$

Pero como \(a = b^{\log_b (a)}\) y \(c = b^{\log_b (c)}\), entonces

$$ b^x = \frac{b^{\log_b (a)}}{b^{\log_b (c)}} $$

Los exponentes se restan porque la base es la misma:

$$ b^x = b^{\log_b (a) - \log_b (c)} $$

De donde tenemos que \(x\) es

$$ x = \log_b (a) - \log_b (c) $$

Definimos

$$ x = \log_b (a^c) $$

Entonces, la potencia \(b^x\) es

$$ b ^x = b^{\log_b (a^c)} = a^c $$

Pero como \(a = b^{\log_b (a)}\), entonces

$$ b^x = \left( b^{\log_b (a)} \right)^c$$

Los exponentes se multiplican (potencia de una potencia):

$$ b^x = b^{c\cdot \log_b (a)} $$

De donde tenemos que \(x\) es

$$ x = c\cdot \log_b (a) $$

Definimos

$$ x = \log_b (a) $$

Entonces, la potencia \(b^x\) es

$$ b ^x = b^{\log_b (a)} = a $$

Aplicamos logaritmos en ambos lados de la igualdad:

$$ \log_c (b^x) = \log_c (a) $$

Por la propiedad anterior, el exponente sale del argumento multiplicando al logaritmo:

$$ x\cdot \log_c (b) = \log_c (a) $$

Aislamos \(x\):

$$ x = \frac{\log_c (a)}{\log_c (b)} $$

Cambiamos la base del logaritmo \( \log_b a\):

$$ \log_b a = \frac{\log_a a}{\log_a b} = \frac{1}{\log_a b} $$

Hemos llamado esta propiedad inverso del logaritmo ya que hemos calculado el inverso de \(\log_a b\):

$$ (\log_a b)^{-1} = \frac{1}{\log_a b} = \log_b a$$