Contenido de esta página:
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Fórmula del Área
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Justificación de la Fórmula
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Área del Triángulo Equilátero
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Fórmula de Herón
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10 Problemas Resueltos
1. Fórmula del Área
$$ A=\frac{base \cdot altura}{2} $$
Normalmente, escribimos b (base) y h (altura):
$$ A=\frac{b \cdot h}{2} $$
Ver Ejemplo
El triángulo equilátero de lado 3cm (y, por tanto, altura 2,6cm)
tiene área
Recordemos que...
La altura del triángulo es el
segmento que une un vértice
con el lado opuesto (base)
formando un ángulo recto (90 grados).
Como hay 3 vértices, hay tres alturas (y tres bases).
El punto donde se cortan las tres alturas es el ortocentro.
2. Justificación de la Fórmula
Este apartado está dedicado a comprender de donde
proviene la fórmula del área de un triángulo.
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Supongamos que tenemos un triángulo cualquiera con altura h
y base b:
Representamos dos rectas paralelas a la base: una pasa por
el vértice C y la otra une los vértices A y B:
Representamos una recta paralela al lado que une los
vértices A y C. Esta recta debe pasar por el vértice B:
El punto D es el punto donde se cortan las rectas.
Consideremos el polígono de 4 lados que une los puntos
A, B, C, y D. Se trata de un romboide:
Las bases (lado inferior y superior) del romboide miden lo mismo
que la base del triángulo inicial: b.
Observemos que el romboide está formado por dos triángulos idénticos.
El área de cada uno de los triángulos es la mitad del área del romboide.
Calculamos el área del romboide. Para ello, cortamos el triángulo inicial por
la altura (h) obteniendo un triángulo que añadimos al lado derecho
del romboide:
El área de este rectángulo es la misma que la del romboide ya
que lo hemos obtenido cortando y pegando un trozo.
El área del rectángulo (o del romboide anterior) es base por altura:
$$ A_{romboide} = b\cdot h $$
Por tanto, como el área del triángulo es la mitad del área del romboide,
obtenemos la fórmula:
$$ A_{triángulo} = \frac{A_{romboide}}{2}= $$
$$ = \frac{b \cdot h}{2} $$
3. Área del Triángulo Equilátero
$$ A = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} $$
Ver Demostración
Los triángulos equiláteros tienen todos los lados
iguales y todos los ángulos (interiores) son de 60 grados.
Supongamos que tenemos un triángulo equilátero de lado a.
Trazamos su altura, h:
Observemos que tenemos dos triángulos rectángulos
cuyos catetos miden h y a/2, y cuyas hipotenusas miden a.
Nota: en un equilátero, la altura coincide con la mediana, razón
por la que divide el triángulo exactamente por la mitad.
.
Aplicamos el
Teorema de
Pitágoras
para calcular la altura, h, en función del
lado, a:
$$ a^2 = \left(\frac{a}{2}\right) ^2 + h^2 $$
$$ h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right) ^2 =$$
$$ = a^2 - \frac{a^2}{4} = $$
$$ = \frac{3a^2 }{4} $$
Por tanto, la altura es
$$ h = \sqrt{\frac{3a^2 }{4} } = a \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Por tanto, el área de un triángulo equilátero es (base por altura dividido 2)
$$A_{equilátero} =a^2 \frac{\sqrt{3}}{4} $$
5. Problemas Resueltos
Problema 1
Calcular el área del siguiente triángulo de lados
2.24cm, 2.83cm y 1cm y de altura 2cm.
Ver Solución
Sabemos las medidas de todos
los lados, pero sabiendo la
base, b = 1, y la altura, h = 2,
podemos calcular el área:
Problema 2
Hallar el área del siguiente triángulo a partir de los datos dados:
Ver Solución
Conocemos la altura, h = 2, y la base, b = 3.
Por tanto, el área es
Nota: no indicamos las unidades
de medida porque en el enunciado no se especifican.
Problema 3
Calcular el área de la siguiente figura:
Datos: el diámetro de la circunferencia es 4cm, el punto azul es el centro de la
circunferencia y las rectas pasan por el
centro y son perpendiculares entre sí.
Ver Solución
La figura está compuesta por tres triángulos iguales.
El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro, es decir, r = 2cm.
Cada triángulo es rectángulo, siendo los catetos de 2cm, puesto que coinciden con el radio de la circunferencia.
Uno de los catetos es la base del triángulo y el otro es la altura.
Por tanto, el área de cada triángulo es
Finalmente, como los triángulos son iguales, el área total de la figura es
Problema 4
Calcular cuál debe ser la longitud, a, de los lados de un triángulo
equilátero para que su área sea
$$ A = \sqrt{3} cm^2$$
Ver Solución
Un triángulo equilátero tiene todos los lados iguales, de longitud a.
La altura del triángulo, h, lo divide en dos triángulos rectángulos:
Además, la base de cada uno de los triángulos es la mitad
de la base del triángulo equilátero, es decir, es
Aplicamos Pitágoras para calcular la altura, h:
Calculamos el área del triángulo equilátero sabiendo la
base (mide a) y la altura (la acabamos de calcular):
Como queremos que el área sea raíz cuadrada de 3, tenemos la ecuación
Los lados del triángulo equilátero deben medir 2cm.
Problema 5
Hallar el área del hexágono regular cuyos lados miden 1cm:
Ver Solución
El hexágono está compuesto por 6 triángulos equiláteros de lado 1cm,
por tanto, su área es:
Problema 6
Encontrar la medida de los lados de un triángulo
rectángulo isósceles (los dos catetos
miden lo mismo) para que su
área sea 4m2:
Ver Solución
Hemos llamado a la base y a la altura a porque miden lo mismo.
El área del triángulo es base por altura dividido 2:
Por tanto, tenemos la ecuación
La resolvemos:
Falta calcular la medida del otro lado. Para ello,
aplicamos el teorema de Pitágoras:
Por tanto,
Problema 7
El siguiente triángulo de área 4m2 tiene dos de
sus vértices en la circunferencia y
otro en el centro de ésta.
Calcular el diámetro de la circunferencia.
Ver Solución
Se trata de un triángulo rectángulo cuyos catetos
coinciden con el radio de la circunferencia: r.
El área del triángulo es base por altura dividido 2, luego
Y como sabemos que el área es
igualdando, obtenemos la ecuación
El diámetro de una circunferencia es 2 veces el radio:
Problema 8
Calcular el área de la siguiente punta de flecha:
Nota: los 4 vértices del polígono están en
vértices de los cuadrados de la cuadrícula
de 1cm x 1cm.
Ver Solución
Atendiendo a la siguiente figura, el área de la flecha es la resta de las
áreas del triángulo azul y del rojo:
La altura del triángulo azul es 4cm y la base es 4cm. Por tanto, su área es
La altura del triángulo rojo es 1cm y su base es 4cm. Por tanto, su área es
Luego el área de la flecha es
Problema 8b
Supongamos que la cuadrícula del problema anterior
es de 2cm x 2cm en lugar de 1cm x 1cm. Es decir, el tamaño de la punta es el doble.
Calcular el área de la flecha. ¿Es el doble?
Ver Solución
El procedimiento es el mismo, pero ahora las alturas y las bases miden el doble:
El área del triángulo azul es
Y la del rojo es
Luego el área de la flecha es
El área es el cuádruple que en el problema anterior.
Nota: el área de un cuadrado de lado 1cm es 1cm2 y el área
del cuadrado de lado 2cm es 4cm2:
Problema 9 (dificultad alta)
Calcular el área verde de la siguiente figura
sabiendo que la circunferencia está
inscrita en un triángulo equilátero
de lado 7 metros.
Ayuda:
Ver Solución
El área de un triángulo equilátero de lado a es
Como los lados miden 7m, el área del triángulo es
Necesitamos calcular el radio del círculo para restarle su área.
Representamos las alturas del triángulo equilátero:
Esto nos permite dividir el triángulo en otros
3 cuyas alturas son exactamente el
radio de la circunferencia:
Al ser los tres triángulos iguales, el área de cada uno es
la tercera parte de la del equilátero:
Además, la base del triángulo es un lado del triángulo equilátero (mide 7).
A partir del área y de la base podemos calcular la altura (el radio):
Por tanto, el radio es
El área del círculo es
Y el área de la región verde es
Problema 10 (dificultad media)
Calcular el área de la siguiente pajarita con la ayuda de la cuadrícula (de 1cm x 1cm):
Ver Solución
Descomponemos la figura en polígonos más sencillos:
Vamos a calcular el área de cada uno de ellos:
A. Triángulo rojo
Es un triángulo rectángulo con catetos de 3cm.
Como los catetos son la altura y la base, el área es
B. Triángulo naranja
La altura es 1cm y la base es 4cm. Su área es
C. Triángulo verde
Usaremos un triángulo rectángulo auxiliar (negro) para calcular el área del verde:
El triángulo negro está formado por dos triángulos como el verde,
por lo que el área del verde es la mitad del área del negro:
El triángulo negro tiene 3cm de altura y de base, así que su área es
Luego el área del triángulo verde es
D. Rectángulo azul
Los cuadrados de la cuadrícula son de lado 1cm.
La diagonal, d, de estos cuadrados se puede calcular aplicando Pitágoras:
Obsérvese que los lados del rectángulo azul están formados por 4 y 1,5
diagonales de los cuadrados de la cuadrícula.
El área de rectángulo azul es
Finalmente, calculamos el área total de la pajarita sumando todas las áreas:
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