Contenido de esta página:
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Fórmula del Área
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Justificación de la Fórmula
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Área del Triángulo Equilátero
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Fórmula de Herón
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10 Problemas Resueltos
1. Fórmula del Área
![triángulo de base b y altura h áreas de triángulos: fórmula y justificación, Fórmula de Herón, ejemplos y Problemas Resueltos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area0.png)
$$ A=\frac{base \cdot altura}{2} $$
Normalmente, escribimos b (base) y h (altura):
$$ A=\frac{b \cdot h}{2} $$
Ver Ejemplo
El triángulo equilátero de lado 3cm (y, por tanto, altura 2,6cm)
![triángulo equilátero de lado 3cm y altura 2,6cm áreas de triángulos: fórmula y justificación, Fórmula de Herón, ejemplos y Problemas Resueltos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/areaT-1.png)
tiene área
![área del triángulo equilátero de lado 3cm y altura 2,6cm áreas de triángulos: fórmula y justificación, Fórmula de Herón, ejemplos y Problemas Resueltos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/areaT-1-2.png)
Recordemos que...
La altura del triángulo es el
segmento que une un vértice
con el lado opuesto (base)
formando un ángulo recto (90 grados).
Como hay 3 vértices, hay tres alturas (y tres bases).
![alturas de un triángulo y ortocentro triángulos: concepto, tipos, clasificación, altura, mediana, bisectriz, ortocentro, baricentro, incentro, equilátero, isósceles, escaleno, rectángulo, oblicuángulo, acutángulo, obtusángulo. Ejemplos y test](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/concepto/trianT-3.png)
El punto donde se cortan las tres alturas es el ortocentro.
2. Justificación de la Fórmula
Este apartado está dedicado a comprender de donde
proviene la fórmula del área de un triángulo.
Mostrar Texto
Supongamos que tenemos un triángulo cualquiera con altura h
y base b:
![triángulo cualquiera con altura h y base b áreas de triángulos: fórmula y justificación, Fórmula de Herón, ejemplos y Problemas Resueltos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/areaT-2.png)
Representamos dos rectas paralelas a la base: una pasa por
el vértice C y la otra une los vértices A y B:
![rectas paralelas a la base: una pasa por el vértice C y la otra une los vértices A y B áreas de triángulos: fórmula y justificación, Fórmula de Herón, ejemplos y Problemas Resueltos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/areaT-3.png)
Representamos una recta paralela al lado que une los
vértices A y C. Esta recta debe pasar por el vértice B:
![Representamos una recta paralela al lado que une los vértices A y C. Esta recta debe pasar por el vértice B áreas de triángulos: fórmula y justificación, Fórmula de Herón, ejemplos y Problemas Resueltos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/areaT-4.png)
El punto D es el punto donde se cortan las rectas.
Consideremos el polígono de 4 lados que une los puntos
A, B, C, y D. Se trata de un romboide:
![polígono de 4 lados que une los puntos A, B, C, y D (romboide) áreas de triángulos: fórmula y justificación, Fórmula de Herón, ejemplos y Problemas Resueltos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/areaT-5.png)
Las bases (lado inferior y superior) del romboide miden lo mismo
que la base del triángulo inicial: b.
Observemos que el romboide está formado por dos triángulos idénticos.
El área de cada uno de los triángulos es la mitad del área del romboide.
Calculamos el área del romboide. Para ello, cortamos el triángulo inicial por
la altura (h) obteniendo un triángulo que añadimos al lado derecho
del romboide:
![Calculamos el área de este romboide áreas de triángulos: fórmula y justificación, Fórmula de Herón, ejemplos y Problemas Resueltos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/areaT-6.png)
El área de este rectángulo es la misma que la del romboide ya
que lo hemos obtenido cortando y pegando un trozo.
El área del rectángulo (o del romboide anterior) es base por altura:
$$ A_{romboide} = b\cdot h $$
Por tanto, como el área del triángulo es la mitad del área del romboide,
obtenemos la fórmula:
$$ A_{triángulo} = \frac{A_{romboide}}{2}= $$
$$ = \frac{b \cdot h}{2} $$
3. Área del Triángulo Equilátero
![triángulo Equilátero de lado a áreas de triángulos: fórmula y justificación, Fórmula de Herón, ejemplos y Problemas Resueltos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/areaT-7.png)
$$ A = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} $$
Ver Demostración
Los triángulos equiláteros tienen todos los lados
iguales y todos los ángulos (interiores) son de 60 grados.
Supongamos que tenemos un triángulo equilátero de lado a.
Trazamos su altura, h:
![triángulo Equilátero de lado a y su altura, h áreas de triángulos: fórmula y justificación, Fórmula de Herón, ejemplos y Problemas Resueltos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/areaT-8.png)
Observemos que tenemos dos triángulos rectángulos
cuyos catetos miden h y a/2, y cuyas hipotenusas miden a.
Nota: en un equilátero, la altura coincide con la mediana, razón
por la que divide el triángulo exactamente por la mitad.
.
Aplicamos el
Teorema de
Pitágoras
para calcular la altura, h, en función del
lado, a:
$$ a^2 = \left(\frac{a}{2}\right) ^2 + h^2 $$
$$ h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right) ^2 =$$
$$ = a^2 - \frac{a^2}{4} = $$
$$ = \frac{3a^2 }{4} $$
Por tanto, la altura es
$$ h = \sqrt{\frac{3a^2 }{4} } = a \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Por tanto, el área de un triángulo equilátero es (base por altura dividido 2)
$$A_{equilátero} =a^2 \frac{\sqrt{3}}{4} $$
5. Problemas Resueltos
Problema 1
Calcular el área del siguiente triángulo de lados
2.24cm, 2.83cm y 1cm y de altura 2cm.
![triángulo de altura 2, base 1 y lados 2,24 y 2,83 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area1.png)
Ver Solución
Sabemos las medidas de todos
los lados, pero sabiendo la
base, b = 1, y la altura, h = 2,
podemos calcular el área:
![área del triángulo de altura 2, base 1 y lados 2,24 y 2,83 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P1-1.png)
Problema 2
Hallar el área del siguiente triángulo a partir de los datos dados:
![triángulo de altura 2, un lado mide 2,83 y otro 3 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area2.png)
Ver Solución
Conocemos la altura, h = 2, y la base, b = 3.
Por tanto, el área es
![área del triángulo de altura 2, un lado mide 2,83 y otro 3 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P2-1.png)
Nota: no indicamos las unidades
de medida porque en el enunciado no se especifican.
Problema 3
Calcular el área de la siguiente figura:
![figura contenida en una circunferencia problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area3.png)
Datos: el diámetro de la circunferencia es 4cm, el punto azul es el centro de la
circunferencia y las rectas pasan por el
centro y son perpendiculares entre sí.
Ver Solución
La figura está compuesta por tres triángulos iguales.
El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro, es decir, r = 2cm.
Cada triángulo es rectángulo, siendo los catetos de 2cm, puesto que coinciden con el radio de la circunferencia.
Uno de los catetos es la base del triángulo y el otro es la altura.
Por tanto, el área de cada triángulo es
![área de cada triángulo problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P3-1.png)
Finalmente, como los triángulos son iguales, el área total de la figura es
![multiplicamos por 3 el área de uno de los tres triángulos problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P3-2.png)
Problema 4
Calcular cuál debe ser la longitud, a, de los lados de un triángulo
equilátero para que su área sea
$$ A = \sqrt{3} cm^2$$
![triángulo equilátero de lado a problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area4.png)
Ver Solución
Un triángulo equilátero tiene todos los lados iguales, de longitud a.
La altura del triángulo, h, lo divide en dos triángulos rectángulos:
![La altura del triángulo, h, lo divide al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area4-2.png)
Además, la base de cada uno de los triángulos es la mitad
de la base del triángulo equilátero, es decir, es
![b = a/2 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P4-1.png)
Aplicamos Pitágoras para calcular la altura, h:
![Aplicamos Pitágoras para calcular la altura: a^2 = h^2 + (a/2)^2 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P4-2.png)
Calculamos el área del triángulo equilátero sabiendo la
base (mide a) y la altura (la acabamos de calcular):
![Calculamos el área del triángulo equilátero problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P4-3.png)
Como queremos que el área sea raíz cuadrada de 3, tenemos la ecuación
![ecuación obtenida a partir del área del triángulo equilátero problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P4-4.png)
Los lados del triángulo equilátero deben medir 2cm.
Problema 5
Hallar el área del hexágono regular cuyos lados miden 1cm:
![hexágono regular problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area5.png)
Ver Solución
El hexágono está compuesto por 6 triángulos equiláteros de lado 1cm,
por tanto, su área es:
![calculamos el área sabiendo que el hexágono está compuesto por 6 triángulos equiláteros problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P5-1.png)
Problema 6
Encontrar la medida de los lados de un triángulo
rectángulo isósceles (los dos catetos
miden lo mismo) para que su
área sea 4m2:
![triángulo rectángulo isósceles de área 4m^2 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area6.png)
Ver Solución
Hemos llamado a la base y a la altura a porque miden lo mismo.
El área del triángulo es base por altura dividido 2:
![área del triángulo rectángulo isósceles de área 4m^2 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P6-1.png)
Por tanto, tenemos la ecuación
![ecuación (a^2)/2 = 4 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P6-2.png)
La resolvemos:
![resolvemos la ecuación problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P6-3.png)
Falta calcular la medida del otro lado. Para ello,
aplicamos el teorema de Pitágoras:
![aplicamos Pitágoras para calcular el lado problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P6-4.png)
Por tanto,
![h = 4m problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P6-5.png)
Problema 7
El siguiente triángulo de área 4m2 tiene dos de
sus vértices en la circunferencia y
otro en el centro de ésta.
Calcular el diámetro de la circunferencia.
![triángulo rectángulo contenido en una circunferencia con un vértice en el centro problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area7.png)
Ver Solución
Se trata de un triángulo rectángulo cuyos catetos
coinciden con el radio de la circunferencia: r.
El área del triángulo es base por altura dividido 2, luego
![el área es la mitad del cuadrado del radio: A=r^2/2 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P7-1.png)
Y como sabemos que el área es
![el área es 4m^2 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P7-2.png)
igualdando, obtenemos la ecuación
![el radio es r = 2·raíz(2)m problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P7-3.png)
El diámetro de una circunferencia es 2 veces el radio:
![el diámetro es d=2·r =4·raíz(2)m problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P7-4.png)
Problema 8
Calcular el área de la siguiente punta de flecha:
![punta de flecha formada con triángulos problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area8.png)
Nota: los 4 vértices del polígono están en
vértices de los cuadrados de la cuadrícula
de 1cm x 1cm.
Ver Solución
Atendiendo a la siguiente figura, el área de la flecha es la resta de las
áreas del triángulo azul y del rojo:
![el área de la flecha es la resta de las
áreas del triángulo azul y del rojo problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area8-1.png)
La altura del triángulo azul es 4cm y la base es 4cm. Por tanto, su área es
![el área del triángulo azul problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P8-1.png)
La altura del triángulo rojo es 1cm y su base es 4cm. Por tanto, su área es
![el área del triángulo rojo problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P8-2.png)
Luego el área de la flecha es
![área de la punta de la flecha problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P8-3.png)
Problema 8b
Supongamos que la cuadrícula del problema anterior
es de 2cm x 2cm en lugar de 1cm x 1cm. Es decir, el tamaño de la punta es el doble.
Calcular el área de la flecha. ¿Es el doble?
Ver Solución
El procedimiento es el mismo, pero ahora las alturas y las bases miden el doble:
El área del triángulo azul es
![área del triángulo azul problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P8b-1.png)
Y la del rojo es
![área del triángulo rojo problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P8b-2.png)
Luego el área de la flecha es
![área de la flecha problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P8b-3.png)
El área es el cuádruple que en el problema anterior.
Nota: el área de un cuadrado de lado 1cm es 1cm2 y el área
del cuadrado de lado 2cm es 4cm2:
![cuadrado de lado 1 dentro del de lado 2 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area8-2.png)
Problema 9 (dificultad alta)
Calcular el área verde de la siguiente figura
sabiendo que la circunferencia está
inscrita en un triángulo equilátero
de lado 7 metros.
![figura formada por un triángulo equilátero y circunferencia inscrita problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area9.png)
Ayuda:
Ver Solución
El área de un triángulo equilátero de lado a es
![área de un triángulo equilátero de lado a problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P9-1.png)
Como los lados miden 7m, el área del triángulo es
![área de un triángulo equilátero de lado 7 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P9-2.png)
Necesitamos calcular el radio del círculo para restarle su área.
Representamos las alturas del triángulo equilátero:
![Representamos las alturas del triángulo equilátero problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area9-1.png)
Esto nos permite dividir el triángulo en otros
3 cuyas alturas son exactamente el
radio de la circunferencia:
![las alturas dividen el triángulo equilátero en otros
3 cuyas alturas son exactamente el radio de la circunferencia problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area9-2.png)
Al ser los tres triángulos iguales, el área de cada uno es
la tercera parte de la del equilátero:
![el área de cada uno es la tercera parte de la del equilátero problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P9-3.png)
Además, la base del triángulo es un lado del triángulo equilátero (mide 7).
A partir del área y de la base podemos calcular la altura (el radio):
![A partir del área y de la base podemos calcular la altura (el radio) problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P9-4.png)
Por tanto, el radio es
![el radio es r=2m problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P9-5.png)
El área del círculo es
![El área del círculo es 12,56m^2 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P9-6.png)
Y el área de la región verde es
![el área de la región verde es 8,66m^2 problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P9-7.png)
Problema 10 (dificultad media)
Calcular el área de la siguiente pajarita con la ayuda de la cuadrícula (de 1cm x 1cm):
![figura de pajarita formada por triángulos problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area10.png)
Ver Solución
Descomponemos la figura en polígonos más sencillos:
![Descomponemos la figura en polígonos más sencillos problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area10-1.png)
Vamos a calcular el área de cada uno de ellos:
A. Triángulo rojo
Es un triángulo rectángulo con catetos de 3cm.
Como los catetos son la altura y la base, el área es
![área de un triángulo rectángulo con catetos de 3cm problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P10-1.png)
B. Triángulo naranja
La altura es 1cm y la base es 4cm. Su área es
![área del triángulo con altura 1cm y base 4cm problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P10-2.png)
C. Triángulo verde
Usaremos un triángulo rectángulo auxiliar (negro) para calcular el área del verde:
![triángulo rectángulo auxiliar (negro) para calcular el área del verde problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area10-2.png)
El triángulo negro está formado por dos triángulos como el verde,
por lo que el área del verde es la mitad del área del negro:
El triángulo negro tiene 3cm de altura y de base, así que su área es
![área del triángulo negro de 3cm de altura y 3cm de base problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P10-3.png)
Luego el área del triángulo verde es
![área del triángulo verde problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P10-4.png)
D. Rectángulo azul
Los cuadrados de la cuadrícula son de lado 1cm.
![cuadrados de la cuadrícula de lado 1cm problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area10-3.png)
La diagonal, d, de estos cuadrados se puede calcular aplicando Pitágoras:
![La diagonal, d, de estos cuadrados se puede calcular aplicando Pitágoras problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P10-5.png)
Obsérvese que los lados del rectángulo azul están formados por 4 y 1,5
diagonales de los cuadrados de la cuadrícula.
El área de rectángulo azul es
![área de rectángulo azul problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P10-6.png)
Finalmente, calculamos el área total de la pajarita sumando todas las áreas:
![calculamos el área total de la pajarita sumando todas las áreas problemas resueltos de calcular áreas de triángulos](https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/P10-7.png)
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