En esta página proporcionamos una breve biografía de Herón de Alejandría y la fórmula de Herón (para calcular áreas de triángulos) y el método de Herón (para la aproximación de raíces cuadradas). Se incluyen ejemplos, demostraciones y un código MatLab del método.
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Herón (o Hero) de Alejandría vivió aproximadamente entre los siglos I y II d. C. en Alejandría (norte de Egipto). Fue ingeniero y matemático, inventor de la primera máquina a vapor (conocida por el nombre de Eolípila). Los textos que se le atribuyen tratan sobre todo de mecánica y matemáticas.
En la obra Métrica, compuesta por tres libros, proporciona fórmulas y métodos bastante rigurosos, para calcular áreas de polígonos regulares, triángulos, cuadriláteros y elipses, así como para calcular volúmenes de esferas, cilindros y conos.
Es en el primer libro de Métrica donde presenta la fórmula conocida hoy como la Fórmula de Herón, que veremos a continuación. También mostraremos el Método de Herón para aproximar raíces cuadradas, cuya autoría también se atribuye a Herón. Este método se utiliza todavía en computación.
El área del triángulo de lados a, b y c es
donde s es el semiperímetro de triángulo:
Antes de la demostración, veamos un ejemplo de aplicación de la Fórmula. Supongamos que queremos calcular el área del triángulo equilátero de lado 1:
Puesto que el triángulo es equilátero, sus tres lados miden lo mismo: 1.
Por tanto, el semiperímetro es
$$ s = \frac{1+1+1}{2} = \frac{3}{2} $$
Aplicando la Fórmula de Herón, el área es
$$ Área = \sqrt{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}} = $$
$$ =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}} =$$
$$ =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{4}} =$$
$$ =\frac{1}{4} \cdot \sqrt{3}$$
La siguiente demostracón de la fórmula de Herón es moderna y sólo requiere la aplicación del Teorema de Pitágoras y un poco de cálculo.
Sabemos de antemano que el área del triángulo es
siendo h la altura y b la base.
Para simplificar los cálculos, usaremos la siguiente identidad:
Definimos p y q como
Escribiendo la definición del semiperímetro s, en las expresiones anteriores obtenemos que p es
y q es
Por tanto, la suma y la resta de p y q son:
Consideremos la siguiente descomposición del triángulo en dos triángulos rectángulos:
La base b la hemos dividido en los dos segmentos x y b-x, determinados por la altura h.
Como la altura forma un ángulo recto, aplicando Pitágoras:
Sustituimos en la expresión de p-q:
Entonces, por la identidad que vimos y los cálculos anteriores, sabemos que
(la última igualdad es por Pitágoras).
Por tanto, dividiendo entre 4 y tomando raíces,
Es decir, la fórmula de Herón nos proporciona el área del triángulo de base b y altura h.
El Método de Herón consiste en calcular los términos de la sucesión definida por recurrencia como sigue:
siendo p el número cuya raíz cuadrada queremos aproximar.
El primer término, x0, debe ser una aproximación a la raíz que buscamos.
Se trata de un método que converge muy rápidamente: en unas pocas iteraciones se obtienen aproximaciones con bastantes decimales exactos, incluso cuando se toma como x0 un número alejado del que se quiere aproximar.
Además, el método es muy simple a la hora de implementar computacionalmente (ver función MatLab).
Veamos un ejemplo: aproximación de la raíz de 3 con diferentes términos iniciales:
$$ \sqrt{3} \simeq 1.732050807568877 $$
Comenzaremos inicialmente con x0 = 1, x0 = 2 y x0 = 100. Realizaremos 10 iteraciones:
Para x0 = 1:
*Nota: como el error (tercera columna) se ha calculado computacionalmente, el error es 0 cuando se supera la precisión del computador.
Para x0 = 2:
Para x0 = 100:
El código utilizado es:
1 function x=raiz(p,a,n) 2 % aproximación de la raíz de p 3 % a es el término x_0 4 % n es el número de iteraciones 5 % x es una columna con el formato de 6 % las tablas anteriores 7 x=zeros(n,2); 8 x0=a; 9 x(1,1)=0.5*(x0+p/x0); 10 x(1,2)=abs(x(1,1)-sqrt(p)); 11 for i = 2:n 12 x(i,1)=0.5*(x(i-1)+p/x(i-1)); 13 x(i,2)=abs(x(i,1)-sqrt(p)); 14 end 15 end
Vamos a demostrar que, en efecto, la sucesión
converge precisamente a la raíz cuadrada de p.
Usaremos el Teorema de la Convergencia Monótona, que dice así:
Teorema: Sea xn una sucesión decreciente y minorada, entonces
Necesitamos demostrar que
a) La sucesión está acotada inferiormente por la raíz de p:
Como la última desigualdad siempre se cumple, la primera también.
b) La sucesión es monótona decreciente:
Sabemos que la última desigualdad es cierta (por el apartado anterior), por tanto, la primera también.
Finalmente, aplicando el Teorema de la Convergencia Monótona, la sucesión converge a la raíz cuadrada de p:
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