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Herón de Alejandría

Contenido de esta página:

  1. Biografía de Herón de Alejandría

  2. Fórmula de Herón (demostración aplicando el Teorema de Pitágoras)

  3. Método de Herón (aproximación de la raíz cuadrada):

    • 3.1. Presentación del Método y Ejemplos

    • 3.2. Demostración de la Convergencia

1. Biografía de Herón de Alejandría

Herón (o Hero) de Alejandría vivió aproximadamente entre los siglos I y II d. C. en Alejandría (norte de Egipto). Fue ingeniero y matemático, inventor de la primera máquina a vapor (conocida por el nombre de Eolípila). Los textos que se le atribuyen tratan sobre todo de mecánica y matemáticas.

En la obra Métrica, compuesta por tres libros, proporciona fórmulas y métodos bastante rigurosos, para calcular áreas de polígonos regulares, triángulos, cuadriláteros y elipses, así como para calcular volúmenes de esferas, cilindros y conos.

Es en el primer libro de Métrica donde presenta la fórmula conocida hoy como la Fórmula de Herón, que veremos a continuación.

También mostraremos el Método de Herón para aproximar raíces cuadradas, cuya autoría también se atribuye a Herón. Este método se utiliza todavía en computación.

Ver Referencias


2. Fórmula de Herón

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

El área del triángulo de lados a, b y c es

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donde s es el semiperímetro de triángulo:

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Ver Ejemplo y Demostración

3. Método de Herón

El Método de Herón consiste en calcular los términos de la sucesión definida por recurrencia

Herón de Alejandría: biografía y la fórmula y el método de Herón (área de un triángulo y aproximación de raíces cuadradas)

siendo p el número cuya raíz cuadrada queremos aproximar.

El primer término, x0, debe ser una aproximación a la raíz que buscamos.

3.1. Presentación del Método y Ejemplos

Se trata de un método que converge muy rápidamente: en unas pocas iteraciones se obtienen aproximaciones con bastantes decimales exactos, incluso cuando se toma como x0 un número alejado del que se quiere aproximar.

Además, el método es muy simple a la hora de implementar computacionalmente (ver función MatLab).

Veamos un ejemplo: aproximación de la raíz de 3 con diferentes términos iniciales:

$$ \sqrt{3} \simeq 1.732050807568877 $$

Comenzaremos inicialmente con x0 = 1, x0 = 2 y x0 = 100. Realizaremos 10 iteraciones:

Para x0 = 1:

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*Nota: como el error (tercera columna) se ha calculado computacionalmente, el error es 0 cuando se supera la precisión del computador.

Para x0 = 2:

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Para x0 = 100:

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El código utilizado es:

1   function x=raiz(p,a,n)
2   % aproximación de la raíz de p
3   % a es el término x_0
4   % n es el número de iteraciones
5   % x es una columna con el formato de 
6   % las tablas anteriores
7   x=zeros(n,2);
8   x0=a;
9   x(1,1)=0.5*(x0+p/x0);
10  x(1,2)=abs(x(1,1)-sqrt(p));
11  for i = 2:n
12    x(i,1)=0.5*(x(i-1)+p/x(i-1));
13    x(i,2)=abs(x(i,1)-sqrt(p));
14  end
15  end

3.2. Demostración de la Convergencia

Vamos a demostrar que, en efecto, la sucesión

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converge precisamente a la raíz cuadrada de p.

Usaremos el Teorema de la Convergencia Monótona

Teorema: Sea xn una sucesión decreciente y minorada, entonces

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Necesitamos demostrar que

  1. la sucesión está acotada (inferiormente),

  2. y que es decreciente.

a) La sucesión está acotada inferiormente por la raíz de p:

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Como la última desigualdad siempre se cumple, la primera también.

b) La sucesión es monótona decreciente:

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Sabemos que la última desigualdad es cierta (por el apartado anterior), por tanto, la primera también.

Finalmente, aplicando el Teorema de la Convergencia Monótona, la sucesión converge a la raíz cuadrada de p:

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