Problema 1
Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.
Ver solución
Los lados son
$$a = 3 cm\ ,\ b = 4cm$$
Aplicando el teorema de Pitágoras,
Por tanto, la hipotenusa mide 5cm.
Problema 2
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y
uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?
Ver solución
Llamamos a los lados a y b y a la hipotenusa h. Sabemos que
$$h=2\ ,\ a=1 $$
Por Pitágoras, sabemos que
$$h^2 = a^2 + b^2 $$
Sustituyendo los valores conocidos tenemos que
Ahora despejamos b en la ecuación
Hemos escrito los signos positivo y negativo porque es lo
que, en teoría, debemos hacer. Pero como b representa la longitud de un
cateto, no puede ser un número negativo.
Por tanto, el cateto mide
Podemos dejar la raíz cuadrada o aproximarla.
Problema 3
Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden 
y 
.
Ver solución
Llamamos a los catetos a y b y a la hipotenusa h
(no importa el nombre que le demos a cada cateto).
Sabemos que
Por el teorema de Pitágoras, sabemos que
Sustituimos en la ecuación los valores conocidos (a y b), obteniendo:
Recordamos que el cuadrado de una raíz cuadrada es su radicando (lo de dentro de la raíz), por tanto,
Por tanto, la hipotenusa mide aproximadamente 2.24. No indicamos la unidad de medida
(mm, cm, dm, m…) ya que no se indica en el enunciado.
Problema 4 (dificultad muy alta)
Calcular la altura del siguiente triángulo sabiendo que sus lados miden
,
y su base 3.
Ver solución
Para poder calcular la altura del triángulo, a,
tenemos que dividirlo en dos triángulos rectángulos (para
poder aplicar el teorema de Pitágoras).
Los dos triángulos son los siguientes:
La base del triángulo (que mide 3) se divide en dos (la base de cada triángulo).
No sabemos cuánto mide cada base, pero sí que sabemos que
$$ x+y=3 $$
Aplicamos Pitágoras al primer triángulo y obtenemos la ecuación:
Notemos que no conocemos ninguno de los dos catetos.
Procediendo del mismo modo para el otro triángulo, obtenemos
Es decir, tenemos las siguientes ecuaciones:
Podemos aislar la y en la tercera ecuación, obteniendo
En la segunda ecuación tenemos una y, que sabemos que
es 3 - x, así que sustituimos en ella:
Como tenemos una resta al cuadrado, aplicamos la fórmula del binomio de
Newton, que recordamos que es
Por tanto,
Ahora despejamos a 2
Recordemos que también teníamos la ecuación
Despejamos también en ella a 2
Es decir, las dos ecuaciones que tenemos son
Y como a 2 = a 2, podemos igualar ambas
expresiones obteniendo una ecuación de primer grado
Sabiendo el valor de x podemos obtener el de y
Ya sabemos cuánto mide cada base y podemos ahora calcular la altura.
La primera de las ecuaciones era
Como sabemos que x = 1 tenemos que
Y como \(a\) es la altura, no puede ser negativa. Por tanto, la altura del triángulo es
$$ a = 1 $$
Problema 5
Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos
que sus diagonales (altura y anchura) miden 16 y 12.
Ver solución
Podemos dividir el rombo en cuatro triángulos rectángulos (determinados por sus diagonales):
Recordamos que en los rombos todos los lados miden lo mismo,
con lo que podemos trabajar con cualquiera de los triángulos
obtenidos (todos son iguales).
Además, como hemos realizado una división simétrica, sabemos que
los catetos miden 8 y 6 en cada triángulo.
Para calcular la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras:
Por tanto, cada lado del rombo (o sea, cada hipotenusa) mide 10.
El perímetro es la suma de todos los lados.
Como éstos son iguales, sólo tenemos que multiplicar por 4:
Perímetro = 4·10 = 40
Problema 6
Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros
apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.
Ver solución
Hay que tener en cuenta que las unidades de medida no son las
mismas. Podemos escribirlas todas en metros, así que
70 cm = 7 dm = 0.7 m
El triángulo que tenemos es
La altura es uno de los catetos. Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcularla:
Por tanto,
Pero como \(a\) es la altura, debe ser positiva. Por tanto, la altura
será, aproximadamente
Problema 7
Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?
Ver solución
Imaginamos un triángulo rectángulo de modo que
su base, \(b\), es la sombra del árbol,
su altura, \(a\), es la altura del árbol y
su hipotenusa, \(h\), es la distancia desde el árbol al extremo de la sombra.
Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular su altura, \(a\):
Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:
Por tanto, la altura del árbol es, aproximadamente, 3,12 metros.
Problema 8
La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la diagonal de la pantalla en unidades de pulgadas. Una pulgada equivale a 2,54 centímetros:
Si David desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco de 96x79cm, ¿de cuántas pulgadas debe ser el televisor?
Ver solución
Para calcular las pulgadas que caben en el hueco, debemos calcular cuánto mide su diagonal y escribir el resultado en pulgadas.
Como la diagonal del hueco es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras:
Por tanto, la diagonal mide unos 124,32cm.
Nota: hemos redondeado la raíz cuadrada a la baja para que el televisor quepa en el hueco.
Pasamos de centímetros a pulgadas aplicando una regla de tres:
Luego 124,32 centímetros son 51,8 pulgadas:
Por tanto, el televisor que debe comprar David no puede exceder las 48,94 pulgadas.
Problema 9
Un clavadista está entrenando en una piscina con una plataforma. Cuando realiza el salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2,4 metros bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo una línea transversal de 8,8 metros de longitud.
Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11,2 metros, ¿cuál es la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)?
Ver solución
Según el diagrama, la profundidad de la piscina es de 2,4 metros. Calculamos su longitud:
Tenemos un rectángulo de altura 2,4m y cuya diagonal mide 8,8m. Por Pitágoras, su base \(b\) es
Pero como el clavadista cae a 1 metro de la plataforma, la longitud de la piscina es 9,46 metros.
Para calcular la altura \(a\) de la plataforma nos ayudamos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 11,2m y cuya base mide 9,46m:
Por tanto, la altura de la plataforma es de casi 6 metros por encima del nivel del agua.
Problema 10
Un aparcamiento con forma rectangular de dimensiones 35x98 metros es controlado por cuatro cámaras de vigilancia.
La cámara A observa el área 1; la cámara B, el área 2; la cámara C, el área 3; y la cámara D, el área 4.
Calcular el porcentaje del área del aparcamiento que no es vigilada por ninguna cámara.
Ver solución
Las cuatro regiones tienen forma de triángulo rectángulo y podemos calcular sus áreas ya que conocemos sus hipotenusas y uno de sus catetos (es la altura del aparcamiento).
Como conocemos las dimensiones del aparcamiento, también podemos calcular el área total del mismo. Así, el área que no está controlada es el área total menos el de las regiones.
Calculamos el área de las regiones:
Región 1:
La hipotenusa mide 50m y uno de los catetos mide 35m (altura del aparcamiento). Calculamos el otro cateto, \(a\), por Pitágoras:
Luego el área de la región es (base por altura dividido entre 2)
Repetimos este procedimiento para las otras regiones.
Región 2:
La hipotenusa mide 70m y uno de los catetos mide 35m. Calculamos el otro cateto, \(b\), por Pitágoras:
Luego el área de la región es
Región 3:
La hipotenusa mide 64m y uno de los catetos mide 35m. Calculamos el otro cateto, \(c\), por Pitágoras:
Luego el área de la región es
Región 4:
La hipotenusa mide 55m y uno de los catetos mide 35m. Calculamos el otro cateto, \(d\), por Pitágoras:
Luego el área de la región es
La suma de las áreas cubiertas por las cámaras es
El área total del aparcamiento es
Por tanto, el área no cubierta por las cámaras es
Luego el porcentaje de área no cubierta por las cámaras de vigilancia es aproximadamente el 1,9%:
Problema 11
Un parque de diversiones quiere construir una nueva atracción que consiste en una tirolesa que parte desde la base superior de una columna con forma cilíndrica. Si el radio de la columna es \(R = 2m\) metros y el área de su lateral es de 120 metros cuadrados, calcular la longitud del cable de la tirolesa para que alcance el suelo a 40 metros de distancia de la columna.
Ver solución
Tenemos un triángulo rectángulo de base 40m cuya hipotenusa coincide con la tirolesa. La altura de la columna, \(h\), la podemos calcular a partir de su área lateral y su radio, \(R\).
El área lateral del cilindro es la del rectángulo de altura \(h\) y cuya base es el diámetro de la base del cilindro, es decir, dos veces el radio.
Por tanto, el área del lateral de la columna es
Sustituimos el área (\(A =120m^2\)) y el radio (\(R=2m\)) y resolvemos la ecuación:
Luego la altura de la columna es de 30 metros.
Finalmente, calculamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:
Nota: hemos llamado \(L\) a la hipotenusa para no confundirla con la altura \(h\) de la columna.
El cable de la tirolesa debe medir 50 metros de longitud.
Problema 12 (dificultad alta)
Distancias Sol-Tierra-Luna. Supongamos que la luna está en la
fase de su primer cuarto, lo que significa que desde la Tierra
la vemos del siguiente modo
siendo la mitad clara la que vemos, es decir, la iluminada por el Sol.
Sabemos que la distancia de la Tierra a la Luna es de 384100km
y de la Tierra al Sol es de unos 150 millones de kilómetros.
Se desea calcular la distancia de la Luna al Sol en esta fase
(considerar las distancias desde los centros).
Plantear el problema, pero no es necesario calcular el resultado.
Ver solución
La situación es la siguiente
La recta Sol-Luna y la recta Tierra-Luna forman un ángulo de 90
grados ya que si no, no veríamos la luna en su primer cuarto.
La recta Tierra-Sol es la hipotenusa.
Por tanto, como conocemos la distancia Tierra-Luna (a) y la distancia Tierra-Sol (h),
podemos calcular la distancia Sol-Luna (b) aplicando el teorema de Pitágoras:
No calculamos el valor de b porque como la distancia Tierra-Sol es
muchísimo más grande que la distancia Tierra-Luna, al aproximar,
obtendremos una distancia cercana a la de la Tierra-Sol. Pero
sabemos que la distancia Luna-Sol será menor que la distancia Tierra-Sol
(porque esta última es la hipotenusa).
Dicho en otras palabras, sabemos que
Como a es mucho más pequeño que b, lo cual se expresa mediante
Entonces
Y por tanto
Más problemas: Problemas de Pitágoras (PyE).
