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En esta página definimos sector circular y proporcionamos las fórmulas para calcular el área (en ángulos, en radianes y en función del arco) y el perímetro. Después, resolvemos 5 problemas de aplicación.
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Un sector circular es la porción de un circulo delimitada por dos radios \(R\) y un arco de circunferencia \(L\):
El ángulo \(\alpha \) es el ángulo que hay entre los dos radios del sector (amplitud del ángulo central del sector).
Si el ángulo es \(\alpha =2\pi\) radianes (ó 360 grados), el sector circular es un círculo completo.
El sector circular centrado en el origen, con radios \(R> 0\) y ángulo 0\(< \alpha ≤ 2\pi\) es el conjunto de puntos \( (a·cos(t),a·sin(t))\) del plano tales que \(a\in [0,R]\) y \(t \in [\alpha_1, \alpha_2 ]\), siendo \(\alpha = \alpha_2-\alpha_1\). Los ángulos \(\alpha_1\) y \(\alpha_2\) son los ángulos que forman los radios del sector circular con respecto al eje de abscisas.
Tenemos 3 fórmulas para calcular el área de un sector circular. Dos de ellas dependen del ángulo \(\alpha \) del sector (una en grados y la otra en radianes). La otra fórmula es en función de la longitud del arco \(L\) del sector.
Notación:
Llamaremos \(\alpha ^\circ\) al ángulo expresado en grados y
\(\beta \) al ángulo expresado en radianes.
Los radios del sector serán \(R\) y
la longitud del arco del sector será \(L\).
El perímetro de un sector circular es la suma de los radios \(R\) y de la longitud del arco \(L\):
Recordatorio: la longitud del arco de circunferencia con ángulo \(\alpha^\circ\) en grados es
Y con ángulo \(\beta\) en radianes es
Problema 1
Calcular el área del sector circular de una circunferencia de radio 1 metro y ángulo
Problema 2
Calcular el perímetro de los sectores circulares del problema anterior.
Problema 3
Calcular en grados y en radianes el ángulo del sector circular con área igual a \(6\pi cm^2\) de un circulo cuyo perímetro es \(4\pi \sqrt{2}\cdot cm\).
Problema 4
Demostrar la fórmula (con ángulo en grados) del área del sector circular a partir de la fórmula del área de un círculo (\(\pi R^2\)).
Problema 5
Demostrar la fórmula del área del sector circular con ángulo en radianes (utilizar la fórmula del Problema 4):
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