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Ficha descriptiva del pentágono regular
Problemas resueltos ordenados de
menor a mayor dificultad. En el problema 6 se demuestra la fórmula del área.
1. Ficha descriptiva:
2. Problemas resueltos
Problema 1
![Pentágono regular de lado 1.5cm y apotema 1.03cm Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/Preg1.png)
Calcular el perímetro de un pentágono regular de lado 1.5cm y apotema 1.03cm.
Ver solución
Para calcular el perímetro sólo necesitamos saber
la longitud de los lados. Como hay cinco lados y todos miden
1.5cm, el perímetro es
![calculamos el perímetro del pentágono regular de lado 1.5cm Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P1-1.png)
Por tanto, el perímetro del pentágono es 7.5cm.
Problema 2
Calcular el área del pentágono del problema anterior.
Ver solución
Para calcular el área necesitamos la longitud de los lados y de
la apotema. Sólo tenemos que aplicar la fórmula
del área:
![fórmula del área de un pentágono regular Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P2-1.png)
Sustituimos los datos:
![calculamos el área del pentágono regular sustituyendo los datos Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P2-2.png)
Luego el área del pentágono es 3.86cm2.
Nota: no olvidemos escribir
las unidades al cuadrado porque son
unidades de área.
Problema 3
Si el área de un pentágono regular es 5m2 y su apotema mide 1.17m, ¿cuánto miden sus lados?
Ver solución
Como el pentágono es regular, su área viene dada por la fórmula
![fórmula del área de un pentágono regular Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P2-1.png)
Como sabemos que el área es 5m2 y
que la apotema mide 1.17m, al sustituir en la fórmula anterior,
tenemos
![ecuación cuya incógnita es el lado del pentágono regular Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P3-2.png)
De la expresión anterior podemos despejar L,
que es la longitud de los lados del pentágono:
![despejamos el lado de la ecuación: L = 1.71 m Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P3-3.png)
Como el área es en metros cuadrados, la medida obtenida es en
metros.
Luego los lados del pentágono miden 1.71m.
Problema 4
Calcular el área de un pentágono regular cuyo perímetro es 87,5 m y cuya apotema mide 12,04 m.
Ver solución
La fórmula del área del pentágono es
![fórmula del área de un pentágono regular Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P2-1.png)
De la fórmula sólo conocemos la apotema:
![apotema = 12.04 m Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P4-2.png)
Por tanto, necesitamos calcular el lado del
pentágono, L, para poder calcular su área.
La fórmula del perímetro del pentágono es
![fórmula del perímetro del pentágono Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P4-3.png)
y sabemos que éste es 87.5m. Por tanto, tenemos la ecuación
![ecuación en la que aparece el lado: 87.5 = 5L Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P4-4.png)
De donde podemos despejar el lado:
![despejamos el lado: L = 17.5m Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P4-5.png)
Ahora ya podemos calcular el área del pentágono:
![calculamos el área del pentágono: 526.75 cm^2 Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P4-6.png)
Luego el área del pentágono es 526.75m2.
Problema 5
El siguiente pentágono regular cuya apotema mide 2.06m está inscrito en
una circunferencia de diámetro 5.1m:
![pentágono regular cuya apotema mide 2.06 m inscrito en una circunferencia de diámetro 5.1 m Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/Preg5-2.png)
Hallar su perímetro.
Ver solución
Para calcular el perímetro necesitamos calcular el lado del pentágono.
El diámetro es dos veces el radio de la circunferencia, así que el radio es
![calculamos el radio de la circunferencia R = 2.55m Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P5-1.png)
El radio coincide con el segmento que une el
vértice del pentágono con su centro.
![triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide R, uno de los catetos es la apotema y el otro cateto es la mitad del lado del pentágono Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/Preg5-3.png)
Por tanto, tenemos un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa mide R, uno de los catetos es
la apotema y el otro cateto es la mitad del lado
del pentágono.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
![Aplicamos el teorema de Pitágoras Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P5-2.png)
Despejamos el lado:
![Despejamos el lado Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P5-3.png)
Sustituimos los valores:
![Sustituimos los valores: L = 3 m Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P5-5.png)
Luego el lado del pentágono mide 3 metros y, por tanto, su perímetro es de 15 metros:
![el perímetro es de 15 metros Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P5-6.png)
Problema 6 (dificultad alta)
Demostrar que la fórmula del área de un pentágono regular es
![fórmula del área de un pentágono regular Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P2-1.png)
Ver solución
![pentágono regular formado por 5 triángulos de atura ap y base L Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/Preg6.png)
Observando la figura podemos deducir que el área del pentágono regular es cinco veces el área del triángulo rojo.
Calculamos el área del triángulo:
La base del triángulo coincide con el lado del
pentágono y su altura coincide con la apotema.
Por tanto, su área es
![calculamos el área del triángulo Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P6-2.png)
Multiplicando por 5 obtenemos el área del pentágono:
![Multiplicando por 5 obtenemos el área del pentágono regular Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P6-3.png)
Problema 7
La longitud de la apotema de un pentágono regular
depende del lado del pentágono. Esto significa que
no puede haber dos pentágonos regulares cuyos lados
midan lo mismo pero sus apotemas no.
Encontrar una expresión en función del lado para la
longitud de la apotema.
Ver solución
![triángulo rectángulo dentro del pentágono regular Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/Preg7.png)
En la figura se han representado la apotema (ap) y el lado del
pentágono (L).
El segmento h es la hipotenusa del triángulo rectángulo
cuyos catetos son ap y L/2.
En la figura se ha representado uno de los ángulos del triángulo.
Éste mide 54° puesto que es la mitad de uno de
los ángulos interiores del pentágono (miden 108°).
Como uno de los ángulos del triángulo es recto (es decir, 90°),
podemos calcular el otro (ya que la suma de los tres
ángulos debe ser 180°):
![calculamos el ángulo: 180º-54º-90º = 36º Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P7-1.png)
Por tanto, tenemos el siguiente triángulo:
![triángulo rectángulo cuyos catetos son ap y L/2 Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/Preg7-1.png)
Como el triángulo es rectángulo, podemos aplicar Pitágoras obteniendo
![apotema = raíz cuadrada de (h^2 - L^2/4) Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P7-2.png)
Para expresar la apotema en función del lado debemos escribir también
la hipotenusa en función del lado. Para ello, podemos aplicar,
por ejemplo, el teorema del seno:
![aplicamos el teorema del seno Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P7-3.png)
Nos quedamos con la segunda igualdad:
![h = L/(2sin(36º) Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P7-4.png)
Sustituimos en la expresión obtenida anteriormente:
![Sustituimos en la expresión obtenida anteriormente Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P7-5.png)
Por tanto, la apotema de un pentágono regular de lado L mide
![fórmula de la apotema de un pentágono regular de lado L Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P7-6.png)
Podemos aproximar el seno y la raíz para simplificar la fórmula:
![la apotema del pentágono regular es ap = 0.6882·L Problemas resueltos de pentágonos regulares: calcular perímetro, área, apotema, demostrar la fórmula del área, etc. Polígonos. Secundaria.](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/poligonos/pentagono/P7-7.png)
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