Pentágono regular

Para calcular el perímetro sólo necesitamos saber la longitud de los lados. Como hay cinco lados y todos miden 1.5cm, el perímetro es

Por tanto, el perímetro del pentágono es 7.5cm.

Para calcular el área necesitamos la longitud de los lados y de la apotema. Sólo tenemos que aplicar la fórmula del área:

Sustituimos los datos:

Luego el área del pentágono es 3.86cm².

Nota: no olvidemos escribir las unidades al cuadrado porque son unidades de área.

Como el pentágono es regular, su área viene dada por la fórmula

Como sabemos que el área es 5m² y que la apotema mide 1.17m, al sustituir en la fórmula anterior, tenemos

De la expresión anterior podemos despejar L, que es la longitud de los lados del pentágono:

Como el área es en metros cuadrados, la medida obtenida es en metros.

Luego los lados del pentágono miden 1.71m.

La fórmula del área del pentágono es

De la fórmula sólo conocemos la apotema:

Por tanto, necesitamos calcular el lado del pentágono, L, para poder calcular su área.

La fórmula del perímetro del pentágono es

y sabemos que éste es 87.5m. Por tanto, tenemos la ecuación

De donde podemos despejar el lado:

Ahora ya podemos calcular el área del pentágono:

Luego el área del pentágono es 526.75m².

Para calcular el perímetro necesitamos calcular el lado del pentágono.

El diámetro es dos veces el radio de la circunferencia, así que el radio es

El radio coincide con el segmento que une el vértice del pentágono con su centro.

Por tanto, tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide R, uno de los catetos es la apotema y el otro cateto es la mitad del lado del pentágono.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Despejamos el lado:

Sustituimos los valores:

Luego el lado del pentágono mide 3 metros y, por tanto, su perímetro es de 15 metros:

Observando la figura podemos deducir que el área del pentágono regular es cinco veces el área del triángulo rojo.

Calculamos el área del triángulo:

La base del triángulo coincide con el lado del pentágono y su altura coincide con la apotema. Por tanto, su área es

Multiplicando por 5 obtenemos el área del pentágono:

En la figura se han representado la apotema (ap) y el lado del pentágono (L). El segmento h es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son ap y L/2.

En la figura se ha representado uno de los ángulos del triángulo. Éste mide 54° puesto que es la mitad de uno de los ángulos interiores del pentágono (miden 108°).

Como uno de los ángulos del triángulo es recto (es decir, 90°), podemos calcular el otro (ya que la suma de los tres ángulos debe ser 180°):

Por tanto, tenemos el siguiente triángulo:

Como el triángulo es rectángulo, podemos aplicar Pitágoras obteniendo

Para expresar la apotema en función del lado debemos escribir también la hipotenusa en función del lado. Para ello, podemos aplicar, por ejemplo, el teorema del seno:

Nos quedamos con la segunda igualdad:

Sustituimos en la expresión obtenida anteriormente:

Por tanto, la apotema de un pentágono regular de lado L mide

Podemos aproximar el seno y la raíz para simplificar la fórmula: